张 玲，陈 涛，黄 钧

（1.惠州学院经济管理系，广东惠州516007；2.中国科学院大学数学科学学院，北京100049）

基于最小最大后悔值的应急救灾网络构建鲁棒优化模型与算法

张 玲1，陈 涛2，黄 钧2

（1.惠州学院经济管理系，广东惠州516007；2.中国科学院大学数学科学学院，北京100049）

应急救灾过程分为两个阶段：第一阶段启动应急救灾网络构建，在灾区附近设立临时应急配送中心，并由应急资源供应方向其紧急调配应急资源；第二阶段将应急资源从临时应急配送中心向灾区受灾点进行调度，以保证救灾过程顺利进行。本文研究第一阶段应急救灾网络的构建问题，考虑到突发灾害初期灾情相关参数概率分布情况难以获取，建立了基于情景的最小最大后悔值准则的应急救灾网络构建鲁棒优化模型。求解模型时，利用有限情景集表示第二阶段的不确定性数据，并将模型化为与其等价的混合整数规划模型，利用情景松弛的迭代算法进行求解。数值试验中给出相应的绝对鲁棒模型与本文偏差鲁棒模型作了比较，结果表明基于最小最大后悔值准则的应急救灾网络优化模型具有良好的鲁棒性，而且算法也是有效的。

应急救灾网络；不确定条件；两阶段规划；最小最大后悔准则；鲁棒优化；情景松弛

1 引言

近年来，频繁发生的自然灾害，对人类造成了深远的影响。特别是雪灾、地震、台风等自然灾害，由于其突发性强，破坏力大，易造成人员伤亡等特点，造成的损失更是不计其数。2012年发生在欧洲，美洲，亚洲等多地的雪灾，极大影响了人们的正常生活，造成的经济损失难以估量；2008年发生在我国的5.12汶川大地震，夺去了近七万人的生命，直接经济损失超过1万亿元［1］；2005年8月底登陆美国东海岸的飓风“卡特里娜”，致使近两千人死亡，经济损失高达812亿美元，被认为是美国历史上损失最大的自然灾害之一。自然灾害发生后，有效应对的方法是立即启动应急响应预案，构建应急救灾网络，将应急资源快速运送到灾区，以提高应急物资的调度效率和效果，降低灾害带来的影响和损失。

目前，灾后的应急物流活动的研究集中在应急资源的调度问题。Fiedrich等［2］人利用受伤人数随时间变化的生存函数，建立动态规划模型，解决地震灾害发生后的应急资源的调度问题；刘春林等［3］讨论物资需求约束条件下多出救点的紧急物资调度问题。Ozdamar等［4］人通过建立多物资，多模式网络流模型，解决灾后的应急物流和人员的疏散问题；曾敏刚等［5］从LRP的角度研究灾后应急物流系统的构建过程。李进等［6］人针对灾害链中多资源应急调度问题，建立了多资源多受灾点应急调度模型，设计了基于图论中网络优化和线性规划优化思想的启发式算法求解。这些研究的共同点是将应急资源的调度过程考虑为多阶段决策过程，这在实际应急资源调度过程中是合理的。本文考虑的应急响应阶段的准备工作，即应急救灾网络构建问题，涉及的临时配送中心选择与应急资源的配置过程，与应急资源调度过程有着本质的区别。

两阶段模型早期的决策方法是利用随机规划模型，即假设不确定参数服从某种随机分布［7-8］。Chang［9］针对所有洪水情景，建立应急选址和配送的两阶段随机规划模型；Salmeron和Apte［10］利用两阶段随机规划模型计算获取应急救灾资产预算的配置计划；黄钧等［11］研究了灾害准备和反应决策，建立了灾前应急物资储备库的选址和应急物资配置的两阶段随机规划模型，并利用基于情景松弛的算法求解该模型。可以看出，以上应急决策的两阶模型主要用于灾前应急资源布局问题的研究，并且以随机变量的分布已知为前提。本文借鉴两阶段模型的思想，在应急响应决策的研究中，由于灾害初期详细的受灾情况不能够准确获得，在短时间内灾区的需求、应急物资的运输时间等分布未知，但在此时又必须构建应急救灾网络，为接下来的应急资源调度配送做准备。因此，将灾害发生的应急处置阶段分为两个阶段，第一阶段构建应急救灾网络，迅速在灾区附近选择集送条件较好的地点设立临时应急配送中心，并根据初步获取的灾情不确定信息，决策有关应急供应方立刻向临时应急配送中心调配相应的应急物资；而将向受灾点的资源配送调度作为应急救灾的第二阶段，并以此辅助第一阶段的决策，以有效提高应急资源救灾的效率。

灾害发生后，不确定信息的概率分布难以在短时间内获得，利用随机规划方法不能很好的解决应急决策的实际问题。由于＂情景-应对＂模式比传统的＂预测-应对＂模式更适应应急决策科学性要求，这对应急救援两阶段规划决策提出新的研究问题。近些年发展起来的鲁棒优化方法，是解决不确定性问题的有效方法，其理论在近年来得到了深入研究［12-17］，已经应用于制定管理决策的各个领域［18-19］。鲁棒优化分为绝对鲁棒优化、相对鲁棒优化与偏差鲁棒优化等。Kouvelis等人［20］对鲁棒优化方法及相关应用进行了系统的总结。利用鲁棒优化研究应急决策问题的研究还比较少，如Ali等人［8］建立了不确定条件下灾害应急物流的多目标鲁棒随机规划。在他们的研究中虽然提到鲁棒优化的思想，但实质还是利用随机优化模型解决问题。本文正是借鉴鲁棒优化的解决思路，考虑到突发事件相关参数概率分布情况难以获取的情况下，无法采用随机规划方法解决应急准备工作，而将自然灾害按照其发生的特征划分成有限个情景集合，建立基于最小最大后悔值（偏差）准则的应急救灾网络鲁棒优化模型，这使得模型更符合实际。求解时，只需要利用较少的情景数据，就能得到可靠的结果。

2 应急救灾网络规划模型描述

2.1 基本模型描述

假设在应急布局时已经确定了应急资源供应方。自然灾害发生后，救灾过程分为两个阶段，如图1所示，第一个阶段，灾害刚发生的初期，应急救灾部门需要立即进行应急决策。根据某些技术条件如GIS与遥感技术可以获得初步的信息，确定受灾点的范围，大致估计受灾点的受灾程度，并以此确定灾害发生所带来的应急物资需求的若干情景，依据这些情景在灾区附近设立若干临时应急资源配送中心，并确定从哪些应急物资供应方筹集多少种类和数量的应急救灾物资，运送到临时应急资源配送中心。第二个阶段，从临时应急资源配送中心向各受灾点调度应急物资，更新应急需求信息，以保障应急救援的物资需求。将调度阶段作为第二个阶段是为了简化建模过程的需要。第二个阶段救援保障程度的高低显然受到第一阶段决策是否稳健的影响。

图1 基本模型图示

本文考虑的问题是解决某个地区面对灾害时构建应急救灾网络，即救灾过程第一阶段的决策，具体包括确定临时应急救灾设施（应急配送中心）的选址，从各应急资源供应方向临时应急配送中心配置的各类应急物资的数量，目标是希望整个应急救灾的代价最小若临时应急配送中心物资总量不足或受灾点的需求未满足，则引入补偿策略，对未满足的需求进行惩罚；若临时应急配送中心最终积压或超出受灾点的需求而造成物资冗余，同样也要惩罚。

灾害发生后，能够获得灾害的级别等初步信息，但是详细的不确定数据取值还不能确定，这时候引入情景估计，即根据灾情（房屋受破坏程度，人口统计信息）的不同组合方式，利用经验估计方法确定第二阶段不确定数据取值。并对得到经验估计值进行合理的浮动，从而确定第二阶段灾害的若干种情景。

I：应急资源供应方i集合

J：候选临时应急资源配送中心j集合

K：受灾地区k集合

S：提供的应急资源的种类s集合

M：一个大数

Fj：临时应急资源配送中心j的建设成本

bsi：供应方i提供的应急资源s的单位费用

Csi：供应方i提供的应急资源s的总量

tωsij：将某种应急资源s从供应方i运往临时应急资源配送中心j的单位费用

tωsjk：将应急资源s从临时应急资源配送中心j运往灾区k的单位费用

psk：灾区k未满足的应急资源s的单位惩罚费用

qsk：灾区k多余应急资源s的单位处置费用

vs：应急资源s的单位体积

Vj：临时应急资源配送中心j的最大容量

dωsk：情景ω发生时灾区k对应急资源s的需求量

决策变量为：

Xj：临时应急配送中心j被选址，则为1，否则，为0

xsij：应急资源供应方i运往临时应急配送中心j的应急资源s的数量

辅助决策变量为：

yωsjk：情景ω下临时应急资源配送中心j分配到灾区k的应急资源s的数量

zωsk：情景ω下灾区k未满足的应急资源s的数量

rωsk：情景ω下灾区k剩余的应急物资的s的数量

目标函数中：

模型P是一个两阶段混合整数规划模型。目标函数（1）为应急救灾两个阶段的总费用，第一阶段：（1a）表示临时应急配送中心选址的建设费用；（1b）为应急资源供应方运往临时应急配送中心的物资运输费用；第二阶段：（1c）为情景ω下从供应方往临时应急配送中心的应急资源运输费用；（1d）表示情景ω下从临时应急配送中心往灾区的应急资源运输费用；（1e）表示未满足需求的惩罚费用；（1f）表示当需求点物资有剩余时，应急资源的处置费用。约束（2）表示供应方提供应急资源的总量不能够超过其供应能力。约束（3）表示每个临时应急配送中心应急资源配置的容量要求。约束（4）表示在情景ω下，只有临时配送中心选址，才能为其配置资源。约束（5）表示从某个临时应急配送中心运往灾区的应急资源总量不能超过供应方提供给该配送中心的应急资源总量。约束（6）表示每个灾区对某种应急资源的需求量尽量满足，对于未满足的资源，引入惩罚策略，策略的代价即目标函数（1e）项，可认为未满足的需求所造成的损失；对于多余资源，也需要处置费用，即（1f）项。约束（7）是对临时应急配送中心选址变量的整型约束，以及其余决策变量的非负约束。

从目标和约束条件中可以看出，模型综合考虑了应急救灾网络构建中所遵循的几个原则，如目标函数体现了应急救灾代价的经济性，约束条件保证了应急资源保障的可靠性，而下面的处理方法则考虑所有情景，所做决策保证了决策的鲁棒性。

2.2 基于最小最大后悔值的鲁棒优化模型

为简化描述，令{X，（Yω，Zω）｝分别表示两个阶段的决策变量集合{（Xj，xsij），yωsjk，zωsk，∀s，i，j，k，ω｝。对突发事件的任一情景ω∈，与情景ω相关的最优决策{X*，（Yω*，Zω*）｝可以利用下列模型求解

但是，构建应急救灾网络时，在所有情景发生前就要完成对临时应急配送中心的选址及应急资源的配置工作，模型P只有对第一阶段所估计的所有受灾点需求情景ω∈都考虑才有实际意义。为此建立基于情景的最小最大后悔值鲁棒优化模型。

最小最大后悔值的思想来源于非确定型决策中的后悔值准则，即最小机会损失法（Savage法），其基本思想是从机会损失值，即某种情形发生时，决策者所选方案的成本与因此放弃的可能最小成本之间的差额最小的角度考虑制定决策。对于本问题，建立下列最小最大后悔值鲁棒优化模型：

其中：

模型（9）又称为偏差鲁棒优化模型，指的是进行第一阶段的应急决策时，选择具有最小的最大后悔值的方案作为最优决策。后悔值Zω*（X）-Cω*指对于某个情景ω∈，选择应急救灾网络规划方案X后，其总费用与该情景ω下可能的最优规划方案目标值的差。模型（9）得到的决策结果是针对所有可能发生的情景进行的决策，这保证了应急决策的公平性和稳健性。

3 求解模型的算法描述

3.1 模型求解思路

当情景集合Ω包含有限个情景ω时，最小最大后悔鲁棒优化模型（9）等价于下列混合整数规划问题：

模型（11）是（9）的扩展形式。如果（11）的最优解存在，则其解的分量{X=（Xj，xsij）∀s，i，j｝即为模型（9）的最优解。但在实际求解过程中，突发事件的情景集合的规模一般比较大，求解模型（11）将会花费很多的时间，这对时效性要求很高的应急救灾过程来说不能接受。基于此，本文设计一种新的基于情景松弛的迭代优化算法求解最小最大后悔值鲁棒优化模型（9）。

4.2 最小最大后悔值鲁棒优化模型的情景松弛算法

有了以上讨论的基础，下面给出求最小最大后悔值鲁棒优化应急决策模型（9）的算法：

S2：（求解松弛问题并进行最优性检验）求解由子集合Ω构成的模型（11）的松弛问题。

若松弛问题不可行，则算法终止，模型（9）不存在鲁棒最优解；否则，令XΩ=X*（松弛问题的最优解），LB=δ*（松弛问题的最优目标值）。若UBLB≤ε，XΩ即可作为全局ε-最优鲁棒解，算法结束，否则，转S3

S4：若W1≠∅，执行S5；否则，更新UB：= min（UB，。若UB-LB≤ε，X=XΩ即可作为满足

的全局ε-最优鲁棒解，算法结束；否则，转S6

S6：选择非空子集W′⊆W，更新集合Ω：=Ω∪W′，转S2

注：因为本算法的目的是节约求解时间，后面的实验结果可以看到，即使问题的情景集合和包含多个情景，但是在用本算法求解时，只需要极少数目的情景，即情景集合Ω的数目很小。因此，在选取情景集合Ω时，初始步骤一般随机选择一个情景ω∈Ω即可。

④如果X*是原问题（9）的最优解，则X*也是模型（11）的松弛问题的可行解

由a），b），若算法因为模型（8）不可行或者模型（11）的松弛问题不可行而终止，则最小最大后悔值鲁棒问题（9）也不可行。

现假定算法由于S2或者S4中条件UB=LB而终止，得到解XΩ。

由于算法只有在XΩ对于所有情景均可行，或者是W1=∅时，才能在以上步骤中结束，并且此时有

定理1 情景松弛算法在有限次迭代后终止，当算法终止于ε=0时，或者算法不可行，或者求得原问题的最优鲁棒解。

证明：注意到模型（11）的松弛问题也是原最小最大后悔模型（9）的松弛问题，模型（8）的可行域包含（9）的可行域，这个事实表明：

①如果模型（8）不可行，则原最小最大后悔值鲁棒问题（9）不可行

②如果模型（11）的松弛问题不可行，则问题（9）也不可行

因此，如果UB=LB，则：

显然，XΩ是原最小最大后悔鲁棒问题（9）的最优解。

由于只有有限个可能的XΩ的组合和参数设置，因此，该算法在有限步迭代后终止。

4 算例分析

算例考虑我国云南省应对地震灾害的应急救灾网络规划问题。该省位于几个地震带上，属地震多发地区。2009年7月9日，楚雄彝族自治州发生6. 0级地震，阵中位于姚安县，如图2所示。地震造成楚雄、大理、丽江3州市十几个县不同程度受灾，紧急转移安置25万人。

图2 楚雄地震震级图示

地震发生后，立即启动应急响应，在灾区附近建立临时应急配送中心，负责应急物资的收集及分配工作。根据实际情况将灾区划分为15个需求点，应急物资储备库或者应急物资生产商，共8个，分布在8个城市，如图3所示。由于临时应急配送中心在灾区附近建立，因此，15个需求点也是待选的临时应急物资配送中心，且每个配送中心的容积均相等。考虑三种应急物资：水，食物和帐篷，其相关配置参数如表1所示。

图3 案例图示

第一阶段的地震级别以及震源信息已经获得，但是具体的受灾情况还未知，根据建模时情景的获取方法，确定每个需求点包含16个情景。由于食物和水在应急期（10天）内属于消耗性物品，因此，其需求乘以时间系数10天。而帐篷数量根据需求总人数除以3而得出。表3列出了各个供应点能够提供的应急物资的数量。

给出上面实例的参数值设置后，利用MATLAB2012a编程，中间在求解规划问题时，采用LINGO11.0，得到应急救灾网络规划如表4所示。

表1 应急物资配置相关参数

表2 需求点应急物资需求列表（103/单位）

表3 供应方提供的应急物资数量（103/单位）

表4 临时应急配送中心选址及应急资源配置表（103/单位）

从表4的结果中可以观察，临时应急资源配送中心选在禄丰，祥云2个地点；在8个供应方中，迪庆，大理和临沧主要负责向临时配送中心祥云提供应急资源，而后面5个城市主要负责向禄丰供应应急物资，提供的食物，水和帐篷的总数量如表4中最后一行三维向量所示，从资源总量来看，禄丰提供的应急资源的数量也非常大，这是由于禄丰距离各个配送中心距离不太远，而且，距离5个配送中心的距离也比较近。

由于本模型价值体现在决策针对所有情景的公平性，为了观察决策值和每个情景的最优决策值之间的差距，实验画出了最优决策目标值和16个情景每个最优决策目标值之间的差值，即后悔值折线图，如图4所示。从折线图中可以看出，每个情景和最优决策的最大差值为770×103元，即本模型的最优解对大部分情景下的后悔值比较均衡，均在最优目标值附近，其中，后悔值最小的为情景7，为280.5× 103元，其次为情景4，后悔值为448×103元，其余的情景后悔值均在最优目标值附近，这说明本模型的应急决策结果具有较强的鲁棒性，能够满足针对不同情景的应急救灾网络救灾的构建要求。

应急救灾网络需要在较短的时间内构造，因此对时效性的要求比较高。在执行算法的过程中，情景集合大小对于求解时间的影响较大，若花费的时间较长，则不能算作有效算法。为了验证求解算法的有效性，算法检验了不同规模情景集合的模型，分别包含16，64，256（两类）与1024（两类）个情景集合，与单纯计算扩展形式（11）的时间相比较。比较结果如表5所示。

图4 各情景后悔值折线图

表5 本算法与扩展形式的计算性能对比

其中Zω（X）如式子（10）所示。模型（12）仍然可以利用本文中的情景松弛算法求解，只需要将模型的目标函数 （（XΩ）-）修改为函数Zω（X），以及步骤S1去掉即可，其余步骤不变。表6列出了不同鲁棒优化准则下的决策结果。从表中可以看出，不同的鲁棒优化准则下其应急救灾网络的构建结果是不同的，将绝对鲁棒优化准则下的决策结果带入到最小最大后悔值准则的目标函数中，其值为2801.5×103，远大于其最优目标函数值770 ×103，这说明基于最小最大后悔值准则的鲁棒优化模型在构建应急救灾网络时是比较有效的。

从表5中的模型计算结果可以看出，基于情景松弛的鲁棒优化算法在计算时间上明显优于单纯求解扩展形式所用的时间。如模型6包含了1024个情景，利用本文的算法只需要444秒，而单纯求解其扩展形式，需要38630秒，大约为10.6个小时，这对于时效性很强的救灾网络构建行为显然是不可行的。由此，情景松弛算法在求解应急救灾网络的最小最大后悔值鲁棒优化模型时是非常有效的。

值得注意的是，基于最小最大后悔值的鲁棒优化方法与其它鲁棒优化方法在目标值上并不具备直接可比性。但为了反映不同的鲁棒优化准则对决策结果的影响，本文将基于最小最大后悔鲁棒优化模型得到的结果与绝对鲁棒优化模型的结果进行对比。建立的应急救灾网络绝对鲁棒优化模型为：

表6 不同鲁棒决策准则下的应急救灾网络决策结果对比

5 结语

本文通过建立二阶段灾后应急救灾网络模型，解决了应对自然灾害临时应急配送中心选择和应急救灾物资配置问题，并根据情景预测结果，将模型转化为最小最大后悔值的鲁棒优化模型。在求解该模型时，针对灾害造成的不确定数据的情景预测结果，构建了基于情景松弛的鲁棒优化算法。该模型能够有效用于应急救灾网络构建过程中，试验结果表明基于最小最大后悔值准则的应急救灾网络优化模型具有良好的鲁棒性，而且基于情景松弛的鲁棒优化算法的有效性也得到了验证。

本文的应急决策模型综合考虑了应急响应遵循的原则：应急资源保障的可靠性，针对不同情景的决策鲁棒性，以及救灾代价的经济性等目标。但是，仍然有一些目标没能够很好的解决，如未能考虑第二阶段各个受灾点的均衡性，以及各点的需求满足率情况。另外，针对第二阶段的应急资源调度只是根据情景简单考虑了不确定参数的取值情况，在实际救灾过程中应急资源的调度问题比较复杂。如何综合考虑以上问题展开研究，从而使应急决策更加符合实际救灾的需求，是接下来将要需要考虑的。

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Emergency Network Model and Algorithm Based on Min-Max Regret Robust Optimization

ZHANG Ling1，CHEN Tao2，HUANG Jun2
（1.Department of Economics and Management，Huizhou University，Guangdong 516007，China；2.School of Mathematica Science，University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China）

After emergency，rescue process is represented by two stage.First stage is to start the emergency rescue network，including building temporary distribution centers，allocating reasonable emergency resource to assure rescue process working smoothly.The second stage is to dispatch emergency resource from temporary distribution centers to demand points.A min-max regret robust emergency network model is proposed for natural disasters under uncertainty，taking the second stage as auxiliary decision.Uncertain information is random and represented by finite scenarios.The proposed model is solved using scenario relaxation algorithm.Finally，a case study is proposed to highlight efficiency of the proposed model and solution algorithm.

emergency rescue network plan；uncertain information；two-stage programing；min-max regret criterion；robust optimization；scenairio relaxation

O224

A

1003-207（2014）07-0131-09

2013-02-04；

2013-09-01

广东省优秀青年创新人才培养计划项目（LYM11119）；广东省自然基金项目（S2011040004017）；北京市哲学社会科学规划项目（13JGC089）

张玲（1980-），女（汉族），山东泰安人，惠州学院经济管理系，讲师，博士，研究方向：应急管理.