谢迎春

(玉溪第二高级职业中学,云南 玉溪 653100)

广义Vakhnenko方程的破扭波分支

谢迎春

(玉溪第二高级职业中学,云南 玉溪 653100)

广义Vakhnenko方程;相图;异宿轨线;破扭波

用动力系统平面分支方法,研究一个广义Vakhnenko方程的破扭波分支.在β=3的条件下,获得破扭波解的隐式表达式,作出破扭波解的平面图,直观的显示了破扭波的平面结构.

此后方程(1)称为广义Vakhnen ko方程.

文献[3]讨论了β∈Z,β≠0,1时,方程(1)的行波结构,给出了一些精确行波解,其中,包括β=2时的破扭波解.文献[4]在β=3的条件下,获得了周期圈波和圈孤子解.本文用文献[3～5]中的方法继续研究方程(1),发现方程(1)存在破扭波结构.为此,笔者在β=3的条件下,推导出破扭波得隐式解,并用数学软件Mathematica描绘出其破扭波的平面图形.

1 相图分支

作变换ξ=x-ct,u(x,t)=φ(ξ),其中常数c是波速.在此变换下,方程(1)可化为下列常微分方程

对方程(3)积分一次,得行波方程

φ=c是系统(5)的一条奇直线,因此系统(5)是一个不连续系统.令

系统(5)变为连续系统

除了φ=c外,(5)和(7)有相同的拓扑结构.共同有首次积分

其中h是积分常数.

在下面的讨论中,取β=3,并设α≠0.

由平衡点理论知,系统(7)的平衡点有下列性质:

图1 g＜-αc时,过鞍点的

2 破扭波

且φc＜φα时,φc是极大点,φα是极小点;当α＜0且φc＞φα时,φc是极大点,φα是极小点;当α＜0且φc＜φα时,φc是极小点,φα是极大点.

令

根据上面的推导,得下面的定理.

定理 β=3,α≠0,g＜-αc,h=-f0(φα)时,方程(1)有四个破扭波解.

①α＞0时,破扭波解分别是(15)和(16);

②α＜0时,破扭波解分别是(19)和(20).

例1 取α=1,g=-1,有φα=1,f0(1)=-9.再取c=-2,h=9,得φ1=-3.5.再取φ0=0,把相关数据分别代入(15)和(16)中,在ξ-u平面上可画出两个破扭波图,见图2(a)和(b).

图2 β=3,α=1,g=-1,c=-2,h=-9,时,方程(1)的……