丁蓝，马强，黄刚，欧智乐，曾博

（1.四川省电力公司南充供电公司，四川南充 637000；2.华北电力大学新能源电力系统国家重点实验室，北京 102206）

输电线路作为电能传输的载体，模型参数的准确性和可靠性对电网安全稳定运行具有重要意义。随着我国电力系统规模不断扩大，获取电网真实参数引起了广泛的关注[1-3]。

传统上，线路参数由理论计算或者试验实测获取[4]。PMU量测可以对单条线路与全网解耦实现独立辨识，实测数据获取线路参数能够更加准确地反映在不确定因素下线路运行的真实情况，进而有效地提高输电线路参数的精度[5]。文献[6-7]分别从多时段SCADA量测、WAMS/SCADA混合量测的角度探索了线路参数辨识可行性以及算法。文献[8-11]提出基于线路双端PMU电压电流量测值，采用单个时刻数据直接辨识线路参数，并得到统计规律特性。文献[12]考虑到量测数据的误差影响，提出基于窗口滑动总体最小二乘的输电线路参数辨识，并采用核密度估计和点估计对大量辨识结果进行处理。文献[13]从辨识模型、量测误差等方面定量揭示了影响线路参数辨识的因素。然而目前线路参数辨识主要针对对称线路的正序参数辨识展开相关研究，由于不完全换位[14]、架空地线[15]、多回线路互感[14]等因素的影响，将会导致线路呈现不完全对称的情况。因此关注不完全对称线路的参数辨识是有相当的学术价值与应用前景。

本文分析了不对称线路三相模型以及参数的特点，讨论了参数的可辨识条件，研究了基于扰动数据辨识的可信度问题，进而提出了基于窗口滑动总体最小二乘（Moving-Window Total Least Squares，MWTLS）的两步法用于不完全对称输电线路参数辨识。两步法的思路是当系统处于稳态运行状态时，进行正序参数辨识，当出现不对称状态时，通过检测矩阵条件数进而决定是否实施剩下参数的辨识，采用窗口滑动方式使得辨识方法具有抗粗差能力强的特点。

1 不对称线路辨识模型

针对独立的线路，其模型可以用三相π型等值电路来表示，如图1所示。

图1 单条线路三相π型等值模型Fig.1 π-type equivalent circuit of the single transm ission line

由图1可知，电压平衡方程如下：

式中，T为正负零序变换矩阵，a=ej120°，Zs0=（Zaa+Zbb+Zcc）/3，Zs1=（Zaa+aZbb+a2Zcc）/3，Zs2=（Zaa+a2Zbb+aZcc）/3，Zm0=（Zab+Zbc+Zca）/3，Zm1=（a2Zab+Zbc+aZca）/3，Zm2=（aZab+Zbc+a2Zca）/3。

由式（2）可以得出以下结论：

1）非三相对称的情况下，正负零序之间存在耦合，即各序互阻抗不为0，并不能出现正负零序的解耦。

2）非三相对称的情况下，正序、负序自阻抗相等，即Z11=Z22；正零序、零负序互阻抗相等，即Z10=Z02；负零序、零正序互阻抗相等，即Z20=Z01。

3）阻抗待求量未知数为6个，即Z11、Z12，Z10，Z21，Z20，Z00。

同理，上述分析也适用于导纳分量，规律不再重复描述，与阻抗相似。

对于双侧电气量，满足以下物理方程：

式中，Yabc，m和Yabc，n分别为线路两端对地三相导纳矩阵，本文中的模型视二者均等；Zabc为等值阻抗矩阵；别为M、N两端三相电压电流矩阵。

2 可辨识性研究

由1 ～K时刻内的方程组，可以得到导纳矩阵的最小二乘解为：

式中，Ip，m为M侧3×K的三相电容电流矩阵；Um为M侧3×K的三相电压矩阵。同理对于另一侧电容电流Ip，n也成立。并且两侧电容电流满足：

化简式（5）、（6）可得

对于流过串联阻抗部分的电流，用Is表示：

对于1 ～K时刻的量测电压电流，可得三相阻抗矩阵的最小二乘解为：

式中，ΔUmn为3×K线路两端电压差矩阵。由式（5）—（9）可知，电压矩阵对求解三相阻抗矩阵和三相导纳矩阵元素是至关重要的。对式（4）进行正负零序变换可得：

当系统处于稳态时，负序电压和零序电压为0，则式（10）的N个时刻的不同方程组的矩阵秩是1，当然无法求解。基于以上考虑，若对不完全对称线路进行三相参数辨识则需要采用故障扰动数据，使系数矩阵的秩为3，进而求解方程才是实质意义上的超定方程，进而才能获得最小二乘解。

3 扰动数据辨识可信度分析

对于第2节讨论的方程组，当考虑误差存在时可以表示为：

若λ1≥λ2≥…≥λn是ATA的特征值，则待求参数x赞的方差为：

由于A矩阵对应的条件数为：

因此，若cond（A）太大，则表示系数矩阵A至少存在一个非常小的奇异值，那么ATA矩阵就将存在一个相当小的特征值λn，而由公式（15）可知，待求参数的最小二乘估计值x赞的方差将会变得非常大，换言之就是辨识结果不稳定[17]。由以上分析可知，系数矩阵条件数的大小将直接影响到辨识结果受误差等影响是否会出现剧烈波动，即是否可信。所以辨识过程中监视系数矩阵条件数的大小是非常重要的。

三相参数辨识是基于扰动数据的，那么电压U矩阵、电流I矩阵不仅影响到是否能够辨识，也将对表示结果是否可信。比如扰动比较小，负序、零序分量远远小于正序量，那么系数矩阵虽然满足秩为3，但是条件数会很大，所以将会导致待辨识的参数剧烈波动，结果不稳定。因此，在进行求解计算前，必须对电压U矩阵、电流I矩阵进行条件数大小判别。

4 不对称线路参数辨识方法

4.1 窗口滑动总体最小二乘（M.W.TLS）

窗口滑动总体最小二乘的基本思想是：在一个时间窗内如果包含w（w>2）组量测数据，考虑到输电线路参数短时间内不变，那么采用总体最小二乘。相对于基本最小二乘而言，总体最小二乘认为A矩阵、b向量都含有误差，其模型为[12]：

式中，E为系数矩阵A包含的误差部分；e为b向量所包含的误差，TLS求解问题可描述为[12]

式中，‖·‖F表示Frobenious范数，同时定义B=[-b …A]，求解步骤如下。

1）对B矩阵奇异值分解：B=UΣVH。

2）其中奇异值按照降序的顺序排列，即δ11≥…≥δk+1，k+1≥0，k为x维数。

4）构造代价函数f，并使之最小化。

5）未知参数求解：x=S（m+1，1）/S（1，1）m=1，

4.2 两步法

基于以上的分析，本文提出两步法用于进行参数辨识，基本思想如下。

第一步：在稳态运行环境下，即系统处于对称运行条件，进行正序自阻抗Z11、自导纳Y11辨识，具体辨识方法过程可以参见文献[11]。

第二步：当相近区域内发生不对称故障时，将之前在稳态运行情况下所得的正序自阻抗和自导纳作为已知参数代入辨识方程，监测电压矩阵的条件数，满足要求则对剩余的未知参数进行辨识。

下面详细分析两步法中的第二步，由式（6）并结合N侧的对地电容支路的电流方程可得：

针对于剩下的5个未知参数Y12，Y10，Y21，Y20，Y00，由于在某个时刻存在3个独立的方程，所以当N≥2时就能构成超定方程组，实现求解参数。不过值得注意的是，需要电压系数矩阵的条件数满足要求，才能采用M.W.TLS进行辨识。

类似地，当导纳部分的参数辨识完成以后，根据式（8）可求流过线路串联等值阻抗部分的序电流前可知，因第一步的稳态参数辨识已经获得正序阻抗，因此可得以下方程：

综上分析可知，基于两步法辨识不完全对称线路三相参数可以归纳为：当待辨识的线路处于稳定运行状态时，进行正序自阻抗、自导纳辨识，并保留结果；当处于明显的不对称运行条件时，检测系数矩阵的条件数并进行剩余参数辨识，最后通过三相变换获得各相参数。

5 仿真验证

利用PSCAD模拟500 kV仿真系统，如图2所示，其中对不完全对称线路L1进行参数辨识。

图2 仿真系统示意图Fig.2 Simulation system diagram

线路L1的三相导纳参数如表1所示。

表1 三相导纳参数Tab.1 Three-phase adm ittance parameters S

三相阻抗参数如表2所示。

表2三相阻抗参数Tab.2 Three-phase reactance parameters Ω

模拟以下故障：线路L2末端在0.5 s时发生A相短路接地，L2两端断路器在0.6 s跳开。线路L1利用断路器断开前后的两部分数据进行不对称参数辨识，所监视的电压、电流系数矩阵的条件数如图3所示。

图3 矩阵条件数Fig.3 M atrix condition number

由图3可知，式（20）中的电压矩阵条件数以蓝色 表示，式（21）中的电流矩阵条件数以红色+表示，在辨识过程中都较小，因此满足了参数辨识的稳定性。

利用两步法的三相导纳参数辨识结果相对误差如图4所示。

由于忽略对地导纳的实部，因而对虚部进行辨识，图4中δYaa，δYbb，δYcc表示自导纳的相对误差（%），δYab，δYac，δYbc等为互导纳的相对误差（%）。由图可知，自导纳相对误差δYaa，δYbb，δYcc非常小，一般小于1%，分析可知由于自导纳本身数值较大而且稳态辨识结果稳定，而互导纳部分的相对误差δYab，δYac，δYbc亦不超过2%，具有较好的数值稳定性。基于两步法获得阻抗实部的相对误差如图5所示。

图5中δRaa，δRbb，δRcc为自阻抗实部的相对误差（%），δRab，δRac，δRbc等为互阻抗实部的相对误差（%）。由图中可知，无论是自阻抗还是互阻抗实部的相对误差均不超过2%，表现出良好的数值稳定性。同理，根据两步法获得阻抗虚部的相对误差如图6所示。

图4 三相导纳辨识结果的相对误差Fig.4 The relative error of identified three-phase adm ittance

图5 三相阻抗实部辨识结果的相对误差Fig.5 The relative error of the real part of identified three-phase impedance

图6中δXaa，δXbb，δXcc为自阻抗虚部的相对误差（%），δXab，δXac，δXbc为互阻虚实部的相对误差（%）。从图中可以看出，自阻抗以及互阻抗虚部相对误差均不超过2%，数值稳定性良好。基于以上仿真表明：基于M.W.TLS的两步法能够实现不对称线路的三相参数辨识，并且保持相当的数值稳定性与可信度。

6 结语

本文研究了不完全对称线路参数的可辨识性以及辨识可信度，由于在稳态运行时不可辨识以及病态方程下导致辨识不可信，提出了基于窗口滑动总体最小二乘的两步法用于三相参数辨识，即稳态辨识正序参数，当出现扰动时根据条件数大小决定是否对剩下的参数进行辨识，仿真验证了所提算法的有效性。

图6 三相阻抗虚部辨识结果的相对误差Fig.6 The relative error of the imaginary of identified three-phase im pedance

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