王宣承，陈 艳

（1．深圳市福田区发展研究中心，广东 深圳 518048；2．上海财经大学 统计与管理学院，上海 200433）

基于ARFIMA-FIGARCH模型的利率市场风险度量

王宣承1，2，陈 艳2

（1．深圳市福田区发展研究中心，广东 深圳 518048；2．上海财经大学 统计与管理学院，上海 200433）

随着中国利率市场化改革的加速，利率市场的风险管理问题引发了广泛的关注，作为筹集短期流动性资金的主要工具，同业拆借利率（Shibor）逐渐成为各金融机构决策参考的基准利率。在传统的ARMA-GARCH模型的基础上，引入Hurst指数捕捉Shibor的分形特征，使用扩展后的ARFIMA-FIGARCH模型对Shibor的隔夜和7日利率收益率的VaR进行度量和回测检验。结果显示：隔夜和7日利率收益率都具有反持续性，即收益率过去是上升趋势，则未来倾向于下降；考虑分形特征的ARFIMA-FIGARCH模型，比原模型对Shibor的度量更准确；在同业拆借市场中，Ged分布是解释多头VaR的理想选择，而正态分布是解释空头VaR的理想选择。

同业拆借利率；风险度量；分形理论；ARFIMA-FIGARCH模型

一、引 言

从2008年美国次贷危机引发的全球金融海啸，到2011年由希腊国债危机演变而成的欧债危机，各国金融机构越来越重视金融监管和风险控制。1995年，中国人民银行针对当时中国利率市场的发展状况，提出了“利率市场化”改革的基本思路。1996年6月1日，中央人民银行取消了对银行间同业拆借利率的上限管理，规定金融机构可根据市场资金供求状况自行确定拆借利率，从而正式启动了利率市场化进程。同年年底，国债利率实行招标发行，利率市场化改革迈出了第一步。2002年，央行将小额外币存款利率纳入利率监管范围，实现了本外币利率在法律上的一视同仁。2004年，对人民币利率的进一步放宽和再贷款浮息制度的实行，推动了利率市场化改革的进程。2006年10月8日，上海银行间同业拆借利率开始运行，并于2007年1月4日正式推出，这是中国利率市场化进程中的又一个里程碑。2013年6月，同业拆借市场利率不断攀升，其中隔夜拆借利率先后攻破10%、20%、30%大关，不断刷新银行间市场成立以来历史纪录，被称为“史上最严重的钱荒”；到了12月份，随着央行意外连续第五次暂停逆回购，“钱荒”再次来袭，1月期质押回购利率突破8%的高点，再创6月“钱荒”以来的新高。因此，随着交易规模的扩大和市场化程度的提高，Shibor逐渐成为各金融机构在交易、定价、风险管理等方面参考的基准利率，加强对Shibor的风险管理变得十分重要。

巴塞尔委员会在1996年就曾明确规定使用VaR模型结合内部模型法来度量商业银行的市场风险。2010年9月21日，全球27个国家和地区的央行和监管机构在瑞士通过了旨在加强商业银行监管力度的《巴塞尔协议Ⅲ》。在新协议的框架下 ，基于VaR的风险度量模型不仅限于市场风险，进一步被应用于商业银行面临的信用风险和操作风险［1］。相比于欧美发达国家，中国商业银行利率市场的发展还不成熟，对利率风险管理的手段也相对落后，商业银行管理利率风险还停留在静态的利率敏感性缺口模型和持续期模型阶段。为了与国际接轨，中国银监会确立了分类实施、分层推进、分步达标的基本原则，自2003年12月起陆续颁布了多条法规条例，其中多数条例均以巴塞尔协议为基础，引入了“资本充足率”等关键指标，并明确提出将VaR作为计量市场风险的主要指标，以及作为银行采用内部模型计算市场风险资本要求的主要依据。目前，大多数研究者使用ARMA-GARCH模型来拟合Shibor的波动率。本文将尝试在原有模型的基础上，考虑利率市场的持续性特征，结合分形理论提出ARFIMA-FIGARCH模型，并在不同分布假设下对Shibor进行VaR风险度量，为利率市场化改革提供合适的研究工具和政策建议。

二、文献回顾

在金融收益率的预测方面，Box和Pierce提出的ARMA模型，以及Granger和Joyeux提出的ARFIMA 模型，是时间序列建模常用的工具［2－3］。在描述金融收益率的波动性方面，Engle提出了ARCH模型，假设某一时刻扰动项的方差依赖于滞后项残差平方的大小［4］。在此基础上，Bollerslev提出了GARCH模型，假设扰动项的条件方差同时依赖于滞后残差平方和滞后条件方差，从而更方便地描述高阶ARCH过程［5］。另外，大量实证研究表明金融市场具有很高的波动持续性，因此Baillie等人提出FIGARCH模型，它擅长于反映金融资产的非平稳性和长期持续性，是条件均值ARFIMA模型在条件方差方面的扩展，从提出至今，它已被许多人成功地应用到证券市场及汇率市场［6］。

一些研究者使用ARMA-GARCH模型对中国银行间同业拆借利率的VaR进行估计，结果一致表明：t分布拟合效果不佳，基于Ged分布的GARCH模型比较适合描述同业拆借市场的利率风险，而且Shibor收益率的杠杆效应不明确［7－8］。李良松分别使用了GARCH模型、基于Ged的蒙特卡罗模拟方法和基于Ged的利率期限结构模型来计算Shibor的VaR，结果显示：Shibor的“左尾”VaR应该选择基于Ged的模特卡罗模拟方法来解释，而“右尾”VaR应该选择基于Ged的利率期限结构模型来刻画［9］。冯科和王德全构建了能够度量中国同业拆借利率动态时变特性的ARMA-GARCH模型，得出结论：正态分布是估计r1序列VaR的理想选择，而正态分布和Ged分布都适合估计r7序列的VaR值［10］。Wu和Shieh考虑了利率期货的长期持续性，分别使用GARCH模型和FIGARCH模型，在正态分布、t-分布和Skewed-t分布下计算VaR的大小，结果显示，考虑分形特征的FIGARCH模型对VaR的估计更加准确，王吉培和旷志平的研究支持了这个结论［11－12］。

按照有效市场假说（Efficient Market Hypothesis，简称EMH），市场价格能够充分、及时地反映所有可得的信息。EMH描述的是一种理想的市场结构，即收益率序列具有线性、独立、有限方差等特征，并服从随机游走过程，造成收益率波动的原因仅仅是随机事件或白噪声［13］。但是，许多研究表明，在金融或利率市场上，EMH很多时候是不成立的。针对EMH与金融市场之间的矛盾，Mandelbrot认为金融市场的收益率呈现“尖峰厚尾”的形态是由于非线性随机过程产生的，具有长期持续性的分布形态，本质上应服从更一般的分形分布［14］。长期持续性是指，收益率序列的绝对值或幂的自相关呈现非常缓慢的衰减，距离较大的时间间隔仍具有强相关性，表现为，若时间序列在过去时刻是处于上升趋势，则在将来倾向于继续处于上升趋势。Peters针对EMH无法解释的金融现象，如P／E效应、小公司效应、周末效应等，进一步提出了“分形市场假说”（Fractal Market Hypothesis，简 称 FMH）的 概念［15］。FMH认为金融市场中投资者并非全是理性的，他们对过去信息的反应是非线性的，因此，昨天的信息会影响今天的资产定价，价格对信息的反应可能是延迟或扭曲的，收益率应遵循有偏的随机游走分布。FMH描述了一种更接近于市场真实特性的市场结构—分形结构，即收益序列具有非线性、自相关性、长期持续性、非平稳性等特征。如果收益率具有自相关性和长期持续性，则意味着历史事件会长期影响未来，那么收益变得可以预测，套利成为可能，这是FMH和EMH最明显的区别。

Cajueiro和Tabak对伦敦利率市场6种不同期限结构的货币利率研究后发现，所有货币利率均具有分形特征，且这种特征在新兴市场表现得更明显。他们还证明了日元利率不仅具有分形市场特征，且长期利率具有持续性特征，而短期利率具有反持续性［16－17］。本研究将通过R／S法验证上海同业拆借利率Shibor是否具有分形特征和持续性特征，并结合ARFIMA-FIGARCH模型对其进行VaR风险度量。

三、模型与方法

（一）ARCH族模型

ARCH模型可以用来刻画收益率的丛集性，假设t时刻扰动项的方差依赖于过去q期的扰动项残差平方的大小，则ARCH（q）模型的条件方差可表示为：

Bollerslev将其扩展为GARCH（p，q）模型，假设扰动项的条件方差同时依赖于滞后残差平方和滞后条件方差，其最常用的GARCH（1，1）模型条件方差表示为：

其中εt为扰动项残差，σt为条件方差，α1、β1为待估计参数且均大于0。

为了刻画金融收益波动率的杠杆效应，即好消息带来的波动性小于坏消息，不同消息对波动率的影响不对称，Ding等提出了非对称的APARCH模型［18］。APARCH（p，q）的模型如下：

其中δ为实数，作用是对σt进行Box-Cox转换，γj是杠杆项的系数，APARCH模型实际上包含了许多常用的子模型。当δ＝2，γj＝0时，APARCH退化为简单的GARCH模型；当δ＝1，γj＝0时，APARCH退化为AVGARCH模型；当δ＝2时，APARCH退化为GJRG-ARCH模型；当δ＝1时，APARCH退化为TGARCH模型。因此，APARCH模型是上述诸多ARCH族模型的综合，在描述收益率方面应该具有更强的能力。

与上述模型相比，分形GARCH（FIGARCH）模型的特点是，可以对金融资产的长期持续性进行描述。FIGARCH模型的残差平方和满足：

因为α0为常数，所以φ（L）（1－L）dα0＝0。如果条件方差σ2经过d阶差分是平稳的，则上式右侧平稳，就可以说收益序列具有长期持续性。因此，ARCH族模型的长期持续性，本质上是其方差序列的持续性。

（二）VaR模型

VaR是目前资本市场上最主流的风险测度方法，是在一定的概率水平下，测度某个金融资产组合在特定时间段内最大可能的损失。在ARCH族模型中，扰动项残差εt的分布假定非常重要，鉴于金融收益率普遍存在尖峰厚尾特性，通常使用正态分布、t分布和Ged分布来进行拟合。ARCH族模型t时刻的条件VaR可表示为：

其中xq表示正态分布、t分布或Ged分布的q分位数。

（三）回测检验

检验VaR模型的精确性，通常采用Kupiec提出的基于失败率的LR回测检验方法［19］。定义样本失败率为π0＝N／T。其中，N是样本内突破VaR边界的次数，T是样本总数。如果计算出的多头（空头）的VaR小于（大于）当天实际收益率，则计预测失败1次。失败次数之和N应服从二项分布，即N～B（T，π0），假设模型的显著性水平为α，当VaR模型是正确的时候，π0应当很接近α，因此给出原假设和备择假设：

它服从自由度为1的卡方分布。

（四）分形理论及R／S分析法

Hurst率先提出了重标极差R／S分析法。R／S法有能力对任何时间序列的分形性质进行分析［20］。记一时间序列为Xi，i＝1，2，…，n，其累积离差为：

H为Hurst指数，c为常数。两边取对数得：

其中a＝H×log（c）为常数，通过观测数n和重标极差R（n）／S（n），采用普通最小二乘回归可估计出H指数和截距项a的值。

Peters指出H 近似服从正态分布［15］，即：

其中var（H）≈1／N，N是样本观测值的数目。对H进行显著性检验，不仅需要检验其是否显著等于0，还要检验其是否显著等于0．5。

对于一个随机游动的序列，H应该等于0．5，否则样本观测值就不是独立的，因为每一个观测对于它之前发生的所有事件都存在“记忆”。当0．5＜H≤1时，表明该时间序列具有持续性特征，即若时间序列在过去时刻是处于上升趋势，则在将来倾向于继续处于上升趋势；当0≤H＜0．5时，表明时间序列存在反持续性，不同观测值之间呈现负相关关系，即如果该时间序列在过去呈上升趋势，则将来就倾向于下降趋势。Geweke和Porter-Hudak指出，ARFIMA（m，d，n）模型的参数与Hurst指数有如下关系［21］：

四、实证分析

（一）描述统计

本文以2006年10月8日至2012年10月31日上海银行间同业拆借市场每日加权平均利率作为样本，共得到1 456个观测值。在拆借品种的选取上，选择了隔夜（O／N）和7日两个品种，其对数收益率可表示为rt＝log（Shibort）－log（Shibort－1）。其中，Shibort和Shibort－1分别为第t日和第t－1日的加权平均同业拆借利率，r1和r7分别表示隔夜和7日同业拆借收益率序列。

由图1可以看出，对数收益率r1和r7围绕在均值0周围波动，不存在明显趋势，且具有很强的丛聚性，即在大的波动之后会伴随大的波动，在小的波动之后也会伴随小的波动。对其进行ADF单位根检验。r1和r7序列的Dickey-Fuller值分别为－14．46和－14．94，在0．01水平上差异显著，因此两个序列都是平稳的。

图1 对数收益率r1和r7的波动图

收益率r1和r7分布的峰度为5．282，偏度为－0．006 7接近于0，故收益率呈现对称的尖峰厚尾分布；J-B检验差异显著（χ2＝164．98，p＜0．01），故收益率序列不满足正态分布；ARCH-LM检验均不显著（p＞0．05），故具有自回归条件异方差性。由图2和图3可以看出，r1和r7序列收益率序列存在自相关性。

表1 Hurst指数的假设检验表

图2 序列r1的自相关和偏自相关图

图3 序列r7的自相关和偏自相关图

由表1可以看出，两个品种的Hurst指数都在0～0．5之间，既显著不等于0，也显著不等于0．5，说明r1和r7都具有反持续性，即收益率过去是上升趋势，则未来倾向于下降。根据式（16），推算出r1和r7的ARFIMA模型中的d系数分别为－0．08和－0．13。

（二）各模型的参数估计

采用分步方式对Shibor建模。先确定收益率的均值模型（ARMA或ARFIMA），再确定方差模型（GARCH或FIGARCH），然后给定分布假设，最后得到风险度量VaR。

结合BIC图对ARMA模型进行定阶，对于r1序列，p＝0，1和q＝1，2显著，说明 ARMA（1，2）为适合r1序列的模型；对于r7序列，p＝0，2，3，6和q＝2，9显著，根据模型精简原则选择 ARMA（2，2）模型。使用极大似然法对ARMA模型及ARFIMA模型进行估计，结果如表2所示。除截距项外，各系数的估计值均在0．01水平上差异显著，因此对r1序列建立的 ARMA（1，2）、ARFIMA（1，－0．08，2）模型，以及对r7序列建立的 ARMA（2，2）、ARFIMA（2，－0．13，2）模型均可以接受。

表2 ARMA和ARFIMA模型的参数估计结果表

对收益率的方差进行估计。鉴于金融收益率的集丛性和杠杆性等特征，使用简单GARCH模型、TGARCH模型和APARCH模型，搭配正态N分布、t分布和Ged分布，共构造了9个模型对收益率方差进行估计，使用的方法仍为极大似然估计。表3为r1序列在给定ARMA（1，2）的均值模型条件下，各模型的系数及其显著性。从表3可知，除了拟合失败的APARCH-Ged模型以外，其它ARMAGARCH模型的系数均非常显著。同样，检验ARFIMA-FIGARCH模型的系数也都是显著的，如表4所示。r7序列参数估计的情况与r1类似，篇幅所限，不再赘述。

表3 对于r1序列ARMA－GARCH模型的估计系数表

表4 r1序列 ARFIMA-FIGARCH（1，1）模型的估计系数表

（三）VaR的构建与检验

对于r1序列，建立 ARMA（1，1）-GARCH（1，1）-N-VaR（多头）模型，得到条件均值、条件方差和VaR的拟合序列，如图4所示。

对于r1序列剩余8种模型以及r7序列的9个模型，用同样的方法求它们的VaR，并且对各个VaR模型进行Kupiec的LR回测检验，ARFIMAFIGARCH模型和ARMA-GARCH模型的失败率和LR统计量如表5、表6所示。

图4 r1的ARMA－GARCH－N－VaR拟合图

表5 对于r1序列的回测检验（α＝0．05）表

表6 对于r7序列的回测检验（α＝0．05）表

对比 ARMA-GARCH 模型和 ARFIMA-FIGARCH模型估计出来的VaR，可以看出后者的效果更优。在多头、空头总共30个模型对比中，只有4个的准确度稍降低，其余的准确度均显著提高。因此，ARFIMA-FIGARCH模型对同业拆借利率的拟合效果更好，稳定度更高。

对于r1的空头VaR，只有N分布全部通过了检验（χ2＜3．841）；对于r1的多头 VaR，3种分布没有全部通过检验，但Ged分布的拟合效果相对较好。对于r7的空头VaR，只有N分布全部通过了检验；对于r7的多头VaR，只有Ged分布全部通过了检验。因此，正态分布是解释空头VaR的理想选择，而Ged分布则是解释多头VaR的理想选择。t分布不适合解释任何一个序列的VaR，它存在高估风险的倾向。另外，r7序列的LR检验通过率比r1序列要高出很多，验证了冯科关于“r7序列比r1序列的VaR更容易度量和预测”的结论。

五、结 语

经典的ARMA-GARCH模型可以有效地拟合收益率序列尖峰厚尾性、集丛性、杠杆性等一般特征，本文在此基础上引入分形理论对银行间同业拆借利率的分形特征进行刻画。使用扩展的ARFIMA-FIGARCH模型对上海银行间同业拆借市场的隔夜和7日利率收益率进行风险度量，运用Hurst指数捕捉同业拆借利率的分形特征，并运用基于失败率的LR回测检验对不同品种和头寸的VaR模型的准确性和稳定性进行验证，结果显示：隔夜和7日利率收益率都具有反持续性，即收益率过去是上升趋势，则未来倾向于下降；考虑分形特征的ARFIMA-FIGARCH模型，对同业拆借利率的度量更准确，稳定度更高。在同业拆借市场中，Ged分布是解释多头VaR的理想选择，正态分布是解释空头VaR的理想选择。

目前，中国正在深化金融改革，包括稳步推进利率市场化、汇率国际化和人民币资本账户可兑换等。同业拆借利率作为货币市场的核心利率，将成为利率改革的突破口和着力点，其成效直接体现在资本的流动性上。本文提出的ARFIMA-FIGARCH模型，能够准确地刻画利率波动的分形特征，对风险进行较为准确的度量和监测，可以为同业拆借市场的利率风险管理提供理论指导和方法借鉴。在未来的研究中，还可以运用多重分形理论、HYGARCH模型或ES风险度量方法，对不同期限或品种的同业拆借利率进行更深入、细致的研究。

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A Study on Risk Measurement of Inter－bank lending Interest Rate Based on ARFIMA-FIGARCH Model

WANG Xuan-cheng1，2，CHEN Yan2

（1．Development Research Center of Futian District，Shenzhen 518048，China；2．School of Statistics and Management，Shanghai University of Finance and Economics，Shanghai 200433，China）

With the acceleration of China＇s market-oriented interest rate reform and the implementation of Basel III，the risk management in interest market causes widespread concern．As the main tool to raise short-term liquidity，Shanghai Interbank Offered Rate （Shibor）has become the benchmark rate when financial institutions make decisions，and is playing an increasingly important role．In this paper，based on the traditional ARMA-GARCH model，Hurst index is introduced to capture the fractal characteristics of Shibor，the expanded ARFIMA-FIGARCH model is used to measure the risk of overnight and 1week interest rates in Shanghai interbank market，and back-testing is performed for VaR constructed by different models．The results show that Shibor yields have fractal characteristics and anti-persistent，which means today＇s earnings brings on tomorrow＇s losing；Compared with the original one，ARFIMA-FIGARCH model is more accurate measure of Shibor after consideration of fractal characteristics；in the interbank market，Ged distribution is an ideal choice for explaining long VaR，and Normal distribution is an ideal choice for short VaR．

inter-bank lending interest rate；risk measurement；fractal theory； ARFIMAFIGARCH model

F830．9

A

1007－3116（2014）06－0040－08

2013－09－19

国家自然科学基金青年科学基金项目《基于软计算与统计方法的股票交易智能系统研究》（71101083）；国家自然科学基金项目《复杂因素下金融风险度量与风险传染建模与风险管理》（71331006）；国家自然科学基金重点项目《复杂环境下资产定价与风险管理的金融计量理论及其应用》（71331006）；上海市教育委员会科研创新项目《人工智能技术及其在金融风险控制中的应用研究》（12ZZ072）

王宣承，男，河南郑州人，博士生，研究方向：经济统计，金融统计；

陈 艳，女，四川泸州人，副教授，博士生导师，研究方向：数量金融，风险管理。

（责任编辑：张爱婷）