杨艳青，张素英

（山西大学 理论物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

近几年，对光晶格势阱中玻色－爱因斯坦凝聚体性质的研究引起了人们的广泛关注，包括布洛赫振荡［1］、朗道－齐纳隧穿［2］、原子激光［3］、倾斜光晶格势阱中单组分玻色－爱因斯坦凝聚体的动力学性质等［4－7］。随着进一步研究，囚禁于光晶格势阱中的多组分玻色－爱因斯坦凝聚体也逐渐引起人们的兴趣，如Sadhan K.Adhikari和Boris A.Malomed等研究了在光晶格中的两组分玻色－爱因斯坦凝聚体［8－11］及超流玻色－费米混合气体的若干性质［12］。

本文主要研究在一维倾斜光晶格势阱中的两组分玻色－爱因斯坦凝聚体的矢量孤子解，分别用变分方法［8，12］和数值模拟方法得到了凝聚体中孤子的空间分布，并将两种结果进行了比较，然后就不同应力对三种孤子的影响进行了分析，最后研究了孤子的稳定性质。

1 物理模型

当粒子所处温度T低于临界温度Tc时，在平均场近似下，两组分玻色－爱因斯坦凝聚体可以通过两个满足非线性薛定谔方程的宏观波函数ψ1，ψ2来描述。我们考虑准一维的两组分玻色－爱因斯坦凝聚体模型，其外部有一个倾斜的周期性光晶格势阱，ψ1，ψ2满足如下耦合 Gross-Pitaevskii方程［13－14］：其中m是原子质量，L是光晶格的周期，g和g12分别是组分内和组分间的相互作用强度，其大小和正负在实验中可以通过Feshbach共振技术来调节，当g12＞0（g＞0）表示组分间（内部）的相互作用为排斥，g12＜0（g＜0）则表示组分间（内部）的相互作用为吸引。是一个倾斜的光晶格势阱，V0表示势阱的振幅，F是一个应力，当x→∞，满足｜F｜→0。正是由于应力（比如重力、引力）的存在，会使势阱出现倾斜，如图1所示。

Fig.1 Tilted OL potential V（x）＝V 0 cos（2x）＋Fx，with V 0＝－5，F＝0.1图1 倾斜的光晶格势阱V（x）＝V 0 cos（2x）＋Fx，其中V 0＝－5，F＝0.1

2 变分近似

2.1 两个孤子不分离的情形

本节我们考虑两组分凝聚体中孤子不分离的情形，采用如下高斯拟设：

2.2 两个孤子分离的情形

3 数值模拟

3.1 两个孤子不分离的情形

我们用时间劈裂的方法对方程（2）进行数值求解，得到了典型的对称不分离和不对称不分离形式的矢量孤子，并将用数值模拟得到的孤子空间构形和变分方法得到的结果进行了比较，如图2所示，（a）表示两个孤子对称的情形，即N1＝N2＝N；（b）表示了两个孤子不对称的情形，即N1≠N2.结果表明，变分方法和数值方法的结果吻合得很好。

Fig.2 Symmetric and asymmetric unsplit solitons（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5；（b）N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝1，g 12＝0.5.The black line is the potential well图2 对称不分离和不对称不分离孤子的空间结构图

在图2中，所有的凝聚体组分的非线性相互作用系数都是正的（即相互作用为排斥），下面我们考虑g为负值，即组分内为吸引相互作用的情形。如图3所示，当g取负值的时候，变分方法和数值方法得到的结果依然吻合得很好。

接下来考虑应力的大小对于对称不分离孤子对的影响，我们将势阱强度取为V0＝－5，应力从F＝0.1开始逐渐增大，发现应力大于F＝1.5时，孤子解开始出现较为明显振荡，不再稳定，如图4（a）所示。在图4（b）中，我们将势阱的强度增大到V0＝－10，应力从F＝0.5开始逐渐增大，F＝2时，孤子解开始有明显振荡。经多组研究，发现应力的大小应比势阱的强度小，需在小于势阱强度约1／5的情况下，孤子的数值解同变分近似的结果才有较好地吻合。当应力较大的时候，孤子的空间构形会出现振荡，孤子不再稳定。

3.2 两个孤子分离的情形

本节我们考虑对称的两组份玻色－爱因斯坦凝聚体形成的两个孤子间有劈裂的情形，两个组分的粒子数N1＝N2。图5分别给出了组分内相互作用为排斥和吸引情况下的结果，对比发现，通过变分方法得到的孤子的空间构形和数值结果同样吻合得很好。

Fig.3 Symmetric and asymmetric unsplit solitons with attractive interspecies interaction（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝0.5；（b）N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g 12＝0.5图3 组分内为吸引相互作用的对称不分离和不对称不分离孤子的空间结构图

Fig.4 Spatial profile of the solitons with different trap strength，when the intertial force change from small to big.（a）V 0＝－5，N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5；（b）V 0＝－10，N 1＝1，N 2＝1，g＝6，g12＝8图4 不同势阱强度下，让应力由小逐渐增大时所对应的孤子空间结构

Fig.5 Two symmetric split solitons（a）N 1＝1，N 2＝1，g＝2.5，g 12＝6；（b）N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5图5 两种对称分离孤子的空间结构图

同样考虑在不对称不分离和对称分离两种情况下，应力的大小对孤子对的影响。对比发现，同图4对称不分离的孤子对有相似的结论，如图6（a）、图6（b）所示，应力需小于势阱强度，当应力小于势阱强度约1／5，才会有稳定的孤子波形。

Fig.6 Spatial profile of the solitons with increasing intertial force（a）V 0＝－5，N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝1，g 12＝0.5；（b）V 0＝－5，N 1＝1，N 2＝1，g＝2.5，g 12＝6图6 应力由小逐渐变大所对应的不对称不分离和对称分离孤子对的空间构形

需要说明的是图2，3，4，5，6中所示的变分方法和数值模拟得到的孤子，都是指束缚在光晶格势阱的一个单元中的图形。

4 稳定性分析

前两节通过数值方法和变分方法我们分别得到了倾斜光晶格势阱中两组分玻色－爱因斯坦凝聚体中的孤子解，本节引入强扰动来研究其稳定性。以图2a给出的对称不分离的孤子作为研究对象，将前述所得到的孤子解实时演化，在t＝20 s时，瞬时乘以一个扰动因子，使ψi（x）→1.1ψi（x），让其继续随时演化，结果如图7所示，孤波仍然能继续稳定的传播。

Fig.7 Evolution of the symmetric unsplit soltions，with N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g12＝5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable图7 对称不分离矢量孤子的实时演化 其中N 1＝1，N 2＝1，g＝3，g 12＝5，在t＝20 s时，给波函数乘以一个扰动因子，ψi（x）→1.1ψi（x），孤子仍能稳定的传播

接下来分别以图3b，图5b所示的不对称不分离及对称分离的基态孤子作为研究对象，同样在其传播过程中，在t＝20 s时，将其乘以一个扰动因子，使ψi（x）→1.1ψi（x），让其继续随时演化，结果观察到新的孤波依然继续稳定地传播，如图8，图9所示。

Fig.8 Evolution of the asymmetric unsplit soltions with N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g12＝0.5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable图8 不对称不分离矢量孤子的实时演化，N 1＝0.4，N 2＝1.6，g＝－1，g 12＝0.5，在t＝20 s时，给波函数乘以一个扰动因子，ψi（x）→1.1ψi（x），仍然稳定演化

Fig.9 Evolution of the symmetric split soltions with N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5，after inducing a strong perturbation to them at t＝20 s，i.e.ψi（x）→1.1ψi（x）.The solitons remain stable图9 对称分离矢量孤子的实时演化，其中N 1＝1，N 2＝1，g＝－2，g 12＝5，在t＝20 s时，给波函数乘以一个扰动因子，ψi（x）→1.1ψi（x），继续稳定演化

5 结论

本文主要研究了在准一维倾斜的光晶格势阱中的两组分玻色－爱因斯坦凝聚体的孤子解，分别通过变分方法和数值方法得到了对称不分离、对称分离和不对称不分离三种不同空间分布的矢量孤子，并将两种方法得到的结果进行比较。然后分析了不同应力对孤子解的影响，发现只有当应力比势阱的强度小，大约在势阱强度的1／5以下，才会有稳定的孤子解。进而分别以三种类型的矢量孤子为研究对象，通过在孤子实时演化中，瞬时乘以一个扰动因子的方法对孤子的稳定性进行研究，研究表明，上述三种不同类型的矢量孤子都是稳定的。

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