梁雪峰，郭 振，田俊红

（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）

引 言

(约定y(0)=y,是排列数=1），它的系数是负五次幂函数与排列数的乘积，而且是正负相间的，故称其为含有负五次幂与排列数的交错级数型线性微分方程，也可表示为

文献[1-4]对含有负二次幂、负三次幂及负四次幂与排列数的交错级数型线性微分方程的解法进行了探讨，化为可逐次积分的线性微分方程进行求解。受以上工作启示，文中给出了求方程(1)的通解的方法，同时举例介绍了它的应用.

1 主要定理

为求线性微分方程(1)的解，先证明看以下定理.

证明 用数学归纳法证明.

（1）当n=1时，因为

所以n=1时等式成立.

又因为

亦即当n=k+1时等式也成立.

综上所述，对任意的自然数n等式均成立.

因此，就可用此定理将这类线性微分方程转化为一类可以逐次求积分的的线性微分方程.

定理2线性微分方程

两边逐次求积即可得证.

2 应用举例

再两边求积分，得

例2求微分方程

由定理1可化为

因此，所求通解为

[1]孙长军.一类可化为逐次积分的n阶线性微分方程的解法[J].河北理工学院学报,2004,26(3):79-82.

[2]孙长军.负二次幂函数与排列数的交错级数型线性微分方程[J].山东理工大学学报,2004,18(5):86-89.

[3]孙长军.负三次幂函数与排列数的交错级数型线性微分方程[J].河北理工学院学报,2005,27(3):88-91.

[4]孙长军.负四次幂函数与排列数的交错级数型线性微分方程[J].成都大学学报,2006,25(3):12-15.

[5]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.

[6] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松……