王文莉 黄祖广② 胡天亮 张承瑞

(①山东大学机械工程学院，山东 济南250061;②国家机床质量监督检验中心，北京100102)

在数控系统中，如何控制刀具或工件的运动直接影响到加工的精度和效率，是机床数字控制的核心问题。传统的数控系统一般都具有基本的直线和圆弧插补功能，对于非直线或圆弧组成的轨迹，需要先用小段的直线或圆弧来拟合，然后再对小线段进行加工［1］。为得到更为准确的逼近效果，会产生大量的微小直线或圆弧，造成加工代码庞大，程序传输、存储不便，加工速度不连续，加工效率低等问题［2-3］。因此，研究NURBS 曲线插补技术对实现高速高精度加工，提高数控加工水平有着重要的意义。

关于曲线插补算法的研究主要有:等参数插补算法［4］，这种算法计算简单，但会造成剧烈的速度波动，降低加工质量;恒速进给插补算法［4-5］，该算法采用较小的步长，加工效率低;基于泰勒公式的插补算法［6］，这种算法在曲线曲率较大、加工速度高的地方容易出现速度波动;而文献［7］所提出的算法，虽然降低了速度的波动性，却没有考虑到加工中的加速度问题，且直接对NURBS 的定义式求导，增加了许多重复计算。

本文针对上述问题，基于牛顿迭代法对NURBS实时插补算法进行了研究，并考虑了弓高误差、加速度对进给速度的约束，实现了插补速度自适应于加工路径，提高了算法效率，降低了速度波动。

1 NURBS 数学理论

NURBS 是非均匀有理B 样条(non - uniform rational B-splines)的缩写。一条k次NURBS 曲线的分段有理多项式矢函数可以表示为［8-9］:

式中:di(i=0，1，…，n)为控制顶点;ωi为对应于每个控制顶点di的权因子;k为NURBS 曲线的阶数;Ni，k(u)为由节点矢量U=［u0，u1，…，un+k+1］决定的k次规范B 样条基函数，其计算公式为:

可见，在G 代码中定义一条NURBS 曲线，只需给出控制顶点、权因子和节点矢量即可，大大减小了代码量。

2 NURBS 曲线插补算法

NURBS 曲线插补算法的本质是在每个数据采样周期内，数控系统根据下一步插补速度V计算参数u的过程。考虑到算法的实时性，本研究将NURBS 的分段有理多项式改写为矩阵的形式，并用牛顿迭代法实时计算下一插补点。

2.1 插补预处理

曲线的高速高精度插补对算法的实时性、快速性有较高的要求，在计算每一步插补点时，若用式(2)定义的递推公式，计算量大且有很多相同重复的计算。参照文献［10］，三阶NURBS 改写为矩阵形式，令

式中:ui，ui+1(i=3，4，…，n)为节点矢量U中的节点，u∈［ui，ui+1］。把式(3)代入式(1)，NURBS 曲线可写为矩阵表达式:

M是4 ×4 矩阵，其矩阵元素完全由节点矢量决定。将式(4)进一步整理，得到其多项式的表达形式:

式(5)中的系数K仅与控制点、节点矢量和权因子相关，可在插补前提前计算出。通过上述转化，避免了每步插补的重复迭代，方便求导运算，提高了算法的效率和实时性。

2.2 基于牛顿迭代法的连续插补点计算

数控系统根据速度V实时计算出下一插补周期刀具要达到的位置的这一过程，可以抽象为以下数学模型:已知当前插补点的参数为ti，求参数ti+1(ti+1＞ti)，使‖C(ti+1)-C(ti)‖ =Li=ViT。构造函数F(t)，令F(t)=‖C(t)-C(ti)‖ -ViT。当F(t)=0时，所求的t即为下一插补点参数。其中:

用牛顿迭代公式对下一插补点参数进行求解:

式中:下标k+1 代表第k+1 次迭代结果。前一步插补点的参数差可表示为Δi=ti-ti-1，为方便计算，取迭代初值为ti+Δi，当≤ε(ε 为迭代误差)或达到最大迭代次数N时，停止计算，tk+1即为下一插补点参数值ti+1。再将ti+1带入式(5)，即可计算出下一插补点C(ti+1)。

3 插补速度控制

3.1 弓高误差约束

NURBS 曲线插补的实质是用小直线段逼近曲线，这种逼近必然会造成弓高误差(图1)。为了保证加工精度必须要控制加工速度，将误差控制在合理范围内。由于步长较小，在计算弓高误差δi时，可以将曲线弧近似用圆弧代替。

式中:Li为插补步长;V为插补速度;T为插补周期;曲率半径ρi是曲率的倒数，即ρi=1/ki。对参数曲线C(u)来说曲率k可通过式(9)求得:

在曲线实时插补中，当误差超出了所允许的最大误差δmax时，需要按最大误差来约束插补速度:

3.2 切向加速度约束

插补曲线时，如果插补速度只有弓高误差的约束，则在曲线曲率半径极小处很容易出现速度的跳变，影响加工效果。为减小机床振动，需要对插补速度有切向加速度的约束:

式中:V(ui-1)为前一插补点的插补速度;atmax为最大切向加速度。

3.3 法向加速度约束

高速加工时，在曲线曲率较大的区域有可能造成法向加速度偏大，超出机床的承受能力，因此还需要限制法向加速度来约束速度。根据法向加速度an=v2/ρ，可知在法向加速度约束条件下能达到的最大速度为:

同时满足上述约束条件的插补速度为:

式中:F为规定的进给速度，满足此条件的瞬时速度V可以同时满足最大误差、最大加速度等约束的要求，即为下一步插补的插补速度。图2 为本算法的流程图。

4 实验验证

对控制顶点为(33.5711，162.3358)，(46.7231，125.1142)，(83.7665，20.2769)，(134.791，356.7960)，(177.8616，28.3296)，(225. 2277，122. 3978)，(241.6865，155.0846)，节点矢量为{0.0，0.0，0.0，0.0，0.1799，0.5066，0.8285，1，1，1，1}，权因子均为1 的三次NURBS 曲线进行插补。其加工路径如图3 所示。

设定最大进给速度为6 m/min，加工中最大切向、法向加速度均为1000 mm/s2，起止点速度均为0，弓高误差δ 为0.0005 mm，迭代误差ε 为0.0001 mm，插补周期2 ms，在VS2008 的编程环境下进行试验仿真，并用MATLAB 对实验结果进行图像表达。进一步分析，可以得到加工曲线的曲率变化，如图4。

图5 展示了加工过程中进给速度的变化。比较图4 和图5，在曲线曲率较大的地方，由于弓高误差和加速度的约束，进给速度减小，插补速度能自适应于加工路径。图6 反映了加工过程中匀速部分进给速度的波动情况。从仿真结果看，本文提出的插补算法大大减小了速度波动，使速度曲线更为平滑。图7 显示在本算法的加工条件下，加工误差的变化。可见本文提出的算法能够很好地控制加工误差，满足高速高精度加工的要求。

5 结语

本文提出的NURBS 实时插补算法，使进给速度能够自适应于加工轨迹，减小了计算中的重复部分，简化了计算，确保了插补算法的实时性。通过实验证明了该算法能够满足加工中的精度要求和性能要求，插补进给速度波动小，速度曲线平滑连续。

［1］赵玉刚，宋现春. 数控技术［M］.北京:机械工业出版社，2003.

［2］Wang J，Yau H. Real -time NURBS interpolator:application to short linear segments［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，41(11 -12):1169 -1185.

［3］Yau H，Wang J. Fast bezier interpolator with real - time lookahead function for high-accuracy machining［J］. International Journal of Machine Tools and Manufacture，2007，47(10):1518 -1529.

［4］刘建伟. 数控系统运动规划及B 样条插补的研究［D］. 兰州:兰州理工大学，2005.

［5］胡自化，张平. 三次B 样条曲线恒速进给实时插补算法的研究［J］. 制造技术与机床，2000(8):31 -33.

［6］边玉超，张莉彦，戴莺莺，等. CNC 系统中NURBS 曲线实时插补算法研究［J］. 机械制造与自动化，2003(6):36 -39.

［7］王允森，盖容丽，孙一兰，等.基于牛顿迭代法的NURBS 曲线插补算法［J］.组合机床与自动化加工技术，2013(4):13 -17.

［8］施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B 样条［M］. 北京:高等教育出版社，2001.

［9］Les Piegl，Wayne Tiller. The NURBS book［Z］. Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH ＆ Co.k，1995.

［10］陈绍平. 三次NURBS 曲线的插值与应用［J］. 机械科学与技术，2001(5):692 -693，633.