臧德福，朱留方，沈永进，沈建国

（1.中石化胜利石油工程有限公司测井公司，山东 东营 257096；2.天津大学电子信息工程学院功率超声实验室，天津 300072）

0 引 言

瞬变电磁测井响应所依据的基本原理是电磁感应现象，用Doll几何因子进行近似描述，可以直接给出其二次场的形成过程以及二次场响应与地层电导率之间的简单关系，但是误差比较大。因此，Doll几何因子主要用于确定二次场的主要特征。感应测井的精确解［1］则能够克服其误差中集肤效应的影响，给出比Doll几何因子精度高的响应，但是不能够独立给出与地层电导率有直接关系的二次场特征。

感应测井的精确解是针对无限大均匀地层的［1］。介质中没有涉及到边界，因此没有不同介质之间电磁场的相互作用与影响等问题，与实际的瞬变电磁测井仍然有一定的差别。但是，其解对瞬变电磁测井仍然具有重要的意义，它揭示了无井条件下，瞬变电磁测井响应的基本规律［2－3］，即瞬变电磁感应所形成的一次和二次电磁场相加以后的基本特征以及在接收线圈上的响应特征。这些特征能够帮助认识、理解瞬变电磁测井基本原理，为进一步设计瞬变电磁测井仪器提供基础。

1 电磁感应精确解的势函数

在瞬变电磁测井Doll几何因子描述的理论推导过程中，没有考虑直接耦合信号对响应的影响，也没有考虑集肤效应以及假设的电流环之间的相互影响。严格理论求解包含了这些因素的影响［1］，在求解精确解时，首先选择了势函数A，该势函数可以对电磁感应响应进行全面描述，并且容易求解。

从式（1）可见，用势函数求出感应电动势，用级数表示感应电动势时，势函数实部的第1项Doll几何因子给出的二次场响应，虚部的第1项是直接耦合信号。而势函数作为级数展开时，其第1项是Doll几何因子推导时所得到的直接耦合信号，虚部的第1项则是Doll几何因子给出的二次场响应。因此，Doll几何因子是电磁感应响应的一阶近似，其他项在计算中被忽略了。对于瞬变电磁测井，第2项以后的项不是无限小项，不能够忽略。因此，必须研究精确解的特征。

瞬变电磁测井的瞬变激发频率有一个范围，频谱中，其幅度随频率减小。图1（a）所示的激发波形是一个瞬变激发波形，其突变是用一个指数函数拟合的，其对应的频谱如图1（b）所示，随着频率增加，幅度快速减小。

图2是考虑精确解以后的频谱，即将式（1）乘以激发波形的频谱［图1（b）］后所得到的频谱，包含了所有的激发响应的频谱。与图1相似，随着频率增加，图2的幅度也相应地减小。图3是用精确解频谱计算的瞬变电磁测井响应的势函数的模。将该势函数响应的实部和虚部分开得到图4和图5。可见势函数响应的实部与激发波形类似，不在突变位置时接近常数；响应的虚部在激发波形突变处幅度最大。

式（1）的响应有实部也有虚部，实部的幅度比较大，构成了其频谱的主要成分；虚部的幅度比较小，主要描述电磁感应导致的二次场。图2是总的势函数响应的频谱（模），包含实部与虚部，其幅度主要反映实部的特征。

图1 激发磁化电流波形及其对应的频谱

图2 考虑精确解频谱以后的总频谱

图3 势函数精确解响应的模

图4 势函数精确解响应的实部

图5 势函数精确解响应的虚部

2 激发波形的影响

激发波形不同，其激发的频率成分不同。通过改变激发波形，可以调整激发的频率，实现不同的测量目的。这是瞬变电磁测井最大的优势——灵活、适用范围广、可以根据需要调节激发波形，选择所测量的频率区间。用图6所示的2组激发波形进行激发，从图6（a）可以看到，其频谱的差别非常明显。蓝线的波形激发时持续时间比较长，间隙也比较长，红线的波形激发时，持续的时间比较短，中间的间隙也比较短。为演示激发效果，激发波形中还给出了幅度为负的激发波形。从图6（b）的频谱曲线可以看出，红线的低频成分比较少，高频幅度比较多，谱的连续曲线比较长；蓝线的低频成分比较多，频谱的起伏比较大。在蓝线幅度比较小的位置，红线的幅度比较大。因此，两者所测量的频率差别明显。

图7是用图6所示激发波形计算的瞬变电磁响应精确解的实部和虚部。从图7可以看到，实部与激发波形相似，虚部则在激发波形突变的位置出现尖的峰值，其峰值与地层的电导率成正比。这样，虚部既凸显了瞬变电磁响应的突变位置，又可能在激发波形突变的位置实现地层参数的测量。

图7中出现的与激发波形几乎完全一致的实部响应说明，精确解势函数的实部比较大，不随频率改变，虚部比较小，随频率改变。精确解响应的频谱对激发波形的频谱改变比较少，接近常数。

图6 激发波形时间改变时的波形及其频谱

图7 与图6激发波形对应的响应实部和虚部

以上计算的势函数可以描述磁场强度（电磁感应强度B）以及电场强度，用磁探针可以对其进行测量。通常的测井采用线圈接收，需要进一步计算瞬变电磁感应强度在接收线圈中产生的瞬变感应电动势。

3 瞬变电磁感应电动势

将接收线圈位置的电场强度沿圆周方向积分得到接收线圈的感应电动势U

式中，nR是接收线圈的圈数。从式（2）可见，瞬变电磁测井响应的电动势U比势函数A多了1个频率因子和虚数i。由于频率因子对瞬变电磁测井的响应波形影响比较大，因此，势函数波形与接收线圈的电压波形会有比较大的差别。

取发射、接收线圈之间的距离L为1 m进行计算。从图8（a）可见，计算的势函数A实部基本为1，虚部接近于0。即势函数A的精确解随频率变化比较小。将虚部部分放大得到图8（b）可见，随着频率的增加，虚部减小。将－iωμ乘到势函数A上以后得到感应电动势的频谱，原来的实部变成了虚部，原来的虚部变成了实部（见图9），其中，蓝虚线是感应电动势频谱的实部，红实线是势函数的虚部，红虚线是感应电动势频谱的虚部。A的虚部与感应电动势U的虚部有一定差别。

激发源频谱与势函数相乘得到的电磁感应电动势式（2）的频谱如图10、图11所示，瞬变电磁场将激发波形（见图6）的频谱从总趋势随频率减小1／（iω）改造成了总趋势的幅度基本不变（频谱的形状由激发波形决定）。由于总的趋势基本不变，其Fourier积分以后的波形形状接近于脉冲（因为理想脉冲的频谱为1）。图12所示为上述2种激发源所激发的瞬变电磁测井感应电动势的响应波形，从图12可见，其电磁感应电动势在激发波形突变的位置，响应非常明显，幅度比较大，响应的模（见图13）呈现脉冲形状。在激发波形从0到负的突变瞬间，电磁感应电动势的幅度最大，这是最容易测量的时刻，也是测量精度比较高的位置。其他位置的激发波形中还考虑了指数衰减，因此响应幅度比较小。改变电导率，计算响应曲线，将感应电动势的最大幅度取出得到图14。从图14可见，随着电导率的增加，感应电动势的最大值线性增加。由于每个响应脉冲的幅度都与地层的电导率成正比，所以，每个幅度都可以用来计算地层的电导率。只是每个峰在响应曲线中所处的位置不一样，所以，峰的幅度之间有差别，需要针对具体的峰设置相应的电导率计算方法。

图8 精确解势函数A中的实部和虚部

图9 精确解势函数A的虚部（红实线）、感应电动势的实部（蓝虚线）和虚部（红虚线）

图10 瞬变电磁测井感应电动势的实部与虚部

图11 瞬变电磁测井感应电动势精确解频谱的模

图12 瞬变电磁测井感应电动势的响应波形的实部和虚部

图13 电磁感应电动势响应的模

图14 响应的感应电动势最大值随电导率线性增加

4 分析与讨论

从上述计算结果可以看出，由于瞬变电磁场激发主要发生在激发波形的突变位置，即此刻电磁感应强度最大，所以此刻产生的感应电动势最强，瞬变电磁测井的响应最明显。随着突变激发的结束，激发电压或者电流趋于恒定，随时间变化为0，没有了电磁场的变化，瞬变电磁响应的感应电动势也很快恢复到0。因此，瞬变电磁测井中，瞬变是整个技术的核心，瞬变激发是瞬变电磁测井的主要特色。

瞬变电磁测井响应的计算比感应测井或者阵列感应测井多了一个对频率的积分，因此，频率因子对计算结果起着重要作用。直接的频率因子来源于电磁感应原理中电磁感应强度对时间的导数，在本文中最终表现为势函数对时间的导数。原来的感应测井研究单频正弦波的解，其响应仍然是正弦波，频率只有1个，在频率域中是1个值，并且是固定值，在感应测井响应中可以作为常数处理。瞬变电磁测井则要测量瞬变电磁响应波形，该响应波形在频率域中对应一个频率段，必须研究该频率段的响应。在该频率段内，每个频率的响应可以用感应测井得到。原来感应测井的响应便相当于瞬变电磁测井响应的频谱传递函数，将该函数乘以激发函数的频谱便得到瞬变电磁响应的频谱，再对频率进行一次Fourier积分即能够获得瞬变电磁测井响应波形。

用Doll几何因子计算时，由于有2次求导过程，其电磁感应电动势的频谱响应与频率的平方成正比，与瞬态激发波形的频谱相乘以后，将瞬态激发的频谱（随频率降低）变换为总趋势随频率线性增加的形状，即频率越高、幅度越大。即Doll几何因子将频率高的影响突出了出来，其结果是瞬变电磁测井的响应波形中感应电动势的响应脉冲很尖。

精确解中势函数的建立过程没有像Doll几何因子那样首先计算磁通量，再对时间求导，所以表达式中没有明显的频率因子。在低频，精确解势函数的实部接近1，虚部很小，因此，乘以激发源的频谱后，基本上没有对激发波形的频谱进行改造，保留了激发源频谱的原有特征。瞬变电磁测井势函数响应波形的计算结果是实部基本上还原了原来的激发波形，虚部则充分展现了其电磁感应响应的特征。

用精确解的势函数计算电磁感应电动势时需要对时间求一次导数，对于单频正弦波相当于乘了频率因子，将高频成分的幅度进行了放大，与激发波形的频谱（幅度随频率的增加而减小，总的趋势与频率成反比）相乘后，最终的结果使得瞬变电磁测井的感应电动势频谱的总体趋势基本保持不变，不像Doll几何因子那样，随频率线性增加。与Doll几何因子的计算结果有比较大的差别。对频率做完Fourier积分以后，在激发电流的突变处，瞬变电磁测井的感应电动势也出现了一个比较尖的峰值。相对于Doll几何因子计算的感应电动势波形，其响应峰的形状比较缓慢。

5 结 论

（1）基于无限大均匀介质瞬变电磁感应精确解的势函数主要刻画了瞬变电磁响应，其变化特征与电磁感应电动势有一定的差别，两者的频谱中相差一个频率因子；响应波形虽然都为脉冲形状，但是，形状上有一定的差别。当激发波形出现正的突变或负的突变时，正、负突变处均会感应出电动势，其他位置则幅度比较小。突变位置是最佳的测量时刻。突变位置的瞬变感应电动势峰值与地层的电导率成正比，其他位置的电磁感应电动势幅度比较小。当正、负突变位置相距比较远时，瞬变电磁测井响应波形主要在突变位置明显；当正、负突变位置相距比较近时，瞬变电磁测井响应波形会相互叠加。可以通过调整激发波形形状改变响应幅度，选择测量位置。

（2）与现有的电阻率测井方法不同，瞬变电磁测井主要以测量低频电磁感应为目的，所能够测量到的电磁感应电动势的幅度比较小，因此需要大幅度增加激发强度。瞬变电磁测井是一种大功率测井方法。

［1］ 张庚骥.电法测井：上 ［M］.北京：石油工业出版社，1984.

［2］ 米萨克，N纳比吉安.电磁法第1卷：理论 ［M］.赵经祥译.北京：地质出版社，1992.

［3］ 李貅.瞬变电磁测深的理论与应用 ［M］.西安：陕西科学技术出版社，2002.