何建伟，邵海琴，郭莉琴，王力梅

（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001）

非Armendariz环的最小阶

何建伟，邵海琴，郭莉琴，王力梅

（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001）

利用有限环的同构分类，以及两个判断Armendariz环的充分条件，讨论了非Armendariz环的最小阶数，最后得出，交换的非Armendariz环的阶数最小为4，非交换的非Armendariz环的阶数最小为8，并给出了这些最小阶数对应环的构造。

有限环；非Armendariz环；最小阶

本文所指的环都是结合环但不一定含有单位元，称环R是Armendariz环，如果对R［x］中任意两个多项式

f（x）=a0+a1x+…+anxng（x）=b0+b1x+…+bmxm

若f（x）g（x）=0，则对任意整数0≤i≤n，0≤j≤m，有aibj=0，对Armendariz环的讨论始于文献［1-2］，在文献［3-6］中分别讨论了弱Armendariz环，称环R是弱Armendariz环，如果对R［x］中任意两个线性多项式f（x）=a0+a1x，g（x）=b0+b1x，若f（x）g（x）=0，则对任意整数0≤i≤2，0≤j≤2，有aibj=0。文献［7］中得到了两类不一定是reduced环的Armendariz环。

1 主要结果

一个环R关于乘法构成一个含零元的半群，下面的命题是显然的。

命题1若R2=0，则环R是Armendariz环，称环R是reduced环，如果R不含非零幂零元，Armendariz注意到reduced环一定是Armendariz环。

命题2若环R是reduced环，则R是Armendariz环。

命题3若环R的一个非空子集A满足∶

（1）A2=0。

（2）对R中任意两元素x，y，若xy=0则x∈A或y∈A且当x∈A时，xR=0，当y∈A时，Ry=0，则R为Armendariz环［7］。

命题4若环R的一个非零理想I满足∶

（1）I2=0。

（2）对R中任意非零元素x1，x2，x3，x4，若x1x2=0，x1x4+x3x2=0，x3x4∈I，则x1，x2，x3，x4∈I，则R是Armendariz环［7］。

对于最小阶的非Armendariz环，首先，阶为素数的环或者是零乘环或者是reduced环，所以也是Armendariz环。阶为1的环显然也是Armendariz环，故讨论四阶环的Armendariz性。

由文献［8］知，不同构的四阶环只有11类，沿用文献［8］的符号将这11类环表示为Ri，i=1，2，…，11.分别讨论其Armendariz性。

命题5 R1是Armendariz环。

证明I=｛0，b｝是R1的理想满足I2=0，若R中任意非零元素x1，x2，x3，x4，满足x1x2=0，x1x4+x3x2=0，x3x4∈I，如果x3x4=0，则x1=x2=x3=x4=b∈I；如果x3x4=b，因为b（x4+x3）=0所以x4+x3=0或x4+x3=b但x4+x3=0将推出x4=x3，这与x3x4= b矛盾，故只能是x4+x3=b，但1+b≠b且c+b≠b，都与x3x4=b矛盾，故此x3x4=b不会出现。由命题4，R1是Armendariz环。

R2是reduced环故也是Armendariz环。R3是零乘环故也是Armendariz环。

命题6 R4是Armendariz环。

证明A=｛0，a｝是环R的一个非空子集满足A2= 0，若xy=0则x∈A或y∈A且当x∈A时，不论x= 0还是x=a都有xR=0，同样如果y∈A，那么Ry= 0，由命题3知R4是Armendariz环。

同理可证明R5，R6，R7也是满足命题3的Armendariz环，R8是无零因子环，故是reduced环，所以是Armendariz环，R9是零乘环，故是Armendariz环，R10与模4剩余类环同构，在文献［7］中已经证明模4剩余类环为Armendariz环。

命题7 R11是弱Armendariz环但不是Armendariz环。

证明R11的加法表和乘法表分别见表1和表2。则有R11中的多项式乘积等式（a+（3a）x+（2a）x2）（2a+（3a）x+ax2）=0，但a（3a）=2a≠0，故R11不是Armendariz环，但是对R11中任意两个线性多项式f（x）=a0+a1x，g（x）=b0+b1x，若f（x）g（x）=0，不妨假设a0，a1，b0，b1都是非零元，则a0，a1，b0，b1∈｛a，2a｝，若a0= 2a，则f（x）g（x）=（a1x）（b0+b1x）=0，所以对任意整数0≤i≤2，0≤j≤2，有aibj=0，若a0=a，则b0= 2a，同上可知对任意整数0≤i≤2，0≤j≤2，有aibj= 0，这说明R11是一个弱Armendariz环。

综合以上七个命题，有∶

定理1交换的非Armendariz环最小阶为4，在同构的意义下只有一类。

对于交换的非Armendariz环的最小阶数，只需从六阶以上的环中去寻找。由文献［8］，六阶环在同构意义下只有四种，用文献［8］记号表示为R1，R2，R3，R6，其中R1是reduced环，所以也是Armendariz环。R2中取非空子集，可证明其是满足命题1的Armendariz环。R6是零乘环，故也是Armendariz环，在八阶环中，考虑模2剩余类环Z2的2阶上三角矩阵环T2（Z2），由文献［7］知其不是Armendariz环，这个环是非交换的。

定理2非交换的非Armendariz环最小为8阶。，R3中取非空子集

2 结束语

综上讨论，交换的非Armendariz环的阶数最小为4，非交换的非Armendariz环的阶数最小为8，对于其它环，也可以考虑用同构分类的方法做类似地讨论。

［1］Armendariz E P.A note on extensions of Baer and p. p.-rings［J］.J.Austral.M ath Soc'1974'18:470-473.

［2］Rege M B'Chhawchharia S.Armendariz rings［J］.Proc. Japan Acad.Ser.A Math.Sci'1997'73:14-17.

［3］Lee T K'Wong T L.On Armendariz rings［J］.Houston J.Math'2003'29:583-593.

［4］伍惠凤.关于弱3-Armendariz环［J］.杭州师范大学学报:自然科学版'2012(3）:241-244.

［5］解晓娟.弱M-拟Armendariz环［J］.安徽师范大学学报:自然科学版'2012(2）:123-126.

［6］解晓娟.中心弱Armendariz环［J］.郑州大学学报:理学版'2012(2）:10-12.

［7］Jian W H'Sheng Z R.The power-serieswise Armendariz rings with nilpotent subsets［J］.Scientia Magna' 2010'6(4）:107-112.

［8］张学哲.四元环的同构分类［J］.山西师范大学学报:自然科学版'2002'16(4）:1-6.

［9］杨子胥.近世代数［M］.北京:高等教育出版社'2003.

The Least Order of Non-Armendariz Ring

HE Jianwei，SHAO Haiqin，GUO Liqin，WANG Limei
（School of Mathematics and Statistic，Tianshui Normal University，Tianshui741001，China）

According to the isomorphism classification of finite ring，and two sufficient conditions for deciding Armendariz ring，the leastorder of non-Armendariz ring is studied.Then it can be concluded that the leastorder of non-Armendariz ring is four，the least order of non-Armendariz ring is eight when the ring is commutative.Finally，the structures of these rings that have the least orders are presented.

finite rings；non-Armendariz ring；the least order

O153.3

A

1673-1549（2014）01-0092-02

10.11863/j.suse.2014.01.23

2013-08-01

天水师范学院中青年教师科研资助项目（4012012010005）

何建伟（1983-），男，甘肃天水人，讲师，硕士，主要从事环论方面的研究，（E-mail）he_jw@163.com