胡敬轩，商跃进，王 红

(兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州 730070)

1 引言

我国铁路货车正在向高速、重载方向发展，车辆自重也随之增加。车辆自重的增加必然会导致轮轨之间垂向作用的增加，尽量减少每个零件的重量一直是科研人员的研究方向。满足使用要求同时能做到轻量化，是弹簧设计的新方向。马金奎［2］在弹簧优化过程中，没有考虑疲劳强度约束条件，然而疲劳断裂是弹簧断裂的主要失效形式［3］;岳桂杰［4］通过Matlab来完成优化，然而Matlab具有需要编程，可操作性差，人机交互差等缺点。为此，本文考虑了疲劳强度建立了重载货车弹簧的优化设计数学模型，并研究了利用Maple的优化工具求解模型的方法。

2 弹簧优化设计模型建立

2.1 设计变量

簧条直径、弹簧工作圈数以及弹簧中径是圆柱螺旋弹簧的最基本参数，其它参数均为导出参数。因此，将簧条直径d、弹簧工作圈数n及弹簧中径z这三个基本参数作为设计变量。

2.2 目标函数

分析可得圆柱螺旋弹簧的质量计算公式如下:

式中:nz为弹簧支撑圈圈数;ρ为弹簧材料密度，7.8×10-6kg/mm3。

2.3 约束条件

约束条件有:刚度、剪切强度、疲劳强度、稳定性、不发生共振、不并圈、旋绕比。

2.3.1 刚 度

刚度是弹簧的重要指标之一，根据现场与实际经验总结，要求刚度必须与理论刚度相一致。

式中:Kv为弹簧的刚度;G为弹簧钢的剪切弹性模量，79.4 GPa［5］;［Kv］为许用刚度。

2.3.2 剪切强度

为了满足弹簧的强度条件，要求弹簧的应力必须小于许用切应力。

弹簧的切应力计算公式:

式中:τmax为最大切应力;［τ］为许用切应力;C是应力修正系数或曲度系数，其中，m为旋绕比

2.3.3 疲劳强度条件

弹簧的破坏性试验主要是疲劳折断，为此，引入疲劳强度条件。由文献［6-8］相关公式整理可得弹簧疲劳强度为:

式中:τmax为最大剪切应力;［τ-1］为疲劳许用应力。

2.3.4 稳定性

为了保证弹簧的稳定性，要求高径比不超过许用值，即

式中:H0为弹簧自由高，即弹簧无载荷状态下的高度;fmax为最大挠度;Kvd为弹簧挠度裕量系数。

2.3.5 不发生共振

在达到零件固有频率附近时，会产生共振。为了保证弹簧不发生共振现象，需要对弹簧的固有频率进行约束。弹簧无共振约束为自振频率大于两倍工作频率。则约束条件:

式中:f为弹簧自振频率，f=3.56 ×105×d/nz2。

2.3.6 不并圈

保证弹簧在最大载荷作用下不会发生并圈现象，最大载荷时弹簧高度H1=H-h，并圈高度:

2.3.7 旋绕比

旋绕比，即弹簧指数，用m表示。铁路车辆弹簧一般取m=4～7。

针对这种复杂的非线性数学规划问题，明显地，已无法通过传统方法来完成求解。一般地，这种问题需要借助数学软件处理。

3 基于Maple的求解方法

Maple是一款强大的数学及工程软件，它在全球拥有数百万用户，被广泛地应用于科学、工程和教育等领域。其中，Matalab软件也是基于Maple内核的。在Maple17中可以通过优化程序包求解优化问题，通过该程序包可以求解线性规划(LPs)、二次规划(QPs)、非线性规划(NLPs)、以及线性和非线性最小二乘问题。尤其，其中优化助手使用交互式求解简便易用［9］。

优化助手允许通过点击方式输入、编辑和求解问题，无需输入命令。如图1所示，在Maple的优化界面相应位置输入相应参数，求解即可。另外，在Maple中可以冻结或解冻某一约束，看这一约束对优化结果的影响，可以观察出某一约束为强约束还是弱约束。

图1 Maple的交互式优化界面

4 算例

为了证明此优化方法的可行性，下面对某型货车弹簧进行优化设计。弹簧基本参数如表1所列。

表1 某型货车弹簧的部分参数

将表1中的参数代入式(1)～(8)的货车弹簧优化设计模型如下:

如图2所示，将式(9)输入到目标函数区域，式(10)～(16)输入到约束区域，完成后求解，优化结果如表2所列。

图2 Maple的优化结果

表2 弹簧优化设计结果

由表2可见，弹簧优化后，相比优化前质量减少了33.87%，与现场使用弹簧优化了5.56%，优化效果良好。

另外，经冻结部分约束，发现旋绕比、频率、不并圈、剪切强度约束为弱约束;疲劳强度和刚度为强约束。由此可见，疲劳强度及刚度两个指标对于弹簧的重要性。

5 结语

通过弹簧的优化计算过程可见，弹簧优化后，相比优化前质量减少了33.87%，较现场使用弹簧质量减少了5.56。且设计结果与现场使用弹簧基本一致，这证明了此方法的正确性与可行性。另外，经冻结部分约束，发现旋绕比、频率、不并圈、剪切强度约束为弱约束;疲劳强度和刚度为强约束。由此可见，疲劳强度及刚度两个指标对于弹簧的重要性。Maple优化助手具有可操作性强，无需编程，变量可直接输入，人机交互界面良好等优点，操作均十分方便，可推广用于解决同类问题。

［1］ 田福祥.圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计［J］.机械设计与制造.1986(6):5-7.

［2］ 马金奎.基于Matlab的弹簧优化设计新方法［J］.机床与液压.2004(12):99-101.

［3］ 商跃进.基于Matalab的圆柱螺旋弹簧优化设计［J］.中国农机化.2006(3):73-75.

［4］ 岳桂杰.圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计［J］.煤矿机械.2012(3):23-25.

［5］ 严隽耄，傅茂海.车辆工程［M］.北京:中国铁道出版社，2007.

［6］ 金 花.基于MATALAB的圆柱螺旋弹簧结构优化设计［J］.内燃机，2010(2):10-11

［7］ 张英会，刘辉航，王德成.弹簧手册［M］.北京:机械工业出版社，2003.

［8］ 赵洪伦.机车车辆弹簧疲劳性能线图试验研究［J］.铁道车辆，2000，38(12):72-76.

［9］ 何 青，王 丽.Maple教程［M］.北京:科学出版社，2013.