邵军虎, 李静, 赵奇, 柯熙政

(西安理工大学 自动化与信息工程学院，陕西 西安 710048)

自由空间光通信(FSO)近年来已成为空间卫星通信、军用安全通信、高速宽带无线接入、FSO/RF(Radio Frequency，射频)混合通信网络等领域的一项热门研究技术[1-2]。由于激光信号在大气传播中受到大气粒子、大气湍流等因素的影响，引起信号光的吸收和散射效应，极大降低了FSO通信系统的数据传输可靠性[3-4]。

LDPC码作为当前一类可逼近信道容量限的好码[5-6]，得到了广泛的关注和研究。其中结构化LDPC码具有循环(Cyclic)或准循环(Quasi-Cyclic, QC)的校验矩阵形式，因此更利于降低编译码器的硬件实现复杂度。欧氏几何LDPC码作为一类重要的结构化LDPC码，通常具有较大的行列重量，较快的译码收敛速度以及较低的错误平层特性[7-8]。

将LDPC码应用于FSO通信系统，针对大气湍流信道的特点设计可逼近该类信道容量的LDPC码方案，仍是当前无线光通信领域的一个热点研究问题[9]。针对目前FSO系统中普遍采用的随机构造和π-旋转构造LDPC码方案，已有对数正态分布弱湍流以及gamma-gamma分布中强湍流时的性能仿真结果[10-12]。相比于随机构造和π-旋转构造LDPC码，欧氏几何LDPC码较大的行列重量使其具有更低的错误平层和更快的译码收敛速度，从而降低其硬件实现复杂度[13]。

本文针对服从对数正态分布的大气弱湍流信道模型，采用欧氏几何LDPC码和PPM调制方案，给出其在大气激光通信链路下的软解调迭代译码算法流程，并对不同码长和码率的EG-LDPC码分别采用2PPM，4PPM，16PPM调制时的软解调迭代译码性能进行了Monte Carlo仿真。不同湍流强度下的仿真结果表明，采用2PPM调制的低码率欧氏几何LDPC码方案，在较低迭代次数的条件下可有效提高FSO通信链路的译码纠错性能。

1 欧氏几何LDPC码的校验矩阵构造

欧氏几何LDPC码是基于欧氏几何(Euclidean Geometry，EG)空间中点线面的结构与性质，构造出的一类具有准循环结构的LDPC码，简称EG-LDPC码[14]。将欧氏几何空间EG(m,2s)中的原点和所有经过原点的线移除之后，便得到其子几何EG*(m,2s)，基于EG*(m,2s)空间的点和线组合得到一个HEG,c校验矩阵，这里c表示矩阵具有循环结构。对于基于有限域GF(q)(这里q=2s)的m维欧氏几何空间EG*(m,q)而言，其共有n0=qm-1个点以及J0=(qm-1-1)(qm-1)/(q-1)条不经过原点的线，分别对应HEG,c矩阵中的列和行。

本文选择基于m=2的二维欧氏几何空间来构造EG-LDPC码的校验矩阵HEG,c，首先确定矩阵的第一行，对于EG*(2,q)中任意一条不经过原点的线L，定义其入射向量vL=(v0,…,vi,…,vq2-2)为GF(2)上的(q2-1)重向量，其中(q2-1)个分量分别对应EG*(2,q)中除原点外的其余(q2-1)个点，当点αi在线L上时vi=1，否则vi=0。有上述第一行向量，对于所有0≤t<22s-1，线αi+1L的入射向量vαi+1L可由线αiL的入射向量vαiL循环右移一位得到。将上述基于有限域GF(2s)上欧氏几何空间线的入射向量及其循环移位向量依次作为矩阵的行，则可得到一个(22s-1)×(22s-1)的EG-LDPC码校验矩阵HEG,c。

由于矩阵HEG,c一般为非行满秩矩阵，其列数(22s-1)等于所构造EG-LDPC码的码长n；矩阵的秩rank(HEG,c)等于所构造EG-LDPC码的校验位数目(n-k)，故码率R=k/n=1-rank(HEG,c)/n。更多关于欧氏几何空间相关概念以及EG-LDPC码的具体构造方法，可参见文献[7-8,13] 。

2 大气湍流PPM信道下欧氏几何LDPC码的软迭代译码算法

2.1 大气湍流PPM调制信道的输出软信息计算

大气激光通信系统中的大气湍流信道是一类具有时变强度增益和加性高斯白噪声的离散无记忆信道[15]。假定信道平稳遍历，则其信道模型可描述为:

yk=Ikxk+nkIk>0

(1)

式中，xk为发端发送的已调数字信号，yk为接收端的接收信号，Ik是接收器接收到的光强，nk是均值近似为0、方差为N0/2的加性高斯白噪声，且假定nk与Ik相互统计独立。通常在弱湍流的情况下，接收端的光强Ik服从对数正态分布，其概率密度函数为[16]:

(2)

式中，σ2为湍流强度的对数方差，它取决于大气传输时的信道状态。

对于采用脉冲位置(PPM)调制的强度直接检测(IM/DD)大气激光通信系统，M-PPM调制是将K位二进制比特X=(x0,x1,…,xK)∈{0,1}K调制到一个具有M=2K个时隙的PPM 脉冲上。假设在PPM帧的每个时隙间隔内信道状态信息为固定值，则在该时隙内大气弱湍流传输信道等效为一个输出光强服从对数正态衰落且受到加性高斯白噪声影响的离散无记忆信道模型。

假设每个时隙中的信息比特取值为0和1的先验概率相等，第j个PPM帧相应的脉冲位置是d，则可得第j个PPM帧中的第i个时隙(时隙宽度为T)所对应信息比特xl=c的后验概率p(xl=c;T)[10]：

(3)

对上述公式两边同取对数，可得其对数似然比表达式为：

(4)

为了研究PPM调制的时隙数对EG-LDPC码软迭代译码性能的影响，下面基于公式(3)，给出M-PPM调制在M=2、4、16时信道输出的软信息计算过程。

1)当M=2时，第j个PPM帧对应的二进制比特序列中只有一个信息比特，即为比特0或者1。比特0经过2PPM调制后的映射序列为(1,0)，其相应的脉冲位置是1。比特1经过2PPM调制后的映射序列(0,1)，其相应的脉冲位置是2，所以公式(3)的形式可写为:

(5)

2)当M=4时，第j个PPM帧对应的二进制比特序列表示中有两个信息比特，将该序列记为X=(x1,x2)。如果x1=0，那么有可能的比特序列为X1=(0,0)，X2=(0,1)，如果x1=1，那么有可能的比特序列为X3=(1,0)，X4=(1,1)。所以当x1=0时，第j个PPM帧的后验概率为：

(6)

当x2=0时，第j个PPM帧的后验概率为：

(7)

3)当M=16时，第j个PPM帧对应的二进制比特序列表示中有四个信息序列，记为X=(x1,x2,x3,x4)。如果x1=0，那么有可能的比特序列为:X1=(0,0,0,0)，X2=(0,1,0,0)，X3=(0,0,1,0)，X4=(0,0,0,1)，X5=(0,1,1,0)，X6=(0,1,0,1)，X7=(0,0,1,1)，X8=(0,1,1,1)。所以x1=0时，第j个PPM帧的后验概率为：

(8)

同理，可得出x2,x3,x4分别为0时，第j个PPM帧的后验概率表达式,且xl取值为1的后验概率为:

p(xl=1;T)=1-p(xl=0;T)l=1,2,3,4

(9)

将上述公式(5)到公式(9)中关于M-PPM调制在时隙数M分别为2、4、16时对应比特取值为0和1的概率，代入公式(4)可得到信道输出的软解调对数似然比信息，该信息作为初始信息送给EG-LDPC码的译码器进行后续迭代译码操作。

2.2 欧氏几何LDPC码的迭代译码算法

对于二进制的EG-LDPC码来说，传递消息的度量采用对数似然比的形式，使得校验节点信息更新中的乘法运算变成加法运算，从而降低译码复杂度。这类算法称为对数域置信传播(BP)译码算法，其译码步骤简述如下。

1)初始化

计算信道传递给变量节点的初始概率似然比消息L(pi)，i=1,2,…,n，并设定译码算法的最大迭代次数Imax。对每一个变量节点i，由上节中关于公式(4)的计算过程，可得到变量节点传向校验节点的信道初始消息为:

(10)

2)迭代过程

校验节点消息处理：

对所有校验节点j和与其相邻的变量节点i∈R(j)，第l次迭代时，计算第j个校验节点向第i个变量节点传递的消息。

(11)

变量节点消息处理：

对所有变量节点i和与其相邻的校验节点j∈M(i)，第l次迭代时，计算第i个变量节点向第j个校验节点传递的消息。

(12)

3)译码判决

对所有变量节点计算硬判决消息。

(13)

3 性能仿真与分析

根据第二节中关于EG-LDPC码的校验矩阵构造过程，分别选择基于有限域GF(q)在q=24、25、26时m=2的二维欧氏几何空间，构造出码长分别为255、1 023、4 095，行列重分别为16、32、64的三组EG-LDPC码，详细参数见表1中所示。

对于码长为255，码率为0.686，行列重均为16的EG-LDPC码，采用第三节中的软迭代译码算法，设置最大迭代次数Imax为20次时，在AWGN信道以及湍流强度σ2分别取0.01、0.04、0.09、0.16的大气弱湍流2PPM调制信道下的误码率性能仿真结果，见图1中所示。

表1 三组不同码长码率的EG-LDPC码

图1 不同湍流强度下EG-LDPC[255,175]码的误码率性能

由图1中的性能曲线可以看出，相比于EG-LDPC[255,175]码在AWGN信道下的译码性能，在大气湍流信道下随着湍流强度σ2的增加其译码性能逐渐变差。该结果与实际物理含义相一致，因为湍流噪声的引入势必会恶化译码器的纠错性能，且湍流噪声的强度越大出错的可能性也越大，从而误码率也更高。对比图1中σ2=0.04的弱湍流信道下未加编码(uncoded)时的性能曲线可以看出，采用[255,175]的EG-LDPC码在BER为10-4时，可获得大约14 dB的编码增益。

为了验证不同参数的EG-LDPC码在大气湍流信道下的软迭代译码性能，选择对表1中码长为1 023、4 095的两组EG-LDPC码，在湍流强度分别为0.04、0.09、0.16的大气弱湍流2PPM调制信道下的误码率性能进行了仿真，结果见图2中所示。这里采用的译码算法为第三节中的软迭代算法，设置最大迭代次数Imax为20次。

由图2中关于码率为0.763行列重均为32的[1023,781] EG-LDPC码，以及码率为0.822行列重均为64的[4095,3367] EG-LDPC码，在不同湍流强度下的BER性能曲线可以看出，两者的BER性能均随着σ2的增大而逐渐降低。由于前者的码率为0.763比后者0.822的码率低，因此同等参数下具有更好的性能，但信息传输效率较低。同时对比两者在高信噪比下的瀑布区性能，可以看出后者的错误平层更低，这是由于后者具有更高的行列重量使得其码最小距离也会更大。

图2 不同参数EG-LDPC码在不同大气湍流强度下的误码率性能

由于EG-LDPC码普遍具有较高的行列重量，使得该类码在实际应用中仅需较少的迭代次数达到较好的译码性能，从而降低译码器的运算处理时延。为了验证大气湍流信道下的EG-LDPC码在不同迭代次数时译码性能，这里选择对表1中[4 095,3 367] EG-LDPC码在设置不同最大迭代次数时的译码性能进行Monte Carlo仿真，其结果见图3中所示，这里信道的湍流强度σ2=0.04。

由图3中最大迭代次数Imax分别为1, 5, 20, 100次时的BER性能曲线可以看出，随着迭代次数的降低其译码性能逐渐变差；最大迭代次数为5次时相比最大迭代次数100次时在BER为10-5时仅损失大约0.8 dB的性能增益，却能够带来更低的译码复杂度和译码处理时延。

为了比较EG-LDPC码在不同时隙M-PPM调制时的性能，对表1中[255,175]EG-LDPC码在M分别为2、4、16时的软迭代译码性能进行仿真，其结果见图4中所示，这里信道的湍流强度σ2取值分别为0.01和0.04。由图4中的性能曲线可以看出，随着PPM调制时隙数M的增加，其软解调迭代译码性能有所降低，在BER为10-5时，4PPM相比2PPM大约有1.6 dB的增益损失，16PPM相比4PPM大约有1.7 dB的增益损失。因此，在大气弱湍流信道下采用2PPM调制的EG-LDPC编码调制方案可以获得更好的软迭代译码纠错性能。

图3 大气湍流信道下[4095, 3367]EG-LDPC码在不同最大迭代次数时的性能

图4 [255,175]EG-LDPC码在不同M-PPM调制下的性能

4 结 论

本文针对FSO通信链路中大气湍流噪声对数据传输可靠性的影响，提出在对数正态分布的大气弱湍流信道下采用高行列重量的EG-LDPC码和PPM调制方案，给出了该类方案适用的软信息计算方法及迭代译码算法流程，并对其在不同的湍流强度下的译码纠错性能进行了仿真分析。结果表明，不同码长和码率的EG-LDPC码在采用文中给出的软迭代译码算法时均可获得很好的译码纠错性能。另外，对于采用2PPM，4PPM，16PPM调制的EG-LDPC编码调制方案性能的仿真结果表明，采用低码率的EG-LDPC码和2PPM调制方案，在不同强度的大气湍流信道下可获得大约1.6dB的编码增益提升，且算法仅需很少的最大迭代次数，从而可有效降低译码器的运算复杂度和处理时延。

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