杨宇祥, 吴波波，倪文文，唐旋

(西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，陕西 西安 710048)

钢琴作为乐器之王，在人们精神生活中扮演着越来越重要的角色。但是钢琴每使用4～6个月就会出现琴音不准的问题，需要定期调音[1]。钢琴调音就是调节琴弦的松紧程度，使琴音达到正常的音准[2]。传统的调音依靠调音师凭借耳朵的听力和调试经验来完成，每次调音至少需要几个小时才能完成。这种调音方法受调音师的专业水平和音乐修养的影响较大，调音准度没有确定的指标。实际上，琴音是由某个基频与高次谐波构成的、振荡时间很短的周期信号[1]，而琴音的音准是根据它的基频来决定的，因此只要测出其琴音的基频值，就可以精确地知道该琴音与音准标准频率的差异[3]。钢琴调音仪的出现就是为了解决钢琴琴音基频的精准测量问题，直观显示被测琴键声波频率与标准频率之间的差异，以精确指导钢琴的调音。

目前钢琴调音仪的测频方法主要有多周期同步测频法[4]和基于快速傅立叶变换(FFT)的数字测频法[5-6]，但这两种方法都存在一定的缺陷。多周期同步测频法是在测周的基础上，在信号的多个时间周期内测量信号的频率。但是由于计数脉冲和门控信号很难同步，所以一般会产生±1 Hz的误差，因此基于多周期同步测频法的钢琴调音仪一般精度不高，达不到理想的调音效果[7]。基于FFT的数字测频法应用更为广泛，但对于钢琴琴音频率检测来说，由于钢琴琴弦的振荡时间短(一般在5 s以内)，提高采样率并不能提高频率分辨率，而且一般无法实现严格的整周期采样，FFT算法存在频谱泄漏和栅栏效应，严重影响了频率测量的精度[8-9]。

本文针对以上两种调音仪测频方法存在的问题，提出一种基于近似整周期采样的数字测频算法，该算法整合了过零比较法[10]和拉格朗日插值法[11-13]，实现采样数据的近似整周期采样以消除FFT频谱泄露和栅栏效应带来的测量误差[14-15]，最终实现琴音信号的高精度测频。设计了一种基于STM32-F407的便携式数字钢琴调音仪，可直观显示被测频率与标准频率之间的差异，以精确指导调音师对钢琴的调音工作。

1 基于近似整周期采样的数字测频原理

钢琴琴音信号的主信号是某一频率的正弦波，可以用下式表示：

u(t)=Umsin(2πft+φ)

(1)

其中，Um表示信号幅值，f表示信号的频率，φ表示信号的初相。

近似整周期采样数字测频法原理如图1所示。图1中，音频信号经模数转换器(ADC)采样后变成数字信号，经过FIR滤波后滤除杂波信号，经过零比较后得到粗略频率f′；随后根据f′调整采样率和FIR滤波器参数进行跟踪采样和跟踪滤波，得到单周期内约256点的采样值；再利用拉格朗日插值算法对采样值进行插值处理，调整为近似整周期采样的单周期固定256点数字信号；最后通过256点FFT算法得到高精度频率值f。

图1 近似整周期采样测频原理

1.1 FIR数字滤波器

钢琴琴音是具有确定频率的正弦波信号，ADC进行信号采集时会有低频及高频杂波介入，从而影响频率测量的精度和稳定性。为此，本文设计FIR数字滤波器，滤除ADC采集后f′离散钢琴琴音数据波形的杂波信号，得到其有效的主频波形信号，以保证后续过零比较测频算法的频率测量精度。FIR滤波器即有限长单位冲激响应滤波器，为数字信号处理系统中最基本的单元，具有严格的相位线性和稳定性，且适合硬件实现。

FIR数字滤波器的设计，必须确定FIR数字滤波器的滤波类型、滤波窗函数、滤波阶数、滤波器的抽头系数，这样才能得到一个确定的FIR数字滤波器。本文设计的FIR滤波器主要是为了滤除每个琴键主频附近的低频及高频杂波干扰，因此滤波器类型选为带通滤波器；选择常用的、滤波效率高的Hamming窗作为滤波窗函数；通过Matlab仿真对滤波效果的比较分析，并综合考虑CPU的运算能力等各方面因素，滤波器阶数选为32阶。

1.2 过零比较粗略测频

在进行跟踪采样及跟踪滤波前，需要确定当前所测信号的粗略频率值，本文采用过零比较测频法完成该工作。原理上只要测得两次过零点之间的点数，用采样率除以所得点数就是波形的频率。过零比较测频法原理简单，运算量小，受谐波影响很小，响应时间快。但是频率精度受量化误差和过零点扰动影响，频率存在一定的误差。

过零比较测频法原理如图2所示。设在采样频率fs下得到的采样序列为:

y=u(kTs)

其中Sample[k1]、Sample[k2]、Sample[k3]、Sample[k4]为波形的过零点，过零点波形示意如图2所示。将Sample[k1]和Sample[k4]之间的所有采样的数据点数做计数，得到一个波形周期中的数据点数N，则波形的粗略频率f′=fs/N。

图2 过零比较测频原理

1.3 跟踪采样与跟踪滤波

由过零比较法得到信号的粗略频率后f′，用f′来设定跟踪采样的采样率和跟踪FIR滤波参数。使用定时器触发ADC的方式设定跟踪采样的采样率为f1=f′×256，因此可以得到信号单周期内约256点的采样值。跟踪滤波器的滤波参数按照88个钢琴琴键的标准频率设定滤波参数，并存储到系统自带存储器中。每次滤波时按照f′值选择相应的滤波参数并完成滤波。

1.4 拉格朗日插值

由过零比较法得到的粗略频率f′仅是信号频率的粗略估计，因此实际上在跟踪采样率f1下很难得到整周期采样，即一个周期256个点采样。众所周知，非整周期采样是造成后续FFT算法产生频谱泄露的主要原因[8-9]。本文利用拉格朗日插值算法将采样值进行插值处理，调整为近似整周期采样的单周期固定256点数字信号，从而最大程度减小FFT算法中频谱泄露带来的影响。

设在跟踪采样率f1下得到的真实采样序列为u(k)=u(kT1)，T1为相应的采样周期。又设信号的真实频率(待测频率)为f，如果考虑到运行256点FFT算法时不发生频率泄露，则理想的采样率应为fs=256f。设Ts为相应的采样周期，则相应的理想采样序列为:

y(k)=u(kTs)=u(kT1f1/fs)=u(k′T1)

(2)

其中k′=kf1/fs。

由于k′一般不是整数，即理想采样序列y(k)位于真实采样序列u(k)各点的中间，因此可以在u(k)相邻的两点之间进行线性插值，得到y(k)的估计值。设:

a=kf1/fs

(3)

式中，k表示采样点的序号，f1为跟踪采样率，表示向下取整。

设b是小于a的最大整数，将y(k)在u(b)和u(b+1)间进行线性插值，其线性插值公式如下[10]：

(4)

式(4)即插值后得到的新采样序列，经过FFT算法后即可得到信号频率f的高精度估计值。

1.5 插值误差分析

近似整周期采样的数字测频方法包括FIR滤波、过零比较、跟踪采样、跟踪滤波、拉格朗日插值、快速傅里叶变换等算法，其中拉格朗日插值是一种近似代替算法，存在一定误差，会造成精度的损失。

拉格朗日插值的精度由其插值余项(截断误差)R1决定，y(k)的拉格朗日插值余项为[10]：

(5)

其中，ξ∈[bTs, (b+1)Ts]。

又根据式(1)可得:

|u″(ξ)|=Um(2πf)2|sin(2πfξ+φ)|≤Um(2πf)2

(6)

因此，每个采样点的插值误差为：

(7)

对于琴音电压信号有：Um为信号的最大幅值(3.3 V)，f为被测信号的频率值，fs为采样率。因为采样点数N=fs/f，代入上式有：

(8)

本系统中选取样本点数N为256，则拉格朗日插值余项(截断误差)为0.000 25，即理论上整个系统算法测量琴音信号频率精度误差为0.000 25 Hz，远远小于实际频率测量精度设计要求的0.001 Hz，理论上本文设计算法的精度满足实际测量频率精度设计要求。

2 钢琴调音仪的设计与实现

2.1 硬件系统设计

钢琴调音仪系统结构如图3所示，主要包括：话筒、二阶低通滤波电路、差分运算升压电路、Cotex-M4内核主控制器STM32-F407、TFT触控显示模块、SD卡存储模块、USB-OTG模块、串口通信模块等。

图3 硬件系统结构图

系统的工作流程为，钢琴琴音由话筒转换为微弱的有谐波干扰的电压信号，经过二阶低通滤波电路滤波，再经差分升压电路将负电压信号抬升到正电压范围，送入ADC进行数字化，然后在主控制器STM32-F407进行FIR滤波、过零比较、跟踪采样、跟踪滤波、拉格朗日插值、FFT等一系列的数字信号处理，最终得到音频信号的频率值f，并完成显示、通信、存储等功能。

2.2 ADC采样设计

钢琴琴音信号都是有一定幅值的正弦波信号，频率f的范围为27.5 Hz到4.186 kHz。为了实现单周期内256点的采样值，应相应地选择ADC的采样率为fs=f×256，即最高采样率为1.2 MHz/s，最低采样率为7.1 kHz/s。STM32-F407自带的ADC采样率最高为2.4 MHz/s，可以满足采样率的要求。

STM32自带ADC的最高位数为12位，即最大采样数据为4 095。对于双极性的琴音信号，本文设计了前端模拟调理模块中的差分运算升压电路，将钢琴琴音模拟波形整体抬升到ADC采集最大电压的一半，即把波形的零点抬升到了2 048处。

钢琴琴音信号采集时，同时伴有很多低幅值的杂波信号。为了避免ADC采集到杂波信号从而得到错误频率值，在ADC采集的时候设定了一个模拟信号触发阈值，只有当模拟输入的数值达到设定的阈值范围时才触发ADC进行数据采集，确保采集的波形信号是钢琴琴音有效波形信号，以此来保证测频数据的可靠性。

2.3 软件系统设计

软件系统流程图如图4所示。

图4 系统软件运行流程图

系统首先初始化，并进行阈值检测以判断琴音信号是否为有效波形。如果是有效波形，则采集有效波形数据，依次经过FIR滤波、过零比较得到初步粗略频率值f′，然后根据f′进行跟踪采样和跟踪滤波，得到单周期内约256点的采样值；再利用拉格朗日插值算法将采样值进行插值处理，调整为近似整周期采样的单周期固定256点数字信号，最后经过256点FFT运算，得到精确的频率值f，并在TFT液晶屏显示。同时检测上位机命令，如果有上位机命令则向上位机发送波形数据，一次运行流程结束，整个软件流程在一个大循环中重复执行。

3 测频实验

3.1 标准信号测频实验

为了验证设计的钢琴调音仪的测频精度，本文设计了针对标准频率信号的测频实验。波形发生器依次产生8个不同频率的标准正弦信号，其频率值分别对应A2、g、a1、a2、g3、f4、a4、c5等8个不同音律。产生的标准正弦信号直接替换图3中话筒的输出信号，经调音仪处理后得到频率测量值，并与输入的标准频率进行比较，以检验系统的测量精度。标准信号测频实验照片如图5所示，实验结果如表1所示。

图5 标准信号测频实验照片

表1 标准信号测频实验结果

由表1可见，对于不同频段的8个标准正弦信号，调音仪在低音频A2处测得频率相对误差为0.098%，在高音频c5处测得频率相对误差为0.021%，是随着频率增大，调音仪的测量相对误差减小。

目前市场上高端调音仪在低音频A2处测频相对误差为0.058%；在高音频c5处的测频相对误差为0.048%。由此可见，本文设计的钢琴调音仪在低音频段的测频精度略差，但在高音频段的测频精度具有较大优势。因此，本文设计的调音仪具有较高的测频精度，可以用于指导钢琴调音。

3.2 对钢琴的测频实验

本实验针对实际钢琴进行测频实验，利用话筒采集钢琴的声音信号，得到钢琴琴音的频率值。钢琴琴音测频实验如图6所示。调音仪对钢琴的A2、g、a1、a2、g3、f4、a4、c5等8个不同音律的琴键测频数据如表2所示。

图6 钢琴琴音测频实验照片

表2 钢琴琴音测频实验结果

由表2可见，测得的琴键频率实际值和钢琴对应的标准频率值之间有一定的误差，但每组三个测量数据之间的波动很小，都在0.1 Hz以内，表明本文设计的钢琴调音仪测频精度稳定，频率测量值真实可信，可以用于指导钢琴调音。实验中所测钢琴琴音频率偏离标准频率，主要原因是由于材料形变导致琴弦的张力改变，从而形成频率偏差。可以在调音仪的指导下调节琴弦张力，使琴音频率回复到标准值附近。

4 结 论

1)提出了一种基于近似整周期采样的数字测频方法，该方法整合了FIR滤波、过零比较和拉格朗日插值算法，实现采样数据的近似整周期采样，以消除FFT频谱泄露和栅栏效应带来的频率误差，最终实现琴音信号的高精度测频。

2)设计了一种基于STM32-F407的便携式数字钢琴调音仪，对标准正弦信号和钢琴琴音进行了频率测量实验。实验表明，本文设计的调音仪具有较高的测频精度和稳定性，可以用于指导钢琴调音。

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