苏晓海， 杨立夫

(陕西理工学院 数学与计算机科学学院， 陕西 汉中 723000)

本文所涉及的图都是简单的无向连通图。设图G的顶点集和边集分别记为V(G)和E(G)，|V(G)|和|E(G)|分别表示图G的顶点数(阶数)和边数。一个图G的圈数λ定义为λ=|E(G)|-|V(G)|+1，λ=1的图称为单圈图。如果u和v是图G的两个顶点，则连接它们的最短路的边数称为这两点之间的距离，记为d(u，v)。设f=uv，g=xy是图G的两条边，则f和g的平均距离记作D′(f，g)，定义为

等号成立当且仅当G≅C4(Pn-3)，所以当n>10时具有第三大边平均Wiener指标的n阶单圈图是C4(Pn-3)(见图1)。

图1 单圈图C4(Pn-3)、C3(Tn-2) 及其子图Tn-2

从而

,(n>10),

分两种情况证明：

由于n>10，m=3，故k取值只可能是1，2或3。

图2 单圈图 及其子图

又因为

所以

由于

综上所讨论可知，当n>10时，

且等号成立当且仅当G≅C4(Pn-3)。所以，当n>10时具有第三大边平均Wiener指标的n阶单圈图是C4(Pn-3)。定理得证。

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