李晓康

(陕西理工学院 数学与计算机科学学院， 陕西 汉中 723000)

0 引 言

两点分布是一类最基本、最简单的统计分布，它描述仅有两种状态(其中一个结果视为成功，另一个结果视为失败)的随机现象，许多随机现象都可用它进行描述，如产品合格率问题、疾病发病率问题等。故对其参数(成功概率)的估计成为统计中的重要问题。基于不同的统计思想，可给出不同的估计，常用的有矩估计、极大似然估计等。按照Bayes统计学的观点，参数估计问题可视为一个特殊的统计决策问题，可按照一定的标准进行评价，如均方误差风险等，在不同的先验信息下，会给出不同的估计，不同的估计即为不同的决策。故可在不同的先验下，寻找风险最小的估计。对此问题，已取得了一些结果。[1-6]

本文在几种不同先验信息和平方损失下研究了0-1分布参数的Bayes估计，讨论了其性质，并进行了数值仿真实验，利用仿真实验结果对其进行比较。

1 先验信息

Bayes理论认为：未知参数θ可视为随机变量，可用某种概率分布π(θ)去描述。至于具体用何种分布去描述，依赖于对总体参数过去的认识，是取得样本前已有的，称为先验信息(亦称先验分布)。本文对0-1分布未知参数θ(成功概率)的先验分布考虑如下两种。

1.1 无信息先验分布

此种先验分布无任何先验信息可用，故先验分布可取为参数空间Θ上的均匀分布。对0-1分布，其成功概率θ的无信息先验分布可取为区间[0,1]上的均匀分布，即：

(1)

1.2 Jeffreys先验分布

Jeffreys先验分布为参数θ的Fisher信息阵的行列式的平方根[1]，即：

π2(θ)=[I(θ)]1/2，

本文假设：总体X～b(1,θ)，分布列P(X=x|θ)=θx(1-θ)1-x,x=0,1。

样本联合条件分布(似然函数):

对数似然函数:

xlnθ+(n-x)ln(1-θ),

,

故

π2(θ)=[I(θ)]1/2∝θ-1/2(1-θ)-1/2。

(2)

2 后验分布

Bayes理论认为：由先验分布和样本信息可计算后验分布，即先验分布+样本信息⟹后验分布:

π(θ)⊕p(x|θ)⟹π(θ|x),

此即Bayes公式：

(3)

下面按式(3)可计算后验分布。

2.1 无信息先验分布的后验分布

由式(1)给出的先验分布及式(3)可得样本与参数的联合分布为

样本边际分布为

后验分布为

(4)

2.2 Jeffreys先验分布的后验分布

由式(2)给出的先验分布及式(3)可得样本与参数的联合分布为

样本边际分布为

故由Bayes公式，先验分布π2(θ)的后验分布为

(5)

3 Bayes估计

参数的Bayes估计依赖于损失函数，本文选取平方损失函数，即：

在此损失函数下，参数的Bayes估计有以下结论：

由此结论，对本文给出的两种先验分布，有如下结果:

3.1 无信息先验分布

由式(4)给出的后验分布，有：

3.2 Jeffreys先验分布

由式(5)给出的后验分布，有：

4 两种估计的比较

4.1 无偏性

即：两种估计都不是θ的无偏估计，但都是θ的渐近无偏估计。

4.2 方 差

4.3 均方误差

均方误差的定义为：

θ)2。

对如上给出的两种参数估计，可计算其均方误差：

4.4 风 险

Bayes估计的风险定义为后验分布下的平均损失，即：

两种估计的风险分别为：

由以上结果可以看出，两种估计的均方误差取决于样本容量n和参数真值θ的大小，风险取决于样本观测值与样本容量n的大小,可以证明：

,R1(n,x)

下面通过数值仿真来讨论其性质。

5 数值仿真及结论

对如上给出的两种参数估计，对不同的样本容量n和参数真值θ，下面采用数值仿真计算结果进行比较。

对样本容量n=30,50时的不同参数真值及不同样本观测值，经随机模拟仿真实验，产生的随机样本，计算两种估计的均方误差及风险，部分结果如表1—表4、图1—图4所示。

表1 n=30时不同参数真值的均方误差

表2 n=50时不同参数真值的均方误差

表3 n=30时不同样本观测值的风险

表4 n=50时不同样本观测值的风险

图1 n=30时不同参数真值的均方误差 图2 n=50时不同参数真值的均方误差

图3 n=30时不同样本观测值的风险 图4 n=50时不同样本观测值的风险

由表1—表4及图1—图2可以看出，当n=30,50时，对不同参数真值，两种估计的均方误差都具有随参数真值先增大、后减小的趋势；对不同的样本观测值，两种估计的风险也具有随样本观测值先增大，后减小的趋势；总体来讲，无信息先验分布下估计的均方误差及风险要小于Jeffreys先验分布下估计的均方误差及风险。

[参考文献]

[1] 茆诗松，王静龙，濮晓龙.高等数理统计[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2] 李晓康.不同损失函数下0-1分布参数的Bayes估计[J].廊坊师范学院学报：自然科学版，2013，13(2)：8-10.

[3] 王晶，刘福升.不同损失函数下不同无信息先验的Bayes估计及比较[J].山东科技大学学报：自然科学版，2005，24(4):95-98.

[4] 陈宜辉，姜礼平，吴树和.无信息先验下几种不同Bayes估计的比较[J].海军工程大学学报，2001，13(5)：97-99.

[5] BERGER O.统计决策及贝叶斯分析[M].贾乃光,译.北京：中国统计出版社，1998.