张 琳, 邱文亮, 姜 涛

(大连理工大学 桥梁工程研究所, 辽宁 大连 116024)

评价桥梁结构的抗震性能及地震作用下的破坏机理一直是学术界关注的问题.随着计算机和工程结构的发展,各种桥梁分析软件应运而生.但由于问题复杂,计算分析有其局限性,如材料的本构关系没有很好地解决;计算分析时对原型桥梁简化的合理性有待商榷,对同一问题的分析不同研究者可能给出不同的结果.桥梁抗震性能评价的另一有效方法是振动台的模型试验.由于振动台设备承载能力及实验室空间的限制,大型桥梁一般进行缩尺模型.因而,如何正确地设计模型并确定相似比尺以期获得原桥的地震反应相当关键.文献[1]给出了采用一般材料时,模型与原型的相似关系.文献[2]给出了原型与模型采用同种材料时,模型在不同配重下与原型动力的相似关系.文献[3]给出了不同试验目的时,相似关系如何换算.但迄今为止没有涉及当模型不严格满足相似比尺(如刚度变化)时的相似比例关系.本文根据相似原理及结构力学相关理论进行推导,并以某大跨拱桥主桥振动台模型试验为例,验证了给出的相似关系的正确性.

1 相似原理

本文利用相似定理推导出来的相似关系进行模型的设计与制作.相似三定理[4]如下.

相似定理1 两个系统互相相似,那么其单值条件和相似判据相同.

相似定理2 某物理现象各物理量之间的关系式均可以用相似准数间的函数关系式来表示.相似准数通常用π表示,故又称为π定理.

相似准数的函数关系式如下:

fx1,x2,x3,…=gπ1,π2,π3,….

π定理作为量纲分析的普遍定理,为模型的设计提供了可靠的理论基础.

相似定理3 凡具有同一特性的现象, 若单值条件彼此相似且由单值条件的物理量所组成的相似判据在数值上相等, 则这些现象必定相似.

由3个相似定理可知,相似定理1和相似定理2均是给出已知相似,而后求相似的某些性质;而相似定理3则通过现象的最少外部特征来判断其是否相似,是确定现象是否相似的充要条件,这样就构成了一个完整的系统.

基于3个相似定理,可利用方程分析和量纲分析来确定相似关系.

1.1 方程分析

利用方程分析法时,先对所研究的问题提出明确的物理方程,根据物理方程、单值条件及相似常数确定相似条件[5].如结构动力学基本方程为

(1)

将质量、加速度、速度、阻尼、刚度、位移的相似常数代入式(1)得

(2)

根据量纲协调原理,以密度、长度、加速度、弹性模量的相似常数替换,则式(2)变为

式中:Sρ为密度的相似比;Sl为长度的相似比;Sa为加速度的相似比;SE为弹性模量的相似比.

整理可得此模型试验需要满足的相似常数之间的关系,如下所示:

(4)

进而可得

式中,ST为周期的相似比;Sf为频率的相似比.

1.2 量纲分析

当各参数之间的函数关系不能确定所研究的问题时,用量纲分析法比较方便.量纲分析法遵循相似定理1和相似定理2.首先将有关的物理参数列出来,根据相似定理得到模型设计的相似条件,从而确定所研究的各物理量的相似常数.一般选三个量纲为基本量纲导出其他物理量的量纲[6-7].

量纲分析法得出的结构抗震动力模型相似常数均是在严格按照长度比尺的前提下推导出来的.以受压构件为例,实际情况下,当模型比尺不是严格按照相似比尺时,频率比尺不仅与长度比尺、加速度比尺有关,还与刚度有关.

由式(1),得

如边长为a×b、厚度为t的箱型截面,其抗压刚度[8]为

(10)

当长度、厚度均为原型的1/n时,抗压刚度为

(11)

当长度为原型的1/n时,由于实际原因,当厚度为原型的q/n时,抗压刚度为

从而,刚度比为

由式(12)知

(14)

2 应 用

本文以某大跨拱桥主桥抗震模型试验为例, 研究当相似比尺不严格成比例时, 由于实际条件改变, 厚度比尺对周期、频率等相似常数的影响.

该大跨拱桥主跨理论跨径200 m,矢高为61.54 m,矢跨比为l/3.25,设计拱轴线采用悬链线.拱肋是箱型截面,分变高段和等高段两部分,采用Q345qE钢材.变高段截面尺寸由拱顶的3.0 m×3.0 m 渐变到拱脚附近的3.0 m×4.5 m,其余拱段为等高段.主梁为钢-混凝土组合梁结构,由边纵梁、横梁、小纵梁组成纵横体系.其上设混凝土桥面板.吊杆采用环氧涂层钢绞线成品吊杆.全桥立面布置图如图1所示.

图1 全桥立面布置图(单位:cm)

2.1 确定模型的相似关系

采用1∶50的比尺进行缩尺,选择有机玻璃做模型材料.利用方程分析和量纲分析可以得出本实验的相似关系如表1所示.

表1 本试验模型的相似常数Table 1 Similarity constant of the test

2.2 建立模型

按照上述相似关系,采用有限元软件Midas/Civil建立模型.主梁利用刚度相等,将钢-混凝土组合梁截面等效为工字型钢截面,进而依照相似比尺换算为工字型截面.由长度相似比可知,拱肋从拱顶到拱脚由60 mm×60 mm变为60 mm×90 mm的箱型截面.而在实际情况下,往往模型的材料不严格遵照相似比尺,故建立两个模型.模型1的拱肋厚度为1 mm,严格按照相似比尺;模型2的拱肋厚度为2 mm. 模型截面图如图2所示.通过模型1和模型2的振动特性和实桥模型相比较,由于实际条件有限,当厚度不严格遵照相似比尺时,可以得出原型和模型之间的振动频率的关系.

图2 模型截面图(单位: mm)Fig.2 The sectional view of the model (Unit: mm)

2.3 配 重

通过计算得实桥模型的拱肋自重为29 571.24 kN,则通过相似比得模型的拱肋自重需为153.77 kN,而模型1的自重为49.44 kN,模型2的自重为89.00 kN,故模型1和模型2的配重分别为104.32 kN,64.80 kN. 将配重按照均布载荷添加到拱肋上.

2.4 反应谱分析

根据《公路桥梁抗震设计细则》(JTG/TB 02-01—2008),对实桥模型和缩尺模型1、2进行反应谱分析.前五阶阵型模态如图3～图7所示.实桥模型和缩尺模型1、2的频率比(前五阶模态)如表2、表3所示.

图3 一阶阵型Fig.3 Model shape 1

图4 二阶阵型Fig.4 Model shape 2

图5 三阶阵型Fig.5 Model shape 3

图6 四阶阵型Fig.6 Model shape 4

图7 五阶阵型Fig.7 Model shape 5

模态实桥的频率Hz模型1的频率Hz模型1与实桥的频率比10.7465.5637.45721.0026.1736.16131.2479.3537.50041.95912.6846.47552.05114. 9347.281

表3 模型2与实桥的频率比

由式(6)和式(7)得理论频率比尺和理论周期比尺分别为7.07,0.14,与表2的试验数据相比,一阶的频率误差为5.47%;当厚度变为原来的2倍时,由式(14)知,理论频率比尺和理论周期比尺分别为10.00,0.1,与表3的试验数据相比,一阶的频率误差为7.64%.模型1与模型2的频率比如表4所示.

表4 模型1与模型2的频率比

3 结 语

参考文献:

[1]张敏政. 地震模拟实验中相似律应用的若干问题[J]. 地震工程与工程振动, 1997,17(2):52-58.

(Zhang Minzheng. Study on Similitude Laws for Shaking Table Tests[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1997,17(2):52-58.)

[2]黄维平,邬瑞锋,张前国. 配重不足时的动力试验模型与原型相似关系问题的探讨[J]. 地震工程与工程振动, 1994,14(4):64-71.

(Huang Weiping,Wu Ruifeng,Zhang Qianguo. Study on the Analogy between Scale Models with Less Ballast and their Prototypes under Shaking Table Test[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 1994,14(4):64-71.)

[3]林皋,朱彤,林蓓. 结构动力模型试验的相似技巧[J]. 大连理工大学学报, 2000,40(1):1-8.

(Lin Gao,Zhu Tong,Lin Bei. Similarity Technique for Dynamic Structural Model Test[J]. Journal of Dalian University of Technology, 2000,40(1):1-8.)

[4]杨俊杰. 相似理论与结构模型试验[M]. 武汉:武汉理工大学出版社, 2004.

(Yang Junjie. The Similarity Theory and Structural Model Test[M]. Wuhan: Wuhan University of Technology Press, 2004.)

[5]周颖,吕西林. 建筑结构振动台模型试验方法与技术[M]. 北京:科学出版社, 2012.

(Zhou Ying,Lü Xilin. The Method and Technology of Architectural Structure Shaking Table Model Test[M]. Beijing: Science Press, 2012.)

[6]Sedov L I. Similarity and Dimensional Methods in Mechanics[M]. 10th ed. Boca Raton: CRC Press, 1993.

[7]钟慧,檀永刚. 大连星海湾跨海大桥主桥动力模型设计[J]. 沈阳大学学报:自然科学版, 2013,25(4):322-325.

(Zhong Hui, Tan Yonggang. Dynamic Model Design of Dalian Xinghai Bay Cross-Sea Bridge[J]. Journal of Shenyang University: Natural Science, 2013,25(4):322-325.)

[8]孙训芳,方孝淑,关来泰. 材料力学[M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2009.

(Sun Xunfang,Fang Xiaoshu,Guan Laitai. Mechanics of Materials[M]. 4th ed. Beijing: Higher Education Press, 2009.)