杨汉英

《数学课程标准》（2011年版）中“四基”和“四能”的修订与完善更加突出了培养学生创新精神和实践能力的改革方向。受这一方向标的影响，数学开放题越来越受到国内数学教育者的广泛关注。已有研究表明，数学开放题的教育价值在于培养学生对数学的积极态度，在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建，在于能激起多数学生的好奇心，可以让全体学生都参与解答过程而不必区分他是属于何种程度和水平，在于能使学生经历知识再创造的过程，有助于学生创新意识和探索能力的养成。正因为如此，数学开放题教学受到越来越多的数学教师的认同，它改变了常规数学课堂的知识传授模式，体现了数学教育以问题解决为核心的思想，体现教学中以学生为主体的理念，是数学教学从传统的传授知识的应试模式，向以激励学习为目的的学生自主学习的创新模式转变。

在课题《数学开放题教学促进小学生数学思维发展的研究》研究中，我们发现：学生虽然对开放题感兴趣，但由于开放题比较灵活，学生欢迎的程度反而在下降；教师自身对数学开放题了解不深刻，缺乏良好的数学开放题的教学观……受这些因素的影响，当前教师开展数学开放题教学的情况并不乐观。如何评价开放题的有效教学显得尤为迫切。笔者结合课题组成员开展的教学探索与实践，认为对小学数学开放题有效教学的评价应坚持三个标准。

一、 全面性

“全面性”在这里是针对课堂教学中开放题设计提出的要求，要求开放题能凸显其自身的价值，区别于常规题的设计，发挥其在培养学生思维能力和创新意识等方面的作用。

常规题设计的评分由四个分析维度组成，它们是：①知识点选择的关键性；②解决问题的方法性；③计算的准确性；④表达的条理性、完整性。

开放题的评价不但要考虑以上四个维度，还要有自己特殊的分析维度：①思维的创造性、独特性；②思维的灵活性；③思维的批判性；④思维的广阔性和深刻性。

因此，教师在进行开放题教学前一定要精心设计或选择开放题，厘清每道题目或每个问题的设计意图，问题内容应包含对思维深度、广度、严密性、灵活性、批判性的考查，从而发挥其实效性。

案例一：计算下面图形的面积。（单位：厘米）

学生已学的各种平面图形的特征和它们的面积计算公式是计算组合图形面积的基础。在组合图形中，有的已知条件是隐蔽的，需要学生运用已学的知识，根据图形特点，先把它找出来或推算出来，再计算面积。这道题设计的目的不仅仅是教会学生求组合图形的面积，更重要的是引导学生通过观察、操作、推理等手段来体会到分割、添补、转化的方法是求组合图形面积的主要策略。当学生在此过程中真正获得了策略的知识、方法的知识的时候，才能举一反三、触类旁通，灵活有效地选择计算方法并正确解答。

二、过程性

“过程性”是指在数学开放题教学中，教师对学生学习活动的关注不应只停留于其外在表现，即不应只看重解题得到了多少结论，得到什么结论，而应深入到他们内在的心理活动之中，充分关注学生在解题过程中的行为与表现。对学生获得开放题答案的过程的评价，应包括参与活动的程度、自信心、合作交流意识、独立思考的习惯、数学思考发展水平等方面。

案例二：用长为50厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积最大？

在对学生进行评价时，教师可以关注以下几个不同的层次：

①学生是否能理解题目的意思，能否提出解决问题的策略，如通过画图进行尝试；

②学生能否列举若干满足条件的长方形，通过列举等形式将其进行有序排列；

③在观察、比较的基础上，学生能否发现长和宽变化时，面积的变化规律，并猜测问题的结果；

④对猜测的结果给予验证；

⑤鼓励学生发现和提出一般性问题，如猜想当长和宽的变化不限于整厘米数时，面积何时最大。

在此过程中，教师还应关注学生情感态度的状况及变化。具体观察点有：是否积极主动地参与学习活动；是否有信心、有决心解决问题；是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；能否尝试从不同角度去思考问题；是否有把问题进行延伸拓展的意识；能否养成乐于思考、勇于质疑、言必有据等良好品质……

教师可以根据实际情况用灵活多样的方式来呈现评价结果，用恰当的方式给学生以反馈和指导。

三、发展性

“发展性”一方面是指教师选择或设计的开放题层次应具备发展性的眼光，不同年龄段、不同学期教学时的要求应不同；另一方面在尊重学生个体差异的基础上，引导学生了解自己在解决开放性问题中的进步，让学生反思自己的学习历程，培养学生的自我评估能力。两者相辅相成，互相促进。

开放题教学要适时、适度、适量。开放题教学不应过多，可以安排在某一知识点或某一单元结束之后，这样可以对知识起检验、巩固的作用。根据学生的认知水平和年龄心理特征的不同，开放题教学留给学生的问题空间的大小要适度，要使大多数学生 “跳一跳就能摘到果子”，并且具备层次性、发展性。

如在设计“探索规律”开放题时，所设计的题目和问题的答案在内容的深度、问题的难度、解题的技巧等方面均要体现层次性、发展性等特点，在不同学段均有不同要求；所设计的题目要使所有的学生都能参与，使不同的学生可以通过解决问题的活动，获得不同的体验。

案例三：根据数列的规律在横线上填数，并说明理由。

3、5、7、 、 、 ……

【解答】

（1）题中数列可以看成是一个奇数列，所以横线上依次可填：9，11，13。

（2）如果数列规律是从第三个数开始，依次用前两个数的和减1，那么数列中横线上依次可填：11，17，27。

（3）如果数列规律是从第三个数开始，依次用前两个数的积减8，那么数列中横线上依次可填：27，181，4879。

（4）可以把题中的数列看成大于3的素数从小到大依次排列，所以数列中横线上依次可填：11，13，17。

规律（1）（2）建议一、二、三年级学生探索并掌握，规律（3）（4）建议四、五、六年级学生探索并掌握。

教师在了解学生解决开放性问题中取得的进步或存在的不足时，可以指导班级上的学生建立开放题学习记录袋，每一次开放题教学之后，让学生独立填写。内容可以包括以下几个方面：自己有没有独立提出什么问题；解题中遇到了什么困难，你是如何处理这些困难的；自己觉得满意的地方有哪些；与他人比较，差距在哪里；这次取得了什么样的进步；下一次的目标。

这样，教师可以根据这些信息更加细致地了解学生在解决开放性问题时的困难、思维障碍，有针对性地进行开放题教学。这样做，不仅能激励学生不断发挥其潜能，而且可以让教师更好地调控自己的教学，提前设置、安排好下一阶段的开放题教学的训练目标。

最后，值得提醒的是，解答数学开放题本身不是目的，而只是一种训练手段，教师要把解题看成是培养学生创造能力的机会，鼓励学生将所学到的理论与实际相联系，创造性地去解决实际问题。素质教育的核心是创新精神，而开放题的价值正是集中体现在全方位地培养学生的创新精神和创新能力。因此，数学开放题有效教学评价标准的拟定将更有助于全面推动素质教育的开展。

（本文系江苏省教育科学“十二五”规划重点课题《数学开放题教学促进小学生思维发展的研究》阶段性研究成果，课题编号：C-a/2011/02/07）