贝淑坤，朱路进，刘春平

（扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002）

利用导数求反三角函数的解析式

贝淑坤，朱路进，刘春平

（扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002）

本文利用导数给出了几道反三角函数习题一种新解法，该方法可以比较方便地得到反三角函数的解析式。

导数；反三角函数；解析式

在吉米多维奇习题集题[1]中，有几道涉及到反三角函数的题目，如：

题318作y=arcsin（sinx）的图形。

题319作y=arcsin（cosx）的图形。

题320作y=arccos（cosx）的图形。

题321作y=arctan（tanx）的图形。

不难看出，如果我们能够求得这些函数的解析式，则根据解析式很容易作出函数的图形。以题319为例，常规求解方法[2]是从siny=cosx且出发，先求出函数在-π≤x≤0以及0≤x≤-π的解析式：

然后利用arcsin（cosx）是周期为2π的函数这一性质，求出函数在2kπ-π≤x≤2kπ以及2kπ≤x≤2kπ+π的解析式，得到：

在教学过程中我们发现许多学生不太能够理解为什么先分-π≤x≤0，0≤x≤π讨论，也不知道如何求得（1）式，自然也就难以导出（2）式。

本文利用导数给出该题一种新的求解方法。

记y1（x）=arcsin（cosx），x∈（-∞，+∞）.根据复合函数求导法则：

综合①～②，并注意到函数y1（x）在区间（2kπ－π，2kπ）和（2kπ，2kπ+π）的端点处均连续，可得y1（x）的解析式：

此即前面的（2）式。

值得指出的是我们这种解法具有一般性，也适用于求另外几个函数的解析式。例如，记：

[1]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京：人民教育出版社，1978：35.

[2]滕加俊.吉米多维奇数学分析习题集精选精解[M].南京：东南大学出版社，2010：34.

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1674-9324（2014）28-0094-02