毕殿杰，陈 涛

（安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠 233030）

引言

对捕食系统模型的研究目前已经有很多的研究成果［1～5］.这些模型都是假设捕食者对食饵具有相同的捕食能力.显然，这种假设和实际情况是不相符的，因为在自然界中的大多数种群都经历从幼体到成年的一个成长过程.因此，研究具有阶段结构的捕食系统模型更具有现实意义并且取得了一定的研究成果［6～9］.文献［6］研究了如下具有阶段结构的捕食系统模型:

其中，x（t）为t时刻食饵的密度，y1（t）和y2（t）分别为t时刻幼年捕食者和成年捕食者的密度.a，a1，b，d，d1，d2，r，α与β均为正常数，均具有不同的生态含义.考虑到捕食者的狩猎时间，基于系统（1）将狩猎时滞引入得的如下捕食系统模型:

式中:常数τ≥0表示捕食者的狩猎时滞.

1 共存平衡点的稳定性和Hopf分叉的存在性

所以，我们有下面的结果.

定理1 如果条件（H2）、（H3）和（H4）成立，那么

（i）当 τ∈［0，τ0）时，系统（2）的正平衡点E*（x*，y1*，y2*）是局部渐近稳定的;

（ii）当 τ＞τ0时，系统（2）的正平衡点E*（x*，y1*，y2*）是不稳定的;

（iii）当τ=τ0时，系统（2）在正平衡点E*（x*，y1*，y2*）处产生Hopf分叉.

2 Hopf分叉方向和分叉周期解稳定性

令τ=τ0+μ，μ∈R，则系统（2）在μ =0处产生Hopf分叉.再作变换s→t/τ，仍然记s=t，系统（2）转换为如下等价系统:

通过以上分析，有如下结果:

定理2 对于系统（2）

（i）μ2取值决定分叉方向:如果μ2＞0（μ2＜0），则分叉方向是超临界的 （次临界的）.

（ii）β2决定分叉周期解的稳定性:如果β2＜0（β2＞0），则分叉周期解是稳定的（不稳定）.

（iii）分叉周期解的周期大小由T2决定:如果T2＜0（T2＞0），则分叉周期减小（增大）.

3 仿真实例

令 r=3.5，a=0.01，a1=0.5，b=1.2，α =0.2，β =10，d=0.4，d1=0.8，d2=0.45，我们得到系统（2）的一个实例系统:

显然，a1-ar=0.465 0＞0，即系统（13）满足条件（H1）:a1-ar≥0.系统（13）存在唯一正平衡点E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）.经过计算得到 ω0=2.701 5，τ0=0.536 6，λ＇（τ0）=1.009 2-0.307 0i.根据定理1可知，当τ∈［0，0.536 6）时，系统（13）的正平衡点E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）是渐近稳定的，如图1 所示.当 τ＞ 0.536 6时，系统（13）的正平衡点E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）是不稳定的，如图2所示.另外，根据式（12）计算得到 C1（0）=-1.794 4+2.938 0i，μ2=1.778 0 ＞ 0，β2=-3.588 8 ＜ 0，T2=-1.650 2 ＜0.所以由定理2 可知，系统（13）在正平衡点 E*（1.065 8，0.527 1，0.468 5）的 Hopf分叉方向是超临界的，分叉周期解是稳定的.

图1 E*渐近稳定

图2 E*是不稳定的

4 结论

本次研究了一类具有阶段结构的时滞捕食系统模型.以成年捕食者的狩猎时滞为参数，分析了系统局部渐近稳定和局部Hopf分叉的存在性.结果表明，当成年捕食者的狩猎时滞足够小（τ∈［0，τ0）），系统是局部渐近稳定的.一旦成年捕食者的狩猎时滞超越临界值τ0，系统将失去稳定性，并在临界值τ0处产生Hopf分叉周期解.接着，对分叉周期解的性质进行了分析，利用规范型理论和中心流形定理确定了分叉方向和周期解稳定性的计算公式.从生态学的角度来说，如果分叉周期解是稳定的，捕食系统（2）中的种群以周期振荡形式共存.从仿真实例可以看出，在一定条件下，系统（2）中的种群将以周期振荡形式共存.

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