目前，尽管各类教师培训轰轰烈烈，但作为一线教师参加有针对性的教学业务进修仍十分有限.很多数学教师的教学研究也只停留在数学解题方面，不能全方位地从教师、学生、教材及环境诸多角度加以把握；教师缺少学科教学知识、教育心理学及课堂教学艺术方面的修养.但是，教师如果通过观摩别人的优秀教学案例，把自已的教学与优秀的教学案例进行对比，便可以快速地在他人的经验中得以高效的学习和提升.笔者愿意向广大一线数学教师推荐一本优秀的数学教学案例研究著作——《基于课程标准的数学教学研究》，本书是浙江师范大学教授张维忠博士在10年的课改中，深入学校，深入课堂，与教师一起探索、研究课堂教学，积数年的成果汇成的新作.以教学素材案例、教学设计案例、课堂教学案例与听课说课磨课为逻辑线索，融理论阐释、情境描述、教学点评于一体，在体例与内容上有别于他者，走出了以往纯粹某一方面研究的“藩篱”.以下是笔者结合《基于课程标准的数学教学研究》的研读得到的一些思考.

1什么是数学教学案例

数学教学案例是从数学教育教学实践活动中总结出来的实例，在被描述的具体情境中包含一个或者多个引人入胜的问题，同时也包含有解决这些问题的方法和技巧.成文的案例有具体情境的介绍和描述，也有一定的理论思考和对实际活动的反思.同时，一个好的案例，就是一个生动、真实的故事加上精彩的点评.精彩的案例在专家点评下更加突显案例的典型性和示范作用，蕴含理论应用于实践的价值.当然，作为一个能够提供借鉴的好的教学案例，既可以是教学活动中的成功事例，也可以是教学活动中遭遇过挫折的案例，前者可以提供经验，后者可以提供教训，都同样具有借鉴意义.

案例的真实性是案例的生命线，《基于课程标准的数学教学研究》中的案例《数列的递推公式》，真实地再现了案例作者经历的同一课题讲授两次的教学嬗变过程.本课是一节基于数学文化的探究课，但由于作者第一节课的教学引入部分为知识直接性复习引入，略显突兀，导致多数学生不能很好完成紧接的探究任务.而在第二节课经过教学设计的改进，合理设计探究梯度，先铺垫由递推公式构造等比数列的方法，将原来的探究部分恰当后置，且由原来直接探究图形中（谢宾斯基三角形）蕴含的数列通项公式，改为利用几何图形验证数列通项公式的推导过程，大大提高了学生的数学探究的参与度，充分体现了数学课堂教学的循序渐进性以及利用数学文化素材服务教学的合理性.

2教学案例的形成

为了研究和撰写教学案例，首先对教学案例的形成要有个明确的了解.教学案例一般以条例式加以呈现，即把案例涉及到的材料按背景、问题、解决方法、分析与讨论等部分排列起来.但从案例的形成过程来看，教学案例可以在教学设计和教学实录基础上进行加工和定型.这样，我们必须先了解教学案例同一般的教案、教学设计和教学实录的关系.

2.1教案、教学设计与教学案例的形成

教案和教学设计都是在教学之前所进行的预设性的教学安排和实施方案，而教学案例则是对已经发生的教学过程的反映.教学设计的价值体现在对具体的和特定的教学过程的指导和定向之上，而教学案例则是经历具体的教学过程中的问题解决概括出特殊的教学思想和教学原理.一般来说，教案和教学设计只有设想的措施而暂时没有实施的结果，教学案例则不仅要说明教学的思路、描述教学的过程，还要交代学生学习的结果.当然，在课堂教学实施之后，教师可以在有创意的教学设计的基础上重新补充师生互动的主要情况以及课堂的生成性资源的利用、问题解决的真实过程和教学结果、教师对教学的自我评价和反思以及教研共同体对所授课的评议或专家的精彩点评，便初步形成具有一定参考价值的教学设计案例.

2.2教学实录与教学案例的形成

教学案例与教学实录都要对教学情景进行描述，但教学实录是有闻必录，而教学案例则是有所选择的.教学案例是根据目的和功能选择内容，而且要突出主要问题或主要任务以及主要的教学活动步骤，教学之后必须有作者的反思即对相关课堂教学的价值判断或理性思考.教学实录通常只记录教学的过程而不介绍教学的效果，但如果教学实录具有典型性，即具备特殊情境和值得探讨的问题，而且经过分析和反思能引起讨论和进一步研究，从而实现教学理念和教学实践的完美结合，则形成了教学实录案例.

《基于课程标准的数学教学研究》从中学代数、几何、三角与概率统计四大块数学内容选取了22个研究主题，其基本涵盖了初中与高中数学的主要部分，着眼于新授课、复习课等不同课型，侧重于数学探究、数学建模、数学文化与数学史等不同视角，关注学生的数学知识建构，开发了“矩形”等10个数学教学设计典型案例，研制了“数列的递推公式”等12个数学课堂教学实录典型案例，并给出其中一些案例的说课与磨课过程，十分方便读者探究学习.

3教学案例的分析与点评

由上可知，分析与点评是教学案例最为重要的组成部分，也是一线教师在案例研究中急需援助的环节，《基于课程标准的数学教学研究》针对现场的教学情况和教师的教学反思，从宏观上对每篇案例作系统的分析，如整体把握案例的基本架构、总结案例的教学模式、凸显案例的教学理念等，微观层面上，从案例中截取一个个典型的教学片段或提取出富有价值的教学问题，挖掘其深层的思想理念、概括其丰富的教学含义.点评的重点突出、体现知行合一的案例教学理念，富有启发价值.最具特色的是作者提供的数学教学素材案例，如非洲文化中的勾股定理、雕塑与数学、大自然的数学情趣、音乐与数学、黄金比例与斐波纳契数列等，均为张维忠教授带领的研究团队将数学文化理论运用于教学实践的成果，是作者在数学文化领域的科研与中学数学教学的完美结合.作者在分析点评中强调“数学文化的精髓依附在数学知识发生、发展的过程中，理解数学文化内涵主要是在学习过程中，尤其在解决问题的过程中.”这些案例分析将有助于数学教师真正地认同数学文化的内涵，为一线教师提供了可供操作的教学范例，其服务教学的意义与价值远非纯理论研究所能匹敌.endprint

4教学案例研究作为校本培训模式

案例研究为校本培训模式拓展了思路，人人参与的案例研究体现了以教师发展为本的思想，建议学校培训构建“以案研教，以研代培”的校本培训模式.教学案例集中反映了教师在教学活动中遇到的问题、矛盾、困惑，以及由此产生的想法、思路、对策等，如果对这些问题和想法展开交流讨论，对教师提高教学问题分析能力和教学业务水平是非常有益的.学校和教师可以根据课程改革的实际情况，确定一定阶段内的讨论主题，围绕某个主题或专题收集材料、撰写案例、交流研讨，同时进行理论学习和实践反思.反思是在记叙基础上的议论，可以进一步揭示事件的意义和价值，可以从社会学、教育学、心理学、学习理论等不同的理论角度切入，揭示教学成功的科学规律或失败的具体原因，使教研活动更具有针对性和实效性.《基于课程标准的数学教学研究》提供的大多数案例都来自作者亲自参与的重要数学教学实践活动，如教育部国培计划、浙江省“百人千场”送教下乡活动、浙江省“领雁”（名师培训）工程、校地结合数学名师培训以及曾与浙江省省内多所不同类型的中学开展的数学教育横向联合研究等.

5数学教学案例的开发

通读本书提供的教学案例，可以概括出数学教学案例的一些新的取向，作为校本教研中教学案例研究与开发的参考.首先，要关注数学文化在课堂教学中的应用，通过联系现实生活中的应用实例，体现数学在实践中的巨大作用，通过深层次的数学发展的历史、文化背景的展示，体现数学科学与自然、历史、文化的关联；通过数学与音乐、绘画、建筑的关系及数、式、形的美妙的内在关联展示数学美，同时“利用数学名题”、“利用科学事件”、“利用数学故事”将数学文化在课堂中加以渗透，培养学生的数学素养，树立科学主义与人文主义相融合的数学理念.

其次，应坚持课堂教学的对比研究，例如可以采用同课同构方式——对同一内容、同一课型的不同案例进行比较研究；也可以考虑同课异构方式——对同一内容，不同授课模式的不同案例进行比较研究，如由多位教师采用不同方式设计某一小环节案例进行研究；也可以针对不同的教学环境，教学背景进行同一内容教学的研究；甚至可以对比国外的教学案例，对本地教学从数学与信息技术整合、教学模式的转变、课堂上的数学交流以及运用数学实验促进学生认知等方面加以尝试创新，不断开发富有价值的新型教学案例.

最后，可以按概念教学、定理法则教学、数学知识应用教学、专题教学、综合实践活动等课型对教学案例进行归类，以便深入探究学生对不同类型的数学内容的认知规律.现在做的比较多的教学案例是文本案例，建议有条件的可做成视频案例.有条件的学校可以将某个比较典型的课堂教学实例拍摄下来，围绕某个主题，选择其中的一个或几个活动片段，请专家做出精彩的点评，制成光盘，做成视频形式的教学案例.还可以多渠道开发案例中的学习素材，如各种教具、音像、图片、数学实验记录、自然界及人类生活中的数学现象等.

作者简介高定照，1969年4月生，教育硕士（数学），现为福建省福鼎民族中学高级教师.endprint