1问题的提出

只要在教学第一线，就可能遇到这样的窘境：当学生的课堂活动呈现一片繁荣，教学活动正在老师的指导下，井然有序、热热闹闹朝着预设的轨道前进时，突然半路杀出个“程咬金”——有同学突然冒出一句与教学预设完全不一致，但又带着“金子般闪光”的“意外”发言——打断你，若对这“意外”发言给予重视，势必打乱整个课堂预设；若断然否定置之不理，或搪塞过关，不但会轻易错过一个“千里难寻”的适合学生思维发展与创新的教学契机，而且还会严重挫伤学生的积极性和创造性，到底如何是好？笔者在引导高二学生进行学业水平考试复习时，在复习“函数应用”的一节课上就遇到过这样的突然袭击，“尴尬”不期而至，感受颇深，现整理成文，以飨读者.

2课堂探究的心路历程

题目如图1，△OAB是边长为2的正三角形，设△OAB位于直线x=t（t>0）右侧的图形的面积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

图1本题是一道以求函数解析式为知识目标的习题，在解题过程中，可以训练学生观察、思考、分析问题的能力，由形的变化得出数的结论，由图形的运动变化得出不同的数学表达式，很自然地寓数形结合、分类讨论于解题之中，使学生在不经意间经历了一次运用联系、变化的辩证观点审视事物发展的过程.

解因为△OAB是边长为2的正三角形，设△OAB位于直线x=t（t>0）右侧的图形的面积为f（t），所以易求得阴影三角形的面积为32t2，因而f（t）=3-32t2（0

32（t-2）2（1

本想以此题为例，引导学生复习函数应用及数学建模思想等，不料却引来了一堂探究性复习课.从该题出发，通过对该题的变式和类比探究，经过师生的共同努力，进行了一次生动的复习课探究，现将课堂探究的心路历程呈现如下：

解完之后，学生1提出：若将直线x=t（t>0）变为直线y=t（t>0），如何求解呢？是否还有类似的结论呢？

探究1如图2，△OAB是边长为2的正三角形，设△OAB位于直线y=t（t>0）下方的图形的面积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

图2笔者思索了片刻并肯定了这位同学的猜想.要求大家小组合作探究，并请同学将小组合作的成果展现给大家.

事实上，由题意可知B（1，3），且点B到直线y=t的距离为3-t，而阴影三角形的底边长为2-233t，所以f（t）=3-12（3-t）（2-233t）=-33t2+2t（0

探究1刚一结束，学生2又大胆提出：上面两题都是用平行于坐标轴的直线去截这个三角形，如果用一条不与坐标轴平行的直线再去截这个三角形，其结果又如何呢？

图3探究2如图3，△OAB是边长为2的正三角形，设△OAB位于直线y=-33x+t（t>0）右上方的图形的面积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

如何求解呢？经过同学们的合作探究后发现：该问题与原问题在求解过程上是不完全一样的，但在本质上没有太大的变化，因为直线y=-33x+t与直线OB是垂直的.于是就有：

因为点O到直线y=-33x+t的距离为32t，直线y=-33x+t在x正半轴上的截距为3t，易求得阴影三角形面积S=338t2，所以

f（t）=3-338t2（0

32（t=233），

38（4-3t）2（233

在师生的共同努力下，探究2迎刃而解.

正当笔者饱受丰收之悦，准备收兵之计，又有同学在下面大声的争论着：上面的直线与OB是垂直的，当直线与OB不垂直时，结果怎样呢？于是又提出如下问题，并进行了紧张的探究过程…….

评注学生提出的问题是在课前预设中没有想到的.遇到学生这样的突然“发难”，笔者茫茫然，只能紧随着学生一起“艰难”的一步步的探究着、思索着…….充分彰显了课堂预设与生成的精彩瞬间.

探究3如图4，△OAB是边长为2的正三角形，设△OAB位于直线y=-x+t（t>0）右上方的图形的面积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

师：这位同学的想法很好！想象力和联想力特别丰富.结果到底如何呢？那我们大家一起再来探讨吧！

图4问题刚一提出，由探究2的讨论过程，学生3马上给出了如下的探究过程（经过师生共同整理）.

事实上，容易求得直线y=-x+t与直线OB交点坐标为（t3+1，3t3+1），直线y=-x+t在x正半轴上的截距为t，因而当00）右上方的图形面积为32（t-1-3）2，所以

f（t）=3-34t2+3（0

32（t-1-3）2（2≤t<3+1）.

评注本题的解决较前面的问题要稍难些，因为所得三角形不再是直角三角形，具有一般性.

讨论到这里，同学们的兴趣更高了，有的同学提出可以把直线再一般化.笔者顺势将问题布置下去，有兴趣的同学可以在课下继续探究…….

当探究3完成之后，课堂时间已经过半，本来计划完成3道例题的讲解，基于此题，又和学生共度了余下的时光，共同演绎了“生成与预设”的和谐统一.

师：上面的探究是在原问题基础上在同一平面内进行的变式研究.能否利用类比推理，从平面推广到空间呢？若能，又如何求解呢？

问题刚一出来，同学们就议论开了，学生4马上提出：

探究4如图5，四面体ABCD是棱长为2的正四面体，设点B到平行于侧面ACD的截面△OPQ的距离为t，设截面OPQ右侧的几何体的体积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

图5师：这位同学提出的问题很好！下面就一起看一看这个问题到底如何解决吧？笔者首先让学生分组协作，经过8分钟左右的时间，很快有同学将问题解决，于是随即邀请一位同学展示：

学生5：我的解法是这样的，由于点B到平行于侧面ACD的截面△OPQ的距离为t，所以由相似三角形性质易知△OPQ的边长OP=PQ=OQ=2t3，而VB—OPQ=39t3，所以f（t）=223-39t3（0≤t≤3）.

随着探究4的完成，同学们的探究热情高涨，于是又有：如果点B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距离为t，设截面OPQ右侧的几何体的体积为f（t），此时f（t）的解析式又怎样呢？

于是经过师生的共同探索提出了问题5：

探究5如图6，四面体ABCD是边长为2的正四面体，设点B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距离为t，设截面OPQ右侧的几何体的体积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

图6当探究5出来以后，同学们马上投入到紧张的探究之中，大约过了10分钟左右的时间，没有一个同学做出答案来.又过去了5分钟左右，有的同学做出来了，但结果却不一样，他们在下面争论着：“我没有解错呀”？“我也没解错呀”？“那为什么我们的答案却不一样呢？难道是题目错了？还是我们的解法……”？这时下课时间快到了.

师：为了能达到探究的目的，笔者进行了适时的引导：我们来分析一下，实际上，到截面距离为t且垂直底面BCD的截面有无数个，随着倾斜程度的不同，随处都可以满足到截面OPQ的距离为t，因此函数f（t）是不确定的，当然大家求出的结果不一样了.再者，平面OPQ是转动的，在空间的任何位置都可以找到满足条件的平面，因此本题是没有确定答案的.从命题学的角度来说，此题应该是一道错题.虽然这是一道错题，但能提出问题应该是了不起的，至少他想到了，往往提出问题比解决问题更难.

至此，对本题的探究还在继续，有的同学在思考，再添加什么样的条件就能使答案确定了呢？…….

师：通过对本题的横向变式和纵向类比探究，进一步培养了学生的数形结合、分类讨论和类比推理能力，从而充分发挥了典型习题探究的教学功能.

探究4和探究5是在老师的引导下学生自己提出的，这样不仅可以培养学生提出问题和解决问题的能力，同时还能提高学生类比、联想能力.上述两个问题不只是平面到空间的简单类比，在问题解决的过程中遇到许多新问题，从面积计算到体积计算的转化，培养了学生空间想象能力和逻辑推理能力.特别是探究5的提出，对学生的探究能力要求较高，而这些问题的解决又有利于提高学生的探究能力和创新意识等.

评注这些类比迁移，是笔者受到学生问题的启发，由平面三角形类比到空间四面体的，而在课堂预设中是没有的，这些都充分说明了课堂教学是一个动态平衡过程.

3几点感悟

3.1课堂教学需要预设

新课标指出，开放对应于封闭，生成对应于预设，教学是预设与生成、封闭与开放的矛盾统一体.“预则立，不预则废”，预设是教学的基本要求.教学是有目标、有计划的活动，教学的运行也需要一定的程序，并因此表现出相对的封闭性，也正是基于此，传统教学过分强调预设和封闭，从而使课堂教学变得机械、沉闷和程式化，缺乏对智慧的挑战和对好奇心的刺激，使师生的生命力在课堂中得不到充分发挥.

32预设与生成是一个和谐统一体

教学过程是师生交往、互动的过程，新课程的预设也就必须为师生交往、互动服务.学生不是雕刻家随意塑造的作品，不是电视机前的无可奈何的观众，也不是简单的学习活动的参与者，更不是完成学习任务的工具，而是具有主观能动性的学习主体.学生作为学习活动中一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感参与到课堂活动之中，使课堂变得丰富、多变和复杂.课堂教学不可能也不应该预先设定好所有的教学程式而机械地实施.

总之，在教学中如何应对学生提出的与课堂预设不相一致的问题，激发学生探究问题的热情，是我们每一位老师都可能遇到的，教师要紧随学生的思路，因势利导地帮助学生发现问题、解决问题，因而就要求教师具有较高的驾驭课堂的能力.在教学中，先给出问题的简单情形，再把问题一步步深化，在学生不断地提出问题和发现问题的过程中让学生感受到学习的快乐，并在师生的共同努力下将一个个问题攻破.这就是“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”.参考文献

[1]刘瑞美.意外的生成有效的课堂[J].数学通讯，2011（12）.

[2]陈云赞.一堂“意外惊喜”的习题课[J].数学通报，2009（2）.

[3]袁伟忠.创设绿色数学课堂“生态环境”的教学尝试[J].中学数学杂志，2007（3）.

[4]刘瑞美.由一道高考题引发的研究性学习[J].中学数学，2012（2）.

[5]刘瑞美.由一道习题引出的复习课探究[J].数学教学，2013（1）.endprint

图5师：这位同学提出的问题很好！下面就一起看一看这个问题到底如何解决吧？笔者首先让学生分组协作，经过8分钟左右的时间，很快有同学将问题解决，于是随即邀请一位同学展示：

学生5：我的解法是这样的，由于点B到平行于侧面ACD的截面△OPQ的距离为t，所以由相似三角形性质易知△OPQ的边长OP=PQ=OQ=2t3，而VB—OPQ=39t3，所以f（t）=223-39t3（0≤t≤3）.

随着探究4的完成，同学们的探究热情高涨，于是又有：如果点B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距离为t，设截面OPQ右侧的几何体的体积为f（t），此时f（t）的解析式又怎样呢？

于是经过师生的共同探索提出了问题5：

探究5如图6，四面体ABCD是边长为2的正四面体，设点B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距离为t，设截面OPQ右侧的几何体的体积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

图6当探究5出来以后，同学们马上投入到紧张的探究之中，大约过了10分钟左右的时间，没有一个同学做出答案来.又过去了5分钟左右，有的同学做出来了，但结果却不一样，他们在下面争论着：“我没有解错呀”？“我也没解错呀”？“那为什么我们的答案却不一样呢？难道是题目错了？还是我们的解法……”？这时下课时间快到了.

师：为了能达到探究的目的，笔者进行了适时的引导：我们来分析一下，实际上，到截面距离为t且垂直底面BCD的截面有无数个，随着倾斜程度的不同，随处都可以满足到截面OPQ的距离为t，因此函数f（t）是不确定的，当然大家求出的结果不一样了.再者，平面OPQ是转动的，在空间的任何位置都可以找到满足条件的平面，因此本题是没有确定答案的.从命题学的角度来说，此题应该是一道错题.虽然这是一道错题，但能提出问题应该是了不起的，至少他想到了，往往提出问题比解决问题更难.

至此，对本题的探究还在继续，有的同学在思考，再添加什么样的条件就能使答案确定了呢？…….

师：通过对本题的横向变式和纵向类比探究，进一步培养了学生的数形结合、分类讨论和类比推理能力，从而充分发挥了典型习题探究的教学功能.

探究4和探究5是在老师的引导下学生自己提出的，这样不仅可以培养学生提出问题和解决问题的能力，同时还能提高学生类比、联想能力.上述两个问题不只是平面到空间的简单类比，在问题解决的过程中遇到许多新问题，从面积计算到体积计算的转化，培养了学生空间想象能力和逻辑推理能力.特别是探究5的提出，对学生的探究能力要求较高，而这些问题的解决又有利于提高学生的探究能力和创新意识等.

评注这些类比迁移，是笔者受到学生问题的启发，由平面三角形类比到空间四面体的，而在课堂预设中是没有的，这些都充分说明了课堂教学是一个动态平衡过程.

3几点感悟

3.1课堂教学需要预设

新课标指出，开放对应于封闭，生成对应于预设，教学是预设与生成、封闭与开放的矛盾统一体.“预则立，不预则废”，预设是教学的基本要求.教学是有目标、有计划的活动，教学的运行也需要一定的程序，并因此表现出相对的封闭性，也正是基于此，传统教学过分强调预设和封闭，从而使课堂教学变得机械、沉闷和程式化，缺乏对智慧的挑战和对好奇心的刺激，使师生的生命力在课堂中得不到充分发挥.

32预设与生成是一个和谐统一体

教学过程是师生交往、互动的过程，新课程的预设也就必须为师生交往、互动服务.学生不是雕刻家随意塑造的作品，不是电视机前的无可奈何的观众，也不是简单的学习活动的参与者，更不是完成学习任务的工具，而是具有主观能动性的学习主体.学生作为学习活动中一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感参与到课堂活动之中，使课堂变得丰富、多变和复杂.课堂教学不可能也不应该预先设定好所有的教学程式而机械地实施.

总之，在教学中如何应对学生提出的与课堂预设不相一致的问题，激发学生探究问题的热情，是我们每一位老师都可能遇到的，教师要紧随学生的思路，因势利导地帮助学生发现问题、解决问题，因而就要求教师具有较高的驾驭课堂的能力.在教学中，先给出问题的简单情形，再把问题一步步深化，在学生不断地提出问题和发现问题的过程中让学生感受到学习的快乐，并在师生的共同努力下将一个个问题攻破.这就是“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”.参考文献

[1]刘瑞美.意外的生成有效的课堂[J].数学通讯，2011（12）.

[2]陈云赞.一堂“意外惊喜”的习题课[J].数学通报，2009（2）.

[3]袁伟忠.创设绿色数学课堂“生态环境”的教学尝试[J].中学数学杂志，2007（3）.

[4]刘瑞美.由一道高考题引发的研究性学习[J].中学数学，2012（2）.

[5]刘瑞美.由一道习题引出的复习课探究[J].数学教学，2013（1）.endprint

图5师：这位同学提出的问题很好！下面就一起看一看这个问题到底如何解决吧？笔者首先让学生分组协作，经过8分钟左右的时间，很快有同学将问题解决，于是随即邀请一位同学展示：

学生5：我的解法是这样的，由于点B到平行于侧面ACD的截面△OPQ的距离为t，所以由相似三角形性质易知△OPQ的边长OP=PQ=OQ=2t3，而VB—OPQ=39t3，所以f（t）=223-39t3（0≤t≤3）.

随着探究4的完成，同学们的探究热情高涨，于是又有：如果点B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距离为t，设截面OPQ右侧的几何体的体积为f（t），此时f（t）的解析式又怎样呢？

于是经过师生的共同探索提出了问题5：

探究5如图6，四面体ABCD是边长为2的正四面体，设点B到垂直于底面BCD的截面△OPQ的距离为t，设截面OPQ右侧的几何体的体积为f（t）.试求函数f（t）的解析式.

图6当探究5出来以后，同学们马上投入到紧张的探究之中，大约过了10分钟左右的时间，没有一个同学做出答案来.又过去了5分钟左右，有的同学做出来了，但结果却不一样，他们在下面争论着：“我没有解错呀”？“我也没解错呀”？“那为什么我们的答案却不一样呢？难道是题目错了？还是我们的解法……”？这时下课时间快到了.

师：为了能达到探究的目的，笔者进行了适时的引导：我们来分析一下，实际上，到截面距离为t且垂直底面BCD的截面有无数个，随着倾斜程度的不同，随处都可以满足到截面OPQ的距离为t，因此函数f（t）是不确定的，当然大家求出的结果不一样了.再者，平面OPQ是转动的，在空间的任何位置都可以找到满足条件的平面，因此本题是没有确定答案的.从命题学的角度来说，此题应该是一道错题.虽然这是一道错题，但能提出问题应该是了不起的，至少他想到了，往往提出问题比解决问题更难.

至此，对本题的探究还在继续，有的同学在思考，再添加什么样的条件就能使答案确定了呢？…….

师：通过对本题的横向变式和纵向类比探究，进一步培养了学生的数形结合、分类讨论和类比推理能力，从而充分发挥了典型习题探究的教学功能.

探究4和探究5是在老师的引导下学生自己提出的，这样不仅可以培养学生提出问题和解决问题的能力，同时还能提高学生类比、联想能力.上述两个问题不只是平面到空间的简单类比，在问题解决的过程中遇到许多新问题，从面积计算到体积计算的转化，培养了学生空间想象能力和逻辑推理能力.特别是探究5的提出，对学生的探究能力要求较高，而这些问题的解决又有利于提高学生的探究能力和创新意识等.

评注这些类比迁移，是笔者受到学生问题的启发，由平面三角形类比到空间四面体的，而在课堂预设中是没有的，这些都充分说明了课堂教学是一个动态平衡过程.

3几点感悟

3.1课堂教学需要预设

新课标指出，开放对应于封闭，生成对应于预设，教学是预设与生成、封闭与开放的矛盾统一体.“预则立，不预则废”，预设是教学的基本要求.教学是有目标、有计划的活动，教学的运行也需要一定的程序，并因此表现出相对的封闭性，也正是基于此，传统教学过分强调预设和封闭，从而使课堂教学变得机械、沉闷和程式化，缺乏对智慧的挑战和对好奇心的刺激，使师生的生命力在课堂中得不到充分发挥.

32预设与生成是一个和谐统一体

教学过程是师生交往、互动的过程，新课程的预设也就必须为师生交往、互动服务.学生不是雕刻家随意塑造的作品，不是电视机前的无可奈何的观众，也不是简单的学习活动的参与者，更不是完成学习任务的工具，而是具有主观能动性的学习主体.学生作为学习活动中一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感参与到课堂活动之中，使课堂变得丰富、多变和复杂.课堂教学不可能也不应该预先设定好所有的教学程式而机械地实施.

总之，在教学中如何应对学生提出的与课堂预设不相一致的问题，激发学生探究问题的热情，是我们每一位老师都可能遇到的，教师要紧随学生的思路，因势利导地帮助学生发现问题、解决问题，因而就要求教师具有较高的驾驭课堂的能力.在教学中，先给出问题的简单情形，再把问题一步步深化，在学生不断地提出问题和发现问题的过程中让学生感受到学习的快乐，并在师生的共同努力下将一个个问题攻破.这就是“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”.参考文献

[1]刘瑞美.意外的生成有效的课堂[J].数学通讯，2011（12）.

[2]陈云赞.一堂“意外惊喜”的习题课[J].数学通报，2009（2）.

[3]袁伟忠.创设绿色数学课堂“生态环境”的教学尝试[J].中学数学杂志，2007（3）.

[4]刘瑞美.由一道高考题引发的研究性学习[J].中学数学，2012（2）.

[5]刘瑞美.由一道习题引出的复习课探究[J].数学教学，2013（1）.endprint