李昭平+汪和平

2012年安徽数学理科卷第21题压轴题是：

数列{xn}满足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列.

2考题分析

该题立意新颖、设计巧妙、交汇灵活，避开了高考数列常常关注递推式与通项、前n项和的视角，而以函数为背景给出递推数列，与函数、不等式、数列的单调性、简易逻辑、数学归纳法等问题有机融合，需要多个数学分支的知识和多种数学思想方法，突出试题的探索性与开放性，充分体现了新课改理念，对考生推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，以及考生缜密的思维习惯等都有很高的要求，同时也对考生应变能力与心理素质进行了有效测评，具有很好的选拔区分功能.据了解，考场中不少考生望题生畏，不清楚递推关系反映数列哪些性质，也不知道如何去弄清楚这些性质，没有顺利求得结论.从高考阅卷信息反馈得知，本题全省50多万考生中只有一人得满分，难度系数在01左右.这促使我们对本题的深度思考，通过探析此类问题的命题背景，尝试探究一般解题方法与思想，获得一般性结论.这样做，既丰富了函数与数列的联系，又拓宽了研究性学习的素材，更发展了学生的能力.

3背景探究

命题1定义在区间D上单调递增的连续函数y=f（x），其值域也为区间D，且f（x）>x在D上恒成立.若数列{xn}满足x1∈D，xn+1=f（xn），则数列{xn}必为单调递增数列.

证明因为xn+1=f（xn）>xn对任意正整数n都成立，所以{xn}为单调递增数列.

6三点启示

6.1学会解题

解题是从明确给出的、已知的东西出发，去发现隐含的、存在的、待求解（证）的结论的思维活动，是一个积极而生动的创造过程.这个过程要求学生善于从数学问题的整体结构及条件与结论的相互联系中去寻找解决问题的途径，会将复杂的问题或形式转化为简单的问题或形式，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，尤其是转化为自己掌握了的基本问题.函数背景下的数列单调性问题很抽象，但结合函数图象和性质去探究问题的背景与规律的本原，理解问题的来龙去脉，形成易于理解的简单直观的命题系列，以数解形、以形助数，将问题换一种形式或换一个角度去分析理解，就能有效地解决.

6.2善于教学

数学的本质是数学思维，数学教学就是要引领学生亲历探究发现规律、寻根求源的过程，合情推理与逻辑推理相结合的过程，不仅要获得数学结论或抽象的数学形式，更要清楚它的直观原型.只有切实引领学生经历知识背景与规律的探究过程，理解问题的来龙去脉、就题论道，才能实现方法的灵活运用和数学思想的形成，从而提高解题能力.对文中所列的这些看似孤立、零散、较难的高考题的教学，如果没有将问题系统化，恰当地理解递推规律与背景，则每个题目对于学生来说是非常晦涩难懂的，这样的教学就会失去应有的价值.

6.3有效备考

在当前以高校教师为主体和主导的高考命题背景下，高等数学的影子、竞赛题的影子常常出现，呈现题面新颖、方法灵活、内涵丰富的特点.如何应对这样的考题是备考复习中要重视和研究的.这类问题的复习教学仍然应该立足基础知识与方法，比如考题背景的各个命题是符合学生认知特点的，是学生能够理解的.因此高考备考教学不能让课程标准或考试大纲束缚了手脚，或者一味地去猜测考题的组合形式，应多抛出问题，从根本处出发，遵循数学的本性，立足问题本源和学生认知基础与能力，深入理解和灵活运用数学思想方法，就能实现执果索因、探本清源，达到思维能力的提高、数学方法思想的领悟和高考成绩的丰收.

参考文献

[1]李昭平，汪和平.让过程展示思维风采[J].中学数学，2012（10）.

[2]李春雷.用函数不动点原理破解数列单调性[J].中学数学研究，2011（6）.

作者简介李昭平，男，1963年8月生，太湖中学副校长，安徽省数学特级教师.多年来，所授班级的学生多次在全国初、高中数学奥林匹克竞赛和省市青少年科技创新大赛中获省等级奖，高考、会考成绩优异.曾获得安徽省“教坛新星”、安庆市数学学科带头人、安庆市先进教研个人、安庆市名师、市级优秀教师、省市优秀科技辅导教师等荣誉称号.2006年获安庆市市长奖，享受安徽省人民政府特殊津贴.迄今为止，在国家级、省级具有CN刊号的报刊杂志上发表教育教学论文460余篇，在省内外进行名师交流讲座70多场.endprint

2012年安徽数学理科卷第21题压轴题是：

数列{xn}满足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列.

2考题分析

该题立意新颖、设计巧妙、交汇灵活，避开了高考数列常常关注递推式与通项、前n项和的视角，而以函数为背景给出递推数列，与函数、不等式、数列的单调性、简易逻辑、数学归纳法等问题有机融合，需要多个数学分支的知识和多种数学思想方法，突出试题的探索性与开放性，充分体现了新课改理念，对考生推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，以及考生缜密的思维习惯等都有很高的要求，同时也对考生应变能力与心理素质进行了有效测评，具有很好的选拔区分功能.据了解，考场中不少考生望题生畏，不清楚递推关系反映数列哪些性质，也不知道如何去弄清楚这些性质，没有顺利求得结论.从高考阅卷信息反馈得知，本题全省50多万考生中只有一人得满分，难度系数在01左右.这促使我们对本题的深度思考，通过探析此类问题的命题背景，尝试探究一般解题方法与思想，获得一般性结论.这样做，既丰富了函数与数列的联系，又拓宽了研究性学习的素材，更发展了学生的能力.

3背景探究

命题1定义在区间D上单调递增的连续函数y=f（x），其值域也为区间D，且f（x）>x在D上恒成立.若数列{xn}满足x1∈D，xn+1=f（xn），则数列{xn}必为单调递增数列.

证明因为xn+1=f（xn）>xn对任意正整数n都成立，所以{xn}为单调递增数列.

6三点启示

6.1学会解题

解题是从明确给出的、已知的东西出发，去发现隐含的、存在的、待求解（证）的结论的思维活动，是一个积极而生动的创造过程.这个过程要求学生善于从数学问题的整体结构及条件与结论的相互联系中去寻找解决问题的途径，会将复杂的问题或形式转化为简单的问题或形式，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，尤其是转化为自己掌握了的基本问题.函数背景下的数列单调性问题很抽象，但结合函数图象和性质去探究问题的背景与规律的本原，理解问题的来龙去脉，形成易于理解的简单直观的命题系列，以数解形、以形助数，将问题换一种形式或换一个角度去分析理解，就能有效地解决.

6.2善于教学

数学的本质是数学思维，数学教学就是要引领学生亲历探究发现规律、寻根求源的过程，合情推理与逻辑推理相结合的过程，不仅要获得数学结论或抽象的数学形式，更要清楚它的直观原型.只有切实引领学生经历知识背景与规律的探究过程，理解问题的来龙去脉、就题论道，才能实现方法的灵活运用和数学思想的形成，从而提高解题能力.对文中所列的这些看似孤立、零散、较难的高考题的教学，如果没有将问题系统化，恰当地理解递推规律与背景，则每个题目对于学生来说是非常晦涩难懂的，这样的教学就会失去应有的价值.

6.3有效备考

在当前以高校教师为主体和主导的高考命题背景下，高等数学的影子、竞赛题的影子常常出现，呈现题面新颖、方法灵活、内涵丰富的特点.如何应对这样的考题是备考复习中要重视和研究的.这类问题的复习教学仍然应该立足基础知识与方法，比如考题背景的各个命题是符合学生认知特点的，是学生能够理解的.因此高考备考教学不能让课程标准或考试大纲束缚了手脚，或者一味地去猜测考题的组合形式，应多抛出问题，从根本处出发，遵循数学的本性，立足问题本源和学生认知基础与能力，深入理解和灵活运用数学思想方法，就能实现执果索因、探本清源，达到思维能力的提高、数学方法思想的领悟和高考成绩的丰收.

参考文献

[1]李昭平，汪和平.让过程展示思维风采[J].中学数学，2012（10）.

[2]李春雷.用函数不动点原理破解数列单调性[J].中学数学研究，2011（6）.

作者简介李昭平，男，1963年8月生，太湖中学副校长，安徽省数学特级教师.多年来，所授班级的学生多次在全国初、高中数学奥林匹克竞赛和省市青少年科技创新大赛中获省等级奖，高考、会考成绩优异.曾获得安徽省“教坛新星”、安庆市数学学科带头人、安庆市先进教研个人、安庆市名师、市级优秀教师、省市优秀科技辅导教师等荣誉称号.2006年获安庆市市长奖，享受安徽省人民政府特殊津贴.迄今为止，在国家级、省级具有CN刊号的报刊杂志上发表教育教学论文460余篇，在省内外进行名师交流讲座70多场.endprint

2012年安徽数学理科卷第21题压轴题是：

数列{xn}满足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列.

2考题分析

该题立意新颖、设计巧妙、交汇灵活，避开了高考数列常常关注递推式与通项、前n项和的视角，而以函数为背景给出递推数列，与函数、不等式、数列的单调性、简易逻辑、数学归纳法等问题有机融合，需要多个数学分支的知识和多种数学思想方法，突出试题的探索性与开放性，充分体现了新课改理念，对考生推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，以及考生缜密的思维习惯等都有很高的要求，同时也对考生应变能力与心理素质进行了有效测评，具有很好的选拔区分功能.据了解，考场中不少考生望题生畏，不清楚递推关系反映数列哪些性质，也不知道如何去弄清楚这些性质，没有顺利求得结论.从高考阅卷信息反馈得知，本题全省50多万考生中只有一人得满分，难度系数在01左右.这促使我们对本题的深度思考，通过探析此类问题的命题背景，尝试探究一般解题方法与思想，获得一般性结论.这样做，既丰富了函数与数列的联系，又拓宽了研究性学习的素材，更发展了学生的能力.

3背景探究

命题1定义在区间D上单调递增的连续函数y=f（x），其值域也为区间D，且f（x）>x在D上恒成立.若数列{xn}满足x1∈D，xn+1=f（xn），则数列{xn}必为单调递增数列.

证明因为xn+1=f（xn）>xn对任意正整数n都成立，所以{xn}为单调递增数列.

6三点启示

6.1学会解题

解题是从明确给出的、已知的东西出发，去发现隐含的、存在的、待求解（证）的结论的思维活动，是一个积极而生动的创造过程.这个过程要求学生善于从数学问题的整体结构及条件与结论的相互联系中去寻找解决问题的途径，会将复杂的问题或形式转化为简单的问题或形式，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，尤其是转化为自己掌握了的基本问题.函数背景下的数列单调性问题很抽象，但结合函数图象和性质去探究问题的背景与规律的本原，理解问题的来龙去脉，形成易于理解的简单直观的命题系列，以数解形、以形助数，将问题换一种形式或换一个角度去分析理解，就能有效地解决.

6.2善于教学

数学的本质是数学思维，数学教学就是要引领学生亲历探究发现规律、寻根求源的过程，合情推理与逻辑推理相结合的过程，不仅要获得数学结论或抽象的数学形式，更要清楚它的直观原型.只有切实引领学生经历知识背景与规律的探究过程，理解问题的来龙去脉、就题论道，才能实现方法的灵活运用和数学思想的形成，从而提高解题能力.对文中所列的这些看似孤立、零散、较难的高考题的教学，如果没有将问题系统化，恰当地理解递推规律与背景，则每个题目对于学生来说是非常晦涩难懂的，这样的教学就会失去应有的价值.

6.3有效备考

在当前以高校教师为主体和主导的高考命题背景下，高等数学的影子、竞赛题的影子常常出现，呈现题面新颖、方法灵活、内涵丰富的特点.如何应对这样的考题是备考复习中要重视和研究的.这类问题的复习教学仍然应该立足基础知识与方法，比如考题背景的各个命题是符合学生认知特点的，是学生能够理解的.因此高考备考教学不能让课程标准或考试大纲束缚了手脚，或者一味地去猜测考题的组合形式，应多抛出问题，从根本处出发，遵循数学的本性，立足问题本源和学生认知基础与能力，深入理解和灵活运用数学思想方法，就能实现执果索因、探本清源，达到思维能力的提高、数学方法思想的领悟和高考成绩的丰收.

参考文献

[1]李昭平，汪和平.让过程展示思维风采[J].中学数学，2012（10）.

[2]李春雷.用函数不动点原理破解数列单调性[J].中学数学研究，2011（6）.

作者简介李昭平，男，1963年8月生，太湖中学副校长，安徽省数学特级教师.多年来，所授班级的学生多次在全国初、高中数学奥林匹克竞赛和省市青少年科技创新大赛中获省等级奖，高考、会考成绩优异.曾获得安徽省“教坛新星”、安庆市数学学科带头人、安庆市先进教研个人、安庆市名师、市级优秀教师、省市优秀科技辅导教师等荣誉称号.2006年获安庆市市长奖，享受安徽省人民政府特殊津贴.迄今为止，在国家级、省级具有CN刊号的报刊杂志上发表教育教学论文460余篇，在省内外进行名师交流讲座70多场.endprint