赵亚玲，沈小欣

ø-混合样本下似然比统计量的渐近分布

赵亚玲，沈小欣

（浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华321004）

利用泰勒展开方法研究ø-混合样本下考虑一维参数空间似然比统计量的极限分布,在一定的正则条件下,证明了简单原假设下似然比统计量的极限分布为加权χ2-分布.

ø-混合样本;似然比统计量;渐近分布

在参数估计中,极大似然估计是被广泛应用的一种估计方法,极大似然方法最先由Guass提出,后又由Fisher［1］提出并研究了它的性质,极大似然估计被广泛应用到统计推断问题的研究.似然方法除了在估计问题中被广泛应用外,其亦被广泛应用到假设检验问题中,这就是著名的似然比检验.在独立样本下,似然比统计量的渐近分布是卡方分布的结果已被证明，见茆诗松等［2］.本文将研究-混合样本下似然比统计量的极限分布,下面先介绍下ø-混合序列的定义.

定义一：称随机变量序列{ηi,i≥1}为ø-混合序列,如果当n→∞时,有

其中表示表示由生成的ø-域,且称ø(n)为ø-混合系数.

1959年,Ibragimov［3］第一次提出了ø-混合条件,与此同时Cogburn［4］进行了相关研究.Bradley［5］给出了一个较好的ø-混合条件以及其它常用混合条件的综述.samour［6］又研究了混合随机变量和的收敛性.由于ø-混合序列应用广泛,刘京云［7］等都对ø-混合随机变量序列的相关理论进行了深入研究.

本文研究ø-混合样本下似然比统计量的渐近分布，在第二节给出主要结果,第三节给出一些引理,主要结果的证明在第四节给出.

1 假设条件及主要结果

设X1,X2,…,Xn,…是一列ø-混合随机变量序列,混合系数为ø,Θ是一维参数空间,且X1的概率密度函数为p(x;θ),θ∈Θ.令X=(X1,X2,…,Xn),似然函数为,若统计量θˆ(X)使得L(θˆ(X);X)=supθL(θ, X),则称)为极大似然估计,由于对数似然函数是严格单调增函数,故满足是极大似然估计.寻找极极大似然估计一般用求导数的方法,若的内点,则θˆ是似然方程的解.可以证明在一定的条件下似然方程以概率1有解,且此解是相合的.

考虑双边检验问题:简单原假设H0∶θ≠θ0对备择假设定义似然比统计量，

在λ(X)较大时,原假设成立观测到样本点X的可能性比较小,因此在λ(X)较大时拒绝原假设.故检验的拒绝域为{X,λ(X)≥C},为了得到拒绝域需要知道似然比统计量的分布,但其精确分布很难得到,故寻求在样本容量趋于无穷大时似然比统计量的渐近分布.

笔者研究在原假设H0成立时2lnλ(X)的渐近分布,需要以下正则条件:

(A1)(i)X1,X2,…,Xn,…是平稳的随机变量序列,X1的概率密度函数为p(x;θ),θ∈Θ,Θ为一维参数空间,θ0是参数真值.(ii){Xi,i≥1}是ø-混合序列且

(A4)存在M(x),使得x∫M(x)·p(x,θ)dx＜K,∀θ∈Θ,其中K为与θ无关的常数,且在含有参数真值θ0的一个领域内

(A5)不同的θ值,对应不同的概率分布.

注1条件(A2)～(A6)在研究独立样本情形似然比统计量的极限分布时也被用到(见文［2］).基于以上假设，有定理结果如下：

定理设条件(A1)～(A6)满足,则在H0成立时,当n→∞时,2ln λ(X)依分布收敛到,其中

2 引理

为了证明主要结果,需要以下引理.

引理1假设{Xj,j≥1}是ø-混合序列,混合系数为ø(n),表示由{Xi,s≤i≤t}(s≤t)序列生成的σ-域.若{fi(·)∶j≥1}都为可测函数,则{fi(Xj)∶j≥1}是ø-混合序列,且混合系数ø1(n)满足ø1(n)≤ø(n).

证通过ø-混合随机变量序列的定义可直接证明.

引理2［7］设{Xk;k≥1}为实值ø-混合序列且混合速度满足若对某个r≥2,有则

引理3假设{Xj;j≥1}是满足(A1)的ø-混合序列,则有

引理4设条件(A1)～(A6)满足,若ln p(x,θ)在Θ上可微,则似然方程在n→∞时以概率1有解,且为θ0的相合估计.

证∀θ′≠θ,因p(x;θ)是可识别的,由Jensen不等式及引理3得,对充分小的δ＞0,(θ0-δ,θ0+δ)⊂Θ,当n→∞时,

则l(θ;x)在［θ0-δ,θ0+δ］上必有一局部最大点,记为θˆ,且|θˆ-θ|＜δ,故由的δ任意性引理得证.

引理5设{Xj;j≥1}是满足条件(A1)的ø-混合序列,则由文［6］知收敛且有

引理6设条件(A1)满足,且X1的概率密度函数p(x,θ)满足条件(A2)-(A5),记θˆn为n→∞时似然方程的相合解,则

其中θ1介于θ0与之间.

又由引理3知：

又当n→∞时,θ1在θ0的领域内,故结合引理3知：

由(3)式和(4)式知：

再由(1)、(2)、(5)式引理6得证.

3 定理的证明

下面的证明都是在原假设H0成立的条件下进行的.将处泰勒展开，则由文［2］得：

由此定理得证.

［1］Fisher R A.On the mathematical foundations of theoretical statistics［J］.Philosophical Transactions of the Royal Society of London.Series A,Containing Papers of a Mathematical or Physical Character,1922,222:309-368.

［2］茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计［M］.2版.北京:高等教育出版社,2006.

［3］Ibragimov I A.Some limit theorems for stochastic processes stationary in the strict sense［J］.Dokl Akad Nauk SSSR,1959,125 (2):711-714.

［4］Cogburn R.Asymptotic properties of stationary sequences［J］.Univ Calif Publ Statist,1960(3):99-146.

［5］Bradley R C.Basic properties of strong mixing conditions:a survey and some open questions［J］.Probab Surveys,2005(2):107-144.

［6］Samour J D.Convergence of sums of mixing triangular arrays of random vectors with stationary rows［J］.Ann Probability,1984,12(4): 390-426.

［7］刘京云,陈平炎,甘师信.ø-混合序列的大数定律［J］.数学杂志,1998,18(2):91-95.

The asymptotic distribution of likelihood ratio statistic under ø-mixing samples

ZHAO Ya-ling,SHEN Xiao-xin
（College of Mathematics,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University, Jinhua 321004,Zhejiang,China）

Under ø-mixing samples the paper discusses one dimensional parameter space,and the asymptotic distribution of likelihood ratio statistic is established in the case of simple null hypotheses via the Taylor expansion method.Under certain regularity conditions,the asymptotic distribution is proved to be weighted chisquare distribution.

ø-mixing sample;likelihood ratio statistic;asymptotic distribution

O152.1

A

1007-5348（2014）12-0005-05

（责任编辑：李婉）

2014-09-10

赵亚玲（1990-），女，安徽合肥人，浙江师范大学数理与信息工程学院，硕士研究生，主要从事概率论与数理统计方面的研究.