姚丽芳

对称问题是解析几何中重要的基础知识，也是近年来高考的热点之一.高中数学中的对称问题主要分中心对称问题和轴对称问题.

中心对称： 即关于点对称，主要分为点关于点对称、直线关于点对称以及曲线关于点中心对称.

点关于点对称： 两个点关于一个点对称，这两个点连线的中点即为对称点.由此我们可寻求两个点坐标之间的关系：若点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′，则点A为PP′的中点，P′坐标为（2a-x0，2b-y0）.

例1 已知定点F1（-2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是

（A） 椭圆 （B） 双曲线

（C） 抛物线 （D） 圆

解： 设N（a，b），M（x，y）.由题意可知F1（-2，0）与M（x，y）关于点N（a，b）对称，故a=，b=.把N，代入圆O的方程x2+y2=1，可得点M的轨迹方程是（x-2）2+y2=4，即点M的轨迹是以F2（2，0）为圆心、半径R=2的圆.

如图1所示，因为NP是F1M的中垂线，所以PF1=PM.又MF2=R=2，故当点P在圆F2内时，PF2=PM-MF2=PF1-2.

如图2所示，当点P在圆F2外时，PF2=PM+MF2=PF1+2.

所以PF1-PF2=PF1-（PF1±2）=±2，即PF1-PF2=2，而2

点评： 例1利用F1，M关于N点对称，得到点M的轨迹方程，再利用中垂线定义解出答案.解题过程中，要特别注意P点在圆内和圆外这两种情况.

直线关于点对称： 两条直线关于一个点对称，其实质是一条直线上任意一点关于这个点的对称点，都在另一条直线上.由此我们可以利用点关于点对称的坐标关系进行求解.

若直线l′：y=f（x）与直线l关于点A（a，b）对称，则l上的任意一点P（x，y）关于A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）在l′：y=f（x）上，可得l的方程为y=2b-f（2a-x）.

直线是曲线的一种特例，曲线关于点中心对称问题的本质与直线关于点对称类似，因此上述方法也可以用来求解曲线关于点的对称问题.

例2 如图3所示，已知两定点A（1，-1），B（5，3），一动点P在直线l：2x-y-4=0上移动，求平行四边形APBQ的另一个顶点Q的轨迹方程.

解： 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0）. AB中点C（3，1）.由题意可知P，Q两点关于点C对称，所以点Q的轨迹即为直线l：2x-y-4=0关于点C（3，1）的对称直线.

因为点P，Q关于点C对称，故C为PQ中点，由此可得x0=6-x，y0=2-y.又P（x0，y0）在直线l上，代入直线l：2x-y-4=0得2（6-x）-（2-y）-4=0，即2x-y-6=0，所以顶点Q的轨迹方程为2x-y-6=0.

点评： 例2利用平行四边形APBQ的对角线互相平分，得到P，Q关于AB中点C对称，从而由点P的轨迹方程得到点Q的轨迹方程.此外，还可以利用点P的轨迹直线l关于点C的对称图形是与直线l平行的直线l′、且点C到直线l，l′的距离相等求解.

轴对称： 即图象关于直线对称，高中阶段主要考查点关于直线对称、直线关于直线对称问题.

点关于直线对称： 两个点关于一条直线对称，那么这两个点的连线与这条直线垂直，并且两个点连线的中点在这条直线上.利用这两个关系，我们就可以找到两个点坐标之间的数量关系.

若点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则PP′的中点Q，在直线y=kx+b上，且直线PP′垂直于直线y=kx+b.通过建立方程组·k=-1，=k·+b，可求得点P′（x，y）的坐标.

特别地，当k=1时，x=y0-b，y=x0+b；当k=-1时，x=-y0+b，y=-x0+b.当对称直线的斜率k=±1时，可以用此法快速求得对称点的坐标.

例如点P（1，2）关于直线y=-x-2的对称点为P′（x，y）.将P（1，2）代入x=-y0+b，y=-x0+b.可解得P′点的坐标为（-4，-3）.

例3 双曲线x2-=1上的两点A，B关于直线y=-x+1对称，则直线AB的方程为

A. y=x B. y=x+1

C. y=x-1 D. y=x+

解： 如图4所示，因为A，B关于直线y=-x+1对称，故直线AB的斜率为1.设直线AB的方程为y=x+m，代入双曲线方程得x2-2mx-m2-2=0.结合韦达定理可得，AB的中点P的横坐标为xp==m，代入y=x+m可得yp=2m.

由直线AB关于y=-x+1轴对称可知点P（m，2m）在直线y=-x+1上，解得m=，故选D.

点评： 例3是一道典型的圆锥曲线中的轴对称问题，由对称知识分析可得：直线AB与对称轴y=-x+1垂直，且AB的中点在对称轴y=-x+1上，由此可建立方程求解.

直线关于直线对称： 两条直线关于一条直线对称，其实质是一条直线上任意一点关于对称直线的对称点，都在另一条直线上.

若直线l：y=f（x）关于直线L：y=kx+b的对称直线为l′，则l′上任意一点P′关于直线L的对称点P在直线l：y=f（x）上.

直线关于特殊直线的对称问题，如关于平行线、x轴、y轴等对称，可以利用直线斜率间的关系简化求解过程：

当直线l∥L时，则l′∥l，即kl=kl′；

当直线L为x轴时，则kl +kl′=0；

当直线L为y轴时，则kl +kl′=0.

例4 [2012年福州市高考数学模拟题（文科）第21题改编] 过点M（1，0）任作一条直线与椭圆+=1相交于A，B两点，N（4，0），联结AN，BN，求证直线AN，BN关于x轴对称.

证明： 由椭圆对称性可知，当AB⊥x轴时，∠ANM=∠BNM，即直线AN，BN关于x轴对称.

如图5所示，当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k（x-1）.联立方程y=k（x-1），2x2+y2=8，可得（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0.设直线AB交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1+x2=，x1·x2=.因为kAN==，kBN==，所以kAN+kBN===·-+8=0.由此可得∠ANM=∠BNM，直线AN，BN关于x轴对称.

点评： 要证明直线AN，BN关于x轴对称，只要证明直线AN，BN的斜率相反即可.解题时注意不要遗漏讨论AB⊥x轴的情况.

对称问题是解析几何中重要的基础知识，也是近年来高考的热点之一.高中数学中的对称问题主要分中心对称问题和轴对称问题.

中心对称： 即关于点对称，主要分为点关于点对称、直线关于点对称以及曲线关于点中心对称.

点关于点对称： 两个点关于一个点对称，这两个点连线的中点即为对称点.由此我们可寻求两个点坐标之间的关系：若点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′，则点A为PP′的中点，P′坐标为（2a-x0，2b-y0）.

例1 已知定点F1（-2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是

（A） 椭圆 （B） 双曲线

（C） 抛物线 （D） 圆

解： 设N（a，b），M（x，y）.由题意可知F1（-2，0）与M（x，y）关于点N（a，b）对称，故a=，b=.把N，代入圆O的方程x2+y2=1，可得点M的轨迹方程是（x-2）2+y2=4，即点M的轨迹是以F2（2，0）为圆心、半径R=2的圆.

如图1所示，因为NP是F1M的中垂线，所以PF1=PM.又MF2=R=2，故当点P在圆F2内时，PF2=PM-MF2=PF1-2.

如图2所示，当点P在圆F2外时，PF2=PM+MF2=PF1+2.

所以PF1-PF2=PF1-（PF1±2）=±2，即PF1-PF2=2，而2

点评： 例1利用F1，M关于N点对称，得到点M的轨迹方程，再利用中垂线定义解出答案.解题过程中，要特别注意P点在圆内和圆外这两种情况.

直线关于点对称： 两条直线关于一个点对称，其实质是一条直线上任意一点关于这个点的对称点，都在另一条直线上.由此我们可以利用点关于点对称的坐标关系进行求解.

若直线l′：y=f（x）与直线l关于点A（a，b）对称，则l上的任意一点P（x，y）关于A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）在l′：y=f（x）上，可得l的方程为y=2b-f（2a-x）.

直线是曲线的一种特例，曲线关于点中心对称问题的本质与直线关于点对称类似，因此上述方法也可以用来求解曲线关于点的对称问题.

例2 如图3所示，已知两定点A（1，-1），B（5，3），一动点P在直线l：2x-y-4=0上移动，求平行四边形APBQ的另一个顶点Q的轨迹方程.

解： 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0）. AB中点C（3，1）.由题意可知P，Q两点关于点C对称，所以点Q的轨迹即为直线l：2x-y-4=0关于点C（3，1）的对称直线.

因为点P，Q关于点C对称，故C为PQ中点，由此可得x0=6-x，y0=2-y.又P（x0，y0）在直线l上，代入直线l：2x-y-4=0得2（6-x）-（2-y）-4=0，即2x-y-6=0，所以顶点Q的轨迹方程为2x-y-6=0.

点评： 例2利用平行四边形APBQ的对角线互相平分，得到P，Q关于AB中点C对称，从而由点P的轨迹方程得到点Q的轨迹方程.此外，还可以利用点P的轨迹直线l关于点C的对称图形是与直线l平行的直线l′、且点C到直线l，l′的距离相等求解.

轴对称： 即图象关于直线对称，高中阶段主要考查点关于直线对称、直线关于直线对称问题.

点关于直线对称： 两个点关于一条直线对称，那么这两个点的连线与这条直线垂直，并且两个点连线的中点在这条直线上.利用这两个关系，我们就可以找到两个点坐标之间的数量关系.

若点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则PP′的中点Q，在直线y=kx+b上，且直线PP′垂直于直线y=kx+b.通过建立方程组·k=-1，=k·+b，可求得点P′（x，y）的坐标.

特别地，当k=1时，x=y0-b，y=x0+b；当k=-1时，x=-y0+b，y=-x0+b.当对称直线的斜率k=±1时，可以用此法快速求得对称点的坐标.

例如点P（1，2）关于直线y=-x-2的对称点为P′（x，y）.将P（1，2）代入x=-y0+b，y=-x0+b.可解得P′点的坐标为（-4，-3）.

例3 双曲线x2-=1上的两点A，B关于直线y=-x+1对称，则直线AB的方程为

A. y=x B. y=x+1

C. y=x-1 D. y=x+

解： 如图4所示，因为A，B关于直线y=-x+1对称，故直线AB的斜率为1.设直线AB的方程为y=x+m，代入双曲线方程得x2-2mx-m2-2=0.结合韦达定理可得，AB的中点P的横坐标为xp==m，代入y=x+m可得yp=2m.

由直线AB关于y=-x+1轴对称可知点P（m，2m）在直线y=-x+1上，解得m=，故选D.

点评： 例3是一道典型的圆锥曲线中的轴对称问题，由对称知识分析可得：直线AB与对称轴y=-x+1垂直，且AB的中点在对称轴y=-x+1上，由此可建立方程求解.

直线关于直线对称： 两条直线关于一条直线对称，其实质是一条直线上任意一点关于对称直线的对称点，都在另一条直线上.

若直线l：y=f（x）关于直线L：y=kx+b的对称直线为l′，则l′上任意一点P′关于直线L的对称点P在直线l：y=f（x）上.

直线关于特殊直线的对称问题，如关于平行线、x轴、y轴等对称，可以利用直线斜率间的关系简化求解过程：

当直线l∥L时，则l′∥l，即kl=kl′；

当直线L为x轴时，则kl +kl′=0；

当直线L为y轴时，则kl +kl′=0.

例4 [2012年福州市高考数学模拟题（文科）第21题改编] 过点M（1，0）任作一条直线与椭圆+=1相交于A，B两点，N（4，0），联结AN，BN，求证直线AN，BN关于x轴对称.

证明： 由椭圆对称性可知，当AB⊥x轴时，∠ANM=∠BNM，即直线AN，BN关于x轴对称.

如图5所示，当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k（x-1）.联立方程y=k（x-1），2x2+y2=8，可得（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0.设直线AB交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1+x2=，x1·x2=.因为kAN==，kBN==，所以kAN+kBN===·-+8=0.由此可得∠ANM=∠BNM，直线AN，BN关于x轴对称.

点评： 要证明直线AN，BN关于x轴对称，只要证明直线AN，BN的斜率相反即可.解题时注意不要遗漏讨论AB⊥x轴的情况.

对称问题是解析几何中重要的基础知识，也是近年来高考的热点之一.高中数学中的对称问题主要分中心对称问题和轴对称问题.

中心对称： 即关于点对称，主要分为点关于点对称、直线关于点对称以及曲线关于点中心对称.

点关于点对称： 两个点关于一个点对称，这两个点连线的中点即为对称点.由此我们可寻求两个点坐标之间的关系：若点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′，则点A为PP′的中点，P′坐标为（2a-x0，2b-y0）.

例1 已知定点F1（-2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是

（A） 椭圆 （B） 双曲线

（C） 抛物线 （D） 圆

解： 设N（a，b），M（x，y）.由题意可知F1（-2，0）与M（x，y）关于点N（a，b）对称，故a=，b=.把N，代入圆O的方程x2+y2=1，可得点M的轨迹方程是（x-2）2+y2=4，即点M的轨迹是以F2（2，0）为圆心、半径R=2的圆.

如图1所示，因为NP是F1M的中垂线，所以PF1=PM.又MF2=R=2，故当点P在圆F2内时，PF2=PM-MF2=PF1-2.

如图2所示，当点P在圆F2外时，PF2=PM+MF2=PF1+2.

所以PF1-PF2=PF1-（PF1±2）=±2，即PF1-PF2=2，而2

点评： 例1利用F1，M关于N点对称，得到点M的轨迹方程，再利用中垂线定义解出答案.解题过程中，要特别注意P点在圆内和圆外这两种情况.

直线关于点对称： 两条直线关于一个点对称，其实质是一条直线上任意一点关于这个点的对称点，都在另一条直线上.由此我们可以利用点关于点对称的坐标关系进行求解.

若直线l′：y=f（x）与直线l关于点A（a，b）对称，则l上的任意一点P（x，y）关于A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）在l′：y=f（x）上，可得l的方程为y=2b-f（2a-x）.

直线是曲线的一种特例，曲线关于点中心对称问题的本质与直线关于点对称类似，因此上述方法也可以用来求解曲线关于点的对称问题.

例2 如图3所示，已知两定点A（1，-1），B（5，3），一动点P在直线l：2x-y-4=0上移动，求平行四边形APBQ的另一个顶点Q的轨迹方程.

解： 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0）. AB中点C（3，1）.由题意可知P，Q两点关于点C对称，所以点Q的轨迹即为直线l：2x-y-4=0关于点C（3，1）的对称直线.

因为点P，Q关于点C对称，故C为PQ中点，由此可得x0=6-x，y0=2-y.又P（x0，y0）在直线l上，代入直线l：2x-y-4=0得2（6-x）-（2-y）-4=0，即2x-y-6=0，所以顶点Q的轨迹方程为2x-y-6=0.

点评： 例2利用平行四边形APBQ的对角线互相平分，得到P，Q关于AB中点C对称，从而由点P的轨迹方程得到点Q的轨迹方程.此外，还可以利用点P的轨迹直线l关于点C的对称图形是与直线l平行的直线l′、且点C到直线l，l′的距离相等求解.

轴对称： 即图象关于直线对称，高中阶段主要考查点关于直线对称、直线关于直线对称问题.

点关于直线对称： 两个点关于一条直线对称，那么这两个点的连线与这条直线垂直，并且两个点连线的中点在这条直线上.利用这两个关系，我们就可以找到两个点坐标之间的数量关系.

若点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则PP′的中点Q，在直线y=kx+b上，且直线PP′垂直于直线y=kx+b.通过建立方程组·k=-1，=k·+b，可求得点P′（x，y）的坐标.

特别地，当k=1时，x=y0-b，y=x0+b；当k=-1时，x=-y0+b，y=-x0+b.当对称直线的斜率k=±1时，可以用此法快速求得对称点的坐标.

例如点P（1，2）关于直线y=-x-2的对称点为P′（x，y）.将P（1，2）代入x=-y0+b，y=-x0+b.可解得P′点的坐标为（-4，-3）.

例3 双曲线x2-=1上的两点A，B关于直线y=-x+1对称，则直线AB的方程为

A. y=x B. y=x+1

C. y=x-1 D. y=x+

解： 如图4所示，因为A，B关于直线y=-x+1对称，故直线AB的斜率为1.设直线AB的方程为y=x+m，代入双曲线方程得x2-2mx-m2-2=0.结合韦达定理可得，AB的中点P的横坐标为xp==m，代入y=x+m可得yp=2m.

由直线AB关于y=-x+1轴对称可知点P（m，2m）在直线y=-x+1上，解得m=，故选D.

点评： 例3是一道典型的圆锥曲线中的轴对称问题，由对称知识分析可得：直线AB与对称轴y=-x+1垂直，且AB的中点在对称轴y=-x+1上，由此可建立方程求解.

直线关于直线对称： 两条直线关于一条直线对称，其实质是一条直线上任意一点关于对称直线的对称点，都在另一条直线上.

若直线l：y=f（x）关于直线L：y=kx+b的对称直线为l′，则l′上任意一点P′关于直线L的对称点P在直线l：y=f（x）上.

直线关于特殊直线的对称问题，如关于平行线、x轴、y轴等对称，可以利用直线斜率间的关系简化求解过程：

当直线l∥L时，则l′∥l，即kl=kl′；

当直线L为x轴时，则kl +kl′=0；

当直线L为y轴时，则kl +kl′=0.

例4 [2012年福州市高考数学模拟题（文科）第21题改编] 过点M（1，0）任作一条直线与椭圆+=1相交于A，B两点，N（4，0），联结AN，BN，求证直线AN，BN关于x轴对称.

证明： 由椭圆对称性可知，当AB⊥x轴时，∠ANM=∠BNM，即直线AN，BN关于x轴对称.

如图5所示，当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k（x-1）.联立方程y=k（x-1），2x2+y2=8，可得（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0.设直线AB交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1+x2=，x1·x2=.因为kAN==，kBN==，所以kAN+kBN===·-+8=0.由此可得∠ANM=∠BNM，直线AN，BN关于x轴对称.

点评： 要证明直线AN，BN关于x轴对称，只要证明直线AN，BN的斜率相反即可.解题时注意不要遗漏讨论AB⊥x轴的情况.