沈新权

在高考复习的过程中，要提高解题能力，做题是必经之道.但是，做了题，甚至做了大量的数学题，解题能力是不是就一定能够提高呢？

的确，“题海战术”可以提高解题熟练程度，但要提升能力，还要靠解题后的反思与总结.下面，我们通过对2013年高考数学浙江卷（理科）第7题的解答和反思，给同学们提供一些解题前后思考和总结的路径与线索.

寻找解题思路

例 [2013年高考数学浙江卷（理科）第7题] 设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

这是一个以三角形中向量数量积的最小值问题为背景的题目.对于选择题，要判断三角形的形状，我们常常可以通过排除法得到答案.但对这道题而言，一一代入费时较多，不是一个好方法.因此，我们需要尝试从题目的条件出发寻找解题思路.

题目的实质就是当点P在点P0的位置时，数量积·取得最小值.要由此判断△ABC的形状，首先要考虑如何计算数量积·.当点P变化时，向量，的长度以及它们的夹角都在变化，所以直接计算·可能会比较困难.

求解平面向量问题一般有三种方法：坐标法、向量法和几何法.我们首先考虑用最常见的坐标法，通过建立直角坐标系，利用点P，B，C的坐标来计算.

解法一： 如图1所示，以点A为原点、AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.

设△ABC的三边BC，AC，AB的长度分别为a，b，c，则B（c，0），C（bcosA，bsinA）.设P点坐标为（x，0） （0≤x≤c），则·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因为0≤x≤c，故由二次函数性质可知，当x=时，·取到最小值.

因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化简得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

点评： 借助直角坐标系是求解向量数量积的一种常用方法.通过设定点的坐标，我们把几何关系转化为点坐标之间的代数关系，这就降低了思维的难度.

答案是求出来了，我们的思考却不能就此终止.以上解答虽然思路比较简单，但还需要用余弦定理来判断△ABC的形状，运算量较大.有没有其他的考虑问题的角度呢？

变换解题角度

在计算两个向量的数量积时，我们还会经常使用向量法.如果能把两个向量转化为其他特殊向量（垂直或共线的向量）的和或差，就更容易计算数量积.

解法二： 过点C作CH⊥AB，垂足为H，则·=·（+）=·.要使·最小，则与方向必相反，点P必在点H与点B之间，如图2所示.

设HB=t，PB=x （0≤x≤t），则·=·=-x（t-x）=x2-tx，当且仅当x=时，·取到最小值-，此时P点为HB的中点.因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值，此时P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H为AB的中点.又CH⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 把转化为与之和，使得·等价转化为·.从而得出若·取得最小值，则与反向，这种转化是本题的重点.

那么，这道题目还有没有值得我们再思考的地方呢？我们发现，不管点P变化到什么位置，-=是恒成立的.从问题的运动变化中寻求不变量是我们思考数学问题的一种常见的方式，所以如果我们从已知条件·≥·直接入手，结合数学中“和、差、积”相互转化的方法，可将·≥·等价转化为（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，结合向量的几何意义可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均过BC的中点，我们想到用几何法求解.

解法三： ·≥·等价于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因为-=-=，所以等价于（+）2≥（+）2.

如图3所示，设D为BC的中点，则+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因为P0B=AB，所以当PB=AB即点P为AB的中点时，P0为PB的中点.又D为BC中点，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 根据条件·≥·，我们发现其充要条件是（+）2≥（+）2，这为解决问题提供了思路.结合向量的几何意义思考问题，正是这个解法的本质所在.

扩大解题成果

经过上述思考，我们可以总结出，对于求解向量数量积的最值问题，坐标法（解法一）、向量法（解法二）、几何法（解法三）可以作为解题的思考方向.这三种方法还可以推广到一般的向量问题，因为向量本身就是数形结合的产物，既具有代数的抽象与严谨，又不失几何的形象与直观.

在解题前后，如果我们经常思考题目涉及的知识和方法，总结解决这类题型的思考方向，就能够达到做一道题会一类题的效果，思维能力也会因此得到不断的提升.

在高考复习的过程中，要提高解题能力，做题是必经之道.但是，做了题，甚至做了大量的数学题，解题能力是不是就一定能够提高呢？

的确，“题海战术”可以提高解题熟练程度，但要提升能力，还要靠解题后的反思与总结.下面，我们通过对2013年高考数学浙江卷（理科）第7题的解答和反思，给同学们提供一些解题前后思考和总结的路径与线索.

寻找解题思路

例 [2013年高考数学浙江卷（理科）第7题] 设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

这是一个以三角形中向量数量积的最小值问题为背景的题目.对于选择题，要判断三角形的形状，我们常常可以通过排除法得到答案.但对这道题而言，一一代入费时较多，不是一个好方法.因此，我们需要尝试从题目的条件出发寻找解题思路.

题目的实质就是当点P在点P0的位置时，数量积·取得最小值.要由此判断△ABC的形状，首先要考虑如何计算数量积·.当点P变化时，向量，的长度以及它们的夹角都在变化，所以直接计算·可能会比较困难.

求解平面向量问题一般有三种方法：坐标法、向量法和几何法.我们首先考虑用最常见的坐标法，通过建立直角坐标系，利用点P，B，C的坐标来计算.

解法一： 如图1所示，以点A为原点、AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.

设△ABC的三边BC，AC，AB的长度分别为a，b，c，则B（c，0），C（bcosA，bsinA）.设P点坐标为（x，0） （0≤x≤c），则·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因为0≤x≤c，故由二次函数性质可知，当x=时，·取到最小值.

因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化简得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

点评： 借助直角坐标系是求解向量数量积的一种常用方法.通过设定点的坐标，我们把几何关系转化为点坐标之间的代数关系，这就降低了思维的难度.

答案是求出来了，我们的思考却不能就此终止.以上解答虽然思路比较简单，但还需要用余弦定理来判断△ABC的形状，运算量较大.有没有其他的考虑问题的角度呢？

变换解题角度

在计算两个向量的数量积时，我们还会经常使用向量法.如果能把两个向量转化为其他特殊向量（垂直或共线的向量）的和或差，就更容易计算数量积.

解法二： 过点C作CH⊥AB，垂足为H，则·=·（+）=·.要使·最小，则与方向必相反，点P必在点H与点B之间，如图2所示.

设HB=t，PB=x （0≤x≤t），则·=·=-x（t-x）=x2-tx，当且仅当x=时，·取到最小值-，此时P点为HB的中点.因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值，此时P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H为AB的中点.又CH⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 把转化为与之和，使得·等价转化为·.从而得出若·取得最小值，则与反向，这种转化是本题的重点.

那么，这道题目还有没有值得我们再思考的地方呢？我们发现，不管点P变化到什么位置，-=是恒成立的.从问题的运动变化中寻求不变量是我们思考数学问题的一种常见的方式，所以如果我们从已知条件·≥·直接入手，结合数学中“和、差、积”相互转化的方法，可将·≥·等价转化为（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，结合向量的几何意义可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均过BC的中点，我们想到用几何法求解.

解法三： ·≥·等价于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因为-=-=，所以等价于（+）2≥（+）2.

如图3所示，设D为BC的中点，则+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因为P0B=AB，所以当PB=AB即点P为AB的中点时，P0为PB的中点.又D为BC中点，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 根据条件·≥·，我们发现其充要条件是（+）2≥（+）2，这为解决问题提供了思路.结合向量的几何意义思考问题，正是这个解法的本质所在.

扩大解题成果

经过上述思考，我们可以总结出，对于求解向量数量积的最值问题，坐标法（解法一）、向量法（解法二）、几何法（解法三）可以作为解题的思考方向.这三种方法还可以推广到一般的向量问题，因为向量本身就是数形结合的产物，既具有代数的抽象与严谨，又不失几何的形象与直观.

在解题前后，如果我们经常思考题目涉及的知识和方法，总结解决这类题型的思考方向，就能够达到做一道题会一类题的效果，思维能力也会因此得到不断的提升.

在高考复习的过程中，要提高解题能力，做题是必经之道.但是，做了题，甚至做了大量的数学题，解题能力是不是就一定能够提高呢？

的确，“题海战术”可以提高解题熟练程度，但要提升能力，还要靠解题后的反思与总结.下面，我们通过对2013年高考数学浙江卷（理科）第7题的解答和反思，给同学们提供一些解题前后思考和总结的路径与线索.

寻找解题思路

例 [2013年高考数学浙江卷（理科）第7题] 设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则

（A） ∠ABC=90° （B） ∠BAC=90°

（C） AB=AC （D） AC=BC

这是一个以三角形中向量数量积的最小值问题为背景的题目.对于选择题，要判断三角形的形状，我们常常可以通过排除法得到答案.但对这道题而言，一一代入费时较多，不是一个好方法.因此，我们需要尝试从题目的条件出发寻找解题思路.

题目的实质就是当点P在点P0的位置时，数量积·取得最小值.要由此判断△ABC的形状，首先要考虑如何计算数量积·.当点P变化时，向量，的长度以及它们的夹角都在变化，所以直接计算·可能会比较困难.

求解平面向量问题一般有三种方法：坐标法、向量法和几何法.我们首先考虑用最常见的坐标法，通过建立直角坐标系，利用点P，B，C的坐标来计算.

解法一： 如图1所示，以点A为原点、AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.

设△ABC的三边BC，AC，AB的长度分别为a，b，c，则B（c，0），C（bcosA，bsinA）.设P点坐标为（x，0） （0≤x≤c），则·=（c-x，0）·（bcosA-x，bsinA）=x2-（bcosA+c）x+bccosA.因为0≤x≤c，故由二次函数性质可知，当x=时，·取到最小值.

因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值.又P0B=AB=，所以x==c-c=c，化简得cosA=，代入cosA=，解得a=b，即AC=BC.

点评： 借助直角坐标系是求解向量数量积的一种常用方法.通过设定点的坐标，我们把几何关系转化为点坐标之间的代数关系，这就降低了思维的难度.

答案是求出来了，我们的思考却不能就此终止.以上解答虽然思路比较简单，但还需要用余弦定理来判断△ABC的形状，运算量较大.有没有其他的考虑问题的角度呢？

变换解题角度

在计算两个向量的数量积时，我们还会经常使用向量法.如果能把两个向量转化为其他特殊向量（垂直或共线的向量）的和或差，就更容易计算数量积.

解法二： 过点C作CH⊥AB，垂足为H，则·=·（+）=·.要使·最小，则与方向必相反，点P必在点H与点B之间，如图2所示.

设HB=t，PB=x （0≤x≤t），则·=·=-x（t-x）=x2-tx，当且仅当x=时，·取到最小值-，此时P点为HB的中点.因为·≥·，所以当点P与P0重合时，·取到最小值，此时P0B=PB==HB. 又P0B=AB，所以HB=AB，即H为AB的中点.又CH⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 把转化为与之和，使得·等价转化为·.从而得出若·取得最小值，则与反向，这种转化是本题的重点.

那么，这道题目还有没有值得我们再思考的地方呢？我们发现，不管点P变化到什么位置，-=是恒成立的.从问题的运动变化中寻求不变量是我们思考数学问题的一种常见的方式，所以如果我们从已知条件·≥·直接入手，结合数学中“和、差、积”相互转化的方法，可将·≥·等价转化为（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2，结合向量的几何意义可知-=-=，所以（+）2≥（+）2.由于+，+均过BC的中点，我们想到用几何法求解.

解法三： ·≥·等价于（+）2-（-）2≥（+）2-（-）2.因为-=-=，所以等价于（+）2≥（+）2.

如图3所示，设D为BC的中点，则+=2，+=2，所以2≥2，即PD≥P0D，所以必有P0D⊥AB.

因为P0B=AB，所以当PB=AB即点P为AB的中点时，P0为PB的中点.又D为BC中点，所以PC∥P0D，即PC⊥AB，所以△ABC为等腰三角形，AC=BC.

点评： 根据条件·≥·，我们发现其充要条件是（+）2≥（+）2，这为解决问题提供了思路.结合向量的几何意义思考问题，正是这个解法的本质所在.

扩大解题成果

经过上述思考，我们可以总结出，对于求解向量数量积的最值问题，坐标法（解法一）、向量法（解法二）、几何法（解法三）可以作为解题的思考方向.这三种方法还可以推广到一般的向量问题，因为向量本身就是数形结合的产物，既具有代数的抽象与严谨，又不失几何的形象与直观.

在解题前后，如果我们经常思考题目涉及的知识和方法，总结解决这类题型的思考方向，就能够达到做一道题会一类题的效果，思维能力也会因此得到不断的提升.