张远亮，张立民，唐啓东

（1 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川成都610031；2 四川内江鸿强机床有限公司，四川成都641100）

重新将表达式（2）写成如下形式：

留数矩阵为：

基于模态参预的激励自由度有效性研究

张远亮1，张立民1，唐啓东2

（1 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川成都610031；2 四川内江鸿强机床有限公司，四川成都641100）

为研究模态试验激励自由度有效性问题，分3种工况改变激振器输入力相位，对某城际动车组进行静态台架激振器试验，得到输入力及响应加速度信号。根据模态分析理论，利用Test.Lab软件识别车体典型模态参数，并同时得到各阶模态留数矩阵。根据模态参预的定义，得到不同工况下激振力对各阶模态的模态参预。最后根据模态参预矩阵对激励自由度有效性进行判定，同时给出车体1阶垂直、弯曲及车体1阶扭转模态的最佳激励方式，并依据模态参预对模态参数估计的准确性进行简单说明。

激励自由度；城际动车组；模态参预；最佳激励方式

模态参预［1］（Modal Participation）是研究给定频段上各模态的相对重要性以及所选择的输入自由度有效性的工具。模态参预可以提供选择最有效激励自由度的信息，同时有助于其他模态模型检验方法的正确性进行评估。如果测试过程中某阶模态被较好的激励，其模态参预值较大，对模态参数的估计就更准确。

文中分3种工况改变激振器输入力相位，对某城际车组进行静态台架激振器试验，得到输入力及响应加速度信号。根据模态分析理论，利用模态分析软件Test.Lab软件识别车体典型模态参数，并同时得到各阶模态留数矩阵。根据模态参预的定义，得到不同工况下激振力对各阶模态的模态参预值。根据模态参预矩阵对激励自由度有效性进行判定，同时给出车体1阶垂弯及车体1阶扭转模态的最佳激励方式，并依据模态参预对模态参数估计的准确性进行了简单说明。

1 理 论

1.1 模态分析［1-3］

对应一个多自由度系统，其运动方程可表示为如下形式：

其中［M］，［C］，［K］，｛f（t）｝，｛x（t）｝分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，力向量和响应向量。经拉式变换，并假定初始位移和初始速度为零，则得：

式中［Z（p）］是动刚度矩阵；｛X（p）｝是位移向量；｛F（p）｝为力向量。

传递函数为：

式中adj（［Z（p）］）为［Z（p）］的伴随矩阵，|Z（p）|为［Z（p）］的行列式。

对于N自由度系统，方程有N对复共轭的特征根：

每个特征值对应一个特征向量：

这些向量使得系统方程式中的力向量｛F（p）｝等于零：

因为λr和λ*r（r＝1，2，…，N）是系统方程|Z（p）|的根，故将传递函数公式（2）改写成如下形式：

其中E为常数。

进一步写成留数形式：

其中［A］r和［A项表示留数。根据留数定理有：

将式（8）代入式（9），可得：

Pr是一个与极点有关的常数。因此式（9）成为：

重新将表达式（2）写成如下形式：

因为λr是特征方程的一个根，所以有：

考虑adj（［Z（λr）］）的任意一列第i列，则有：

由［Z（λr）］［Φ］r＝［0］，认为｛adj（［Z（λr）］）｝i的任意列向量都与｛φ｝r成比例，得出矩阵adj（［Z（λr）］）的秩等于1，由此知道矩阵的各行也成比例。因此伴随矩阵满足下列条件：

根据Maxwell互易性，系统质量、刚度、阻尼矩阵是对称的，因此［Z（p）］及其伴随矩阵也是对称的，即adj（［Z（λr）］）的各行均与第r阶模态向量成比例：

Rr是与［Φ］r有关的一个常数。

将此式代入式（12），并记Qr＝PrRr，则得：

留数矩阵为：

1.2 模态参预

模态参预［1-3］是研究频段上各模态的相对重要性及所选择的输入自由度有效性的一个工具。模态参预定义为各个输入自由度激励下各阶频响函数的留数模之和。即：

其中Aoir是输出o、输入i、模态r的留数。模态参预列表如下：

MPir表示为第r阶模态在自由度i激励所引起的响应中所占有的分量。对不同自由度i而言，比较MPir可以得到第r阶模态是如何由各个激励点相对地激励出来。

表1中总模态这一行表示不同激励自由度在总输出中的分布估计。就不同模态比较MPir项，可以分析激励点i对哪阶模态激励最好；总输入这一列是各阶模态在所有激励所引起的总响应中所占有比例的估计。

根据模态参预，可以选择最有效的激励自由度。

2 工程实例分析

对某城际动车组进行静态台架激振器试验，测试其模态参数，即模态固有频率、模态振型等。将车体分为7个截面，分别是端部截面、空气弹簧处截面，以及中部3个截面。每个截面布置4个传感器［4］，分别测试车体垂向和横向加速度。在车体4个对角位置安装激振器，分不同激励工况对车体进行正弦扫频，激励频率范围0～50 Hz。测点布置、现场试验及试验工况如图1，图2，表2所示。

在不同工况下，以各测点频响函数FRF为原始数据，利用Test.Lab软件中Poly MAX模块［3，5］，选取32阶计算模态阶数，默认自动选取稳态点，识别车体50 Hz内典型模态参数。结果见表3～表5。

车体典型模态振型如图3～图6。

根据模态分析理论［1］，计算出各阶模态固有频率及模态振型向量，故可计算模态留数矩阵，根据公式（20）计算不同工况下所有激励自由度的模态参预。计算结果已做归一化处理。如表6～表8。

由表6可知，工况1中，总输入在车体1阶菱形的比例很小，在车体1阶垂直、弯曲的比例很大，工况1很容易激发车体1阶垂直、弯曲模态，对车体1阶菱形模态激励效果较差。根据车体1阶菱形振型可知，车体端部振动变形较小，故工况1中F1、F2、F3和F4可能位于其模态节点上，才导致对车体1阶菱形模态激励较差；由总模态可以看出，工况1中F1、F4对车体模态激发较好，是有效的。

由表7可知，工况2中，总输入在车体1阶扭转和2阶菱形中比例相当，在车体1阶菱形中很小，工况2较容易激发车体1阶扭转和2阶菱形，不容易激发车体1阶菱形。同工况1中一样，F1、F2、F3和F4可能位于车体1阶菱形模态节点上，才导致对车体1阶菱形模态激励较差；由总模态可以看出，工况2中F1和F3对车体模态激发较好，是有效的；同时，工况2中没有激发出车体1阶垂直、弯曲模态。

由表8可知，工况3中，总输入在车体1阶扭转和2阶菱形中比例相当。工况3较容易激发车体1阶扭转和2阶菱形；由总模态可以看出，工况3中F1和F2对车体模态激发较好，是有效。

在总输入一列中，工况1及工况2的车体1阶菱形总输入值很低，各个激励点对车体1阶菱形激励效果都很差。根据车体1阶菱形振型可知，车体端部振动变形较小，中部振动变形较大，各个激励点可能位于车体1阶菱形变形的模态节点上，因此相应的模态参数估计的精度可能很低。

根据对称性，总模态一行大小应基本一致。但工况1及工况2中F2的模态参预值明显小于其他3组。检查F2力信号，发现是其激励不良导致模态参预明显偏小。F2时间历程信号如图7、图8。

3 结 论

通过上述分析可得到如下结论：

（1）为激发出车体1阶垂直、弯曲模态，可以选择4点同向激励，即采用工况1中的激励方式。

（2）为激发出车体1阶扭转模态，可以选择对角同向激励，即采用工况2中的激励方式。

（3）车体1阶菱形主要是车体中部变形，两端部是可能的模态节点，从工况1～工况2可以看出，端部激励时模态参预值很小，各个激励点对车体1阶菱形激励效果都很差，相应的模态参数估计得精度可能很低，可以考虑在车体中部激励。

（4）若要对某阶模态进行准确识别，尽量不要选择模态参预值很小的激励点信息，这样可以改善模态参数识别结果的精度。同时，若总输入所占的比例很低，则所有激励点对该阶模态激励很差，相应的模态参数估计的精确性较低。

［1］ Ward Heylen，Stefan Iammens，Paul Sas.（白化同，郭继忠译）.模态分析理论与试验［M］.北京：北京理工大学出版社，2001.

［2］ Thory and Background［M］.LMS.Software Corporation.

［3］ CADA N Modal/Analysis User Manual［M］.LMS－International，Leuven.

［4］ TB/T 3155－2005，机车车辆动力学性能台架试验方法［S］.

［5］ LMS.Test.Lab 9A Manuals［M］.LMS.Software Corporation.

Research on the Effectiveness of Excitation DOF Based on Modal Participation

ZHANG Yuanliang1，ZHANG Limin1，TANG Qidong2
（1 State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031 Sichuan，China；2 Sichuan Neijiang Hongqiang Machine Tools Co.，Ltd.，Chengdu 641100 Sichuan，China）

To study the effectiveness of excitation DOF in modal experiments，intercity rail has been done exciter experiment on the shelf statically with changing exciter input power phase 3 types of conditions，input force and response acceleration signal have been obtained.According to modal analysis theory，typical modal parameters of the carbody were identified with software Test.Lab，and modal residue matrix has also been obtained.According to the definition of modal participation，each modal participation with different exciting conditions has been received.Finally，the effectiveness of excitation DOF was judged based on modal participation matrix.Simultaneously，the best excitation mode of first-order vertical bending and twisting modal was given.Accuracy of modal parameter estimation was also introduced simply by modal participation.

excitation DOF；intercity rail；modal participation；the best excitation mode

U260.11＋1

A

10.3969/j.issn.1008－7842.2014.06.18

1008－7842（2014）06－0074－04

8—）男，硕士研究生（

2014－04－28）