☉江苏省海安县李堡镇初级中学刘东升

经历问题生成，深刻理解教材*
——人教八上“每日一题”的命题实践与思考

☉江苏省海安县李堡镇初级中学刘东升

一、写在前面

华东师大钟启泉教授在文1中认为：“‘减负’不是单纯的技术性问题，也不是单纯的行政问题.但这不等于说，学校和教师层面无可奈何、无能为力.”并就教师系统开发作业提出要求：“对于一线教师而言，则在于如何通过‘练习’的系统开发，把自身的教育、教学工作从动物训练的层面提升到真正人性的高度.”受此启发，笔者在2013~2014学年第一学期教学期间，从教材（人教版八年级上册［2］）例习题出发，设计开发了“每日一题”活动，每天都安排时间让学生限时独立完成，并及时批阅、评价（分A+、A、B、C、D五个等级），而且当日发布博客（http：//blog.sina.com.cn/s/articlelist_3514720663_14_1.html），坚持一学期，共开展81次“每日一题”活动，引发了不少同行、博友的关注和转载.本文结合典型的“每日一题”命题案例，解读命题意图，希望与更多的同行交流研讨.

二、经历问题生成，指向学会解题

1.将简单问题自然生长，追求成果扩大

例1（编号20131120，注：编号是按学生练习的日期来设置的，编号“20131120”是指2013年11月20日练习，下同）已知a＋b＝5，ab＝3，求下列各式的值.

改编来源：教材第112页，第7题改编.

命题意图：教材习题只要学生求“（2）a2＋b2”，增加第（1）问的目的在于，让求解有困难的学生有台阶可上，而增加出第（3）、（4）问的目的就是将问题自然生长，追求成果扩大，做一题、会一类、通一片.

例2 （编号20130920）如图1，已知，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2）.

（1）写出点B的坐标；

（2）若在x轴上有一点P，满足S△BOP＝2，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于Q点，试比较OQ与BP的大小关系；

（4）若点M（0，m），当△AMB的周长最小时，求m的值.

改编来源：人教八上教材第71页，练习2改编.

图1

命题意图：这道题没有仅仅局限于对平面直角坐标系的简单认识，而是引入面积探究、轴对称最小值的研究.有人曾把学习比喻成是一次森林之旅，上题其实也可看成是从坐标系下的对称探究出发，层层递进，有意思的是，最后一问的答案富含诗意：回到原点；而第（3）问是在第（2）问的基础上递进式展开的，比较大小的方法很多，学生可以直观比较、发现，在八年级下学期随着勾股定理等知识学完，还有不同的方法，有点眺望后续知识的意味；需要指出的是，笔者开展的“每日一题”都是从教材例习题出发，而这些例习题的原题在新授课期间已独立练习，所以每日一题跟新授进度并不是同步的，这样就有复习前面所学知识的功能.

2.将较难问题铺设台阶，指导破题策略

例3 （编号20130913）如图2，在△ABC中，AD是它的角平分线.

（1）若AB＝8cm，AC＝5cm，点D到AC的距离是2cm，求△ACD的面积.

图2

改编来源：人教八上教材56页，第12题改编.

例4 （编号20131111）已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数.

（3）求22m＋5n和24m＋15n的值；

（4）你能再设计一个问题吗？

改编来源：人教八上教材第106页，第13题改编.

命题意图：教材上是直接求“23m＋10n的值”，而且此前教材上的例题并没有相关的讲解训练，一般学生完成是有一定难度的.笔者设计了前两问，铺设台阶，方便思考，也是传递这类问题的破题策略.而且最后还增设一个开放性问题，让学生尝试提出问题，加深对这类问题的理解，从学生的解答情况来看，大部分学生都能获得A+的评价（顺便指出，本文“每日一题”均有学生解答的扫描件发布博客上，限于篇幅不作列举）.

3.将相近问题归类呈现，促进举一反三

例5 （编号20131115）计算：

通过上述练习后，你能积累怎样的运算经验？

改编来源：人教八上教材第111页，例5改编.

命题意图：根据教学经验，至少有一半及以上的学生在初学这种类型问题的运算时，容易出现“重组失败”、“计算出错”等问题，所以选择把可能的一些符号变化都集中在一起，归类呈现，让学生在计算中辨析和积累运算经验.在计算之后，还要求学生写出积累的经验，如有学生写道：“有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式”、“运算时要注意有目的地变形，以提高正确率”、“添括号时要注意符号”等.

例6 （编号20130906）如图3，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.

（1）作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.求证PD＝PE＝PF.

（2）作射线AP，AP平分∠BAC吗？请判断并说明理由.

（3）练习（1）、（2）后，你有什么发现？

图3

（4）再看看第50页的“练习2”，你能总结怎样的经验？

改编来源：人教八上教材50页，例题改编.

命题意图：第（1）问的本质就是例题，主要训练角平分线的性质的推理格式.第（2）问是训练角平分线的判定的推理格式.第（3）问是引导发现三角形的角平分线原来交于一点.这是对三角形中一种奇异性的证明，换言之，若改成文字命题“求证：三角形的三条角平分线交于一点.”能给出完整证明（包括画图、已知、求证、证明）的学生就少很多了.第（4）问是结合教材上的“练习2”，追求解题境界“做一题·会一类·通一片”，这样再练习与三角形内、外角平分线的交点问题就没有问题了.

三、深刻理解教材，引导研究视角

1.研究教材例习题的设置意图，确保训练的效果例7 （编号20131231）（1）计算：

改编来源：人教八上教材第148页，“阅读与思考”改编.

命题意图：不少学生（包括有些教师）对教材上的“阅读与思考”、“数学活动”等栏目往往不够重视，挖掘不够，为了引起大家的关注，拓展对教材研究的视角，特别围绕“容器中的水能倒完吗”开发了一道分数规律运算的问题.从形式上说，该题有班级人数信息（笔者班上恰39名学生）、年份更替等元素体现；从数学味来说，这道题体现了不同数学运算的奇异现象，数学上奇异现象是很多的，正是对很多奇异美的好奇与兴趣，促进了数学的研究和发展；最后一问渗透了高中数学、大学数学的极限意识或思想，最好回答当然是“随着n的不断增大，将越来越趋近1”.

2.关注教材例习题的前后呼应，对比解法的变化

例8 （编号20130919）如图4，已知△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.

（1）求证PA＝PB＝PC；

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？

（3）能否以点P为圆心画一个圆，使⊙P同时过A，B，C三点？

（4）由上面的练习你能得出什么结论？

改编来源：人教八上教材第66页，第13题改编.

命题意图：优秀的导游在黄山上导游时，总会不时提醒游客向远处眺望风景，因为一会儿山路之后，可能就会到达那个风景，在这个意义上，这道题在第（3）问，就是想带领学生一起眺望一下九年级圆的有关知识.此外，教材上有很多例习题有着很好的前后关联、呼应，上面的“例6”可以看成是靠得很“近”的习题呼应；还有些离远很“远”的呼应，如人教版七年级上册“图形初步知识”的练习曾有度量并比较平行四边形的边长的问题，而这会对应着八年级平行四边形的学习；当然，还有些例习题可能还会蕴含着更丰富的、高等的数学性质（如“面积一定时，求围成矩形的周长最小值问题”等）.

3.思辨教材例习题的解法表达，追求火热的思考

例9 （编号20131225）如图5，“丰收1号”小麦的试验田的边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田的边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为F1、F2.

图4

图5

（1）F1＝________，F2＝________.（用含a的式子表示）

（4）当a＝39时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

改编来源：人教八上教材第136~137页，例3改编.

命题意图：教材上对这道例题的表达显得繁杂，教学时不少学生表示难懂，这道“每日一题”就是在此背景下设计出来的.笔者增设出“F1，F2”就是想使问题的表达和演算更简明、方便，通过第（2）问帮助学生突破难点之一（比较两块小麦试验田的单位面积产量）；第（3）问求两块试验田的单位面积产量之比，到这里可以发现，最初增设出“F1，F2”就是为后续探究时表达的简明，而这恰恰也是数学的又一特征：“为了有助于‘人类思想表达的经济化’（这里经济化是指变得简洁，省事），数学使用了比其他任何科学都要多得多的术语和记号.”［3］为了呼应教材例题的问题“高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍”，也为了加强第（3）问的辨析和利用，笔者结合班级学生数39，设计了第（4）问，从学生的答题来看，利用了（3）中的结论的学生完成得既准确又快捷，充分体现了“简单的计算方法往往需要付出逻辑思维的代价”［4］这一道理.

四、写在最后

章建跃教授在文5中指出，“教材不同于一般出版物，教材是要经得起反复读的”，“教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的.”一学期来，笔者开发的“每日一题”全部是基于教材例习题开发，还是想引导广大同行重视对教材的研究.此外，随着网络的普及，网上随处可见历年中考试题、各地区期末、期中、月考卷，我们坚持独立命题也是一种坚守和抵制：坚守对教材的研究，抵制随手复制以及简单的“拿来主义”.

1.钟启泉.减负背后的思考［N］.光明日报，2013-08-28.

2.人教社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书·数学（八年级上册）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.［日］米山国藏，著.数学的精神、思想和方法［M］.毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.

4.史宁中，主编.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题［M］.北京：高等教育出版社，2013.

5.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3~5）.FH

*本文为江苏省教育科学“十二五”规划2013年度重点资助课题《“自学·议论·引导”教学生态中的学生发展质态研究》（课题编号为E-a/2013/001）阶段性成果之一，课题主持人为李庾南、王笑君.本文作者刘东升为课题组核心成员.