☉重庆市第十八中学 胡 蓉

关于反比例函数的几个结论的探索及应用

☉重庆市第十八中学 胡 蓉

近几年，数学中考越来越关注下面提到的定理和结论的考查，本文拟对其进行初步地探索，以抛砖引玉，希望引起大家的重视.

结论3： 设直线AB分别与x轴、y轴相交于点M、N，则△ACM≌△NDB.

同理，AC=DN.

又∠ACM=∠NDB=90°，所以△ACM≌△NDB.证毕.

结论4：AM=BN.

证明：由△ACM≌△NDB⇒AM=BN.证毕.

结论5：AN=BM=CD.

证明：AM=BN⇒AM+AB=BN+AB⇒AN=BM.

因为CM∥BD，CM=BD，所以四边形CDBM是平行四边形，所以BM=CD.故AN=BM=CD.证毕.

结论6：设直线AB与直线OE相交于点F，则FA=FB，FM=FN.

证明：设直线OE与直线CD相交于点G，则CG=DG.

又因为AM=BN，所以FM=FN.证毕.

例1（2009年山东威海中考）一次函数y=ax+b的图像分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数的图像相交于点A、B.过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C、E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于点K，连接CD.

②由文中的结论4，可得AN=BM.

（2）若将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的点D，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值.

由OA=2，AB=4，得OC=4，CF=1，所以点F的坐标为（4，1）.

（2）易证∠EGD=△DCF=90°，∠GED=∠CDF，所以△EGD∽△DCF.

从上述解答中我们发现，若将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D点，则OD=2AE.

根据结论4和结论5，CA=DB，CB=DA.

由切割线定理，得CE2=CA·CB，DF2=DB·DA，所以CE=DF.

过点D作DH∥CE，交EF于点H，则∠DHG=∠CEG.因为∠DHG+∠DHF=180°，而弦切角∠CEG+∠DFH=180°，所以∠DHF=∠DFH，所以DH=DF=CE.又因为∠CGE=∠DGH，所以△CGE≌△DGH，所以CG=DG，所以CG-AC=DG-BD，所以AG=BG，即点G是线段AB的中点.

这类问题在近几年的中考中已经成为一道靓丽的风景线.本文的定理以及根据定理得出的若干结论并不能概括此类问题的全部特点，但窥一斑而知其全貌，我们已经领略到此类问题十分丰富的内涵，引领学生继续探索新的结论，对开发智力、培养能力一定会有不同寻常的作用.