吕 明 马余刚 张国强 陈金辉 方德清 曹喜光 周铖龙 何万冰 代智涛 刘应都 王婷婷

1（中国科学院上海应用物理研究所 嘉定园区 上海 201800）

2（中国科学院大学 北京 100049）

1 A GeV下Au+Au反应中的径向流的Blast-wave方法分析

吕 明1,2马余刚1张国强1陈金辉1方德清1曹喜光1周铖龙1何万冰1,2代智涛1,2刘应都1,2王婷婷1,2

1（中国科学院上海应用物理研究所 嘉定园区 上海 201800）

2（中国科学院大学 北京 100049）

径向流是重离子碰撞中研究高温高密核物质性质极为重要的实验可观测量。本文在同位旋相关的量子分子动力学(Isospin dependent Quantum Molecular Dynamics, IQMD)模型框架下，用爆炸波模型提取1 A GeV的Au+Au反应体系中的径向流和热力学冻结温度，发现径向流的大小由中心碰撞到周边碰撞逐渐减小，与FOPI(4π Collaboration)实验结果及其他模拟结果一致。同时详细分析了径向流参数α对拟合结果的影响，得出此能量下α合理取值范围应在0-1。

重离子碰撞，中心度，径向流，热力学冻结温度，径向流参数

中高能重离子反应是唯一能在实验室进行的产生和研究高温高密核物质性质的手段。研究核物质状态方程即不同温度和密度下的核物质性质，不仅对核物理及粒子物理有着十分重要的意义，也是研究核天体物理，如超新星爆发、中子星内部结构、早期宇宙演化等的重要前提[1-5]。核物质状态方程中不可压缩系数及对称能系数等的研究一直以来都是中能重离子反应的热点问题[6-12]。

通常重离子反应分为低能、中能、高能及极端相对论能区。重离子反应在不同能区有不同特点，一般中能重离子碰撞按时间演化划分为4个阶段：

(1) 初始状态。弹核靶核初始化后，携带入射能相互接近，弹靶核的初始性质都是已知的。

(2) 压缩阶段。发生第一次有效碰撞后，由于核子-核子之间剧烈的相互作用，将入射能转化为内部热能和动能，在中心区域形成高温高密的核物质介质，其密度可到正常密度的2-4倍。将入射能转化为压缩核物质介质内在能量的比例可用核阻止因子(Stopping)来表征[13]。通常，压缩最大时也是内在随机热运动最剧烈和温度最高的时候。

(3) 膨胀阶段。压缩的核物质介质中，粒子与其内侧其他粒子相互作用的频率大于与外侧其他粒子相互作用的频率，从而形成一个极大的外向的压力，推动体系粒子向外运动形成向外膨胀的宏观现象[14]。膨胀过程中内在热运动的能量部分转化为集体运动的能量。当体系密度随膨胀下降到某个程度，该粒子与内外两侧的粒子作用频率相近，体系不再加速膨胀，径向流的大小也不再变化。

(4) 热力学冻结状态。随体系膨胀密度继续下降至ρ0以下直至更低密度(如ρ0/8)，此时粒子之间距离大于核力的力程范围。此后粒子的动量空间信息确定，这一时刻也被称为热力学冻结时刻，粒子在电磁场下运动飞向探测器被探测系统探测到。

重离子反应的实验目的之一就是试图通过已知的初始状态和末态可观测阶段的一些实验观测量来推断中间过程的高温高密的核物质性质，从而获得密度温度更宽范围的核物质状态方程[15]。

由于重离子反应的膨胀过程使得核物质介质许多性质与流体相似，从20世纪50年代，人们就用流体力学来近似描述这一过程。一些观测量，如粘滞系数、熵、温度、集体流等被广泛研究[16-17]。

1 IQMD模型

量子分子动力学 (Quantum Molecular Dynamics, QMD)模型是考虑了一些量子效应（如高斯波包形式的波函数、费米运动、泡利阻塞等）后从经典的分子动力学模型发展而来，同位旋相关的量子分子动力学(Isospin dependent Quantum Molecular Dynamics, IQMD)模型则是在QMD的基础上引入了同位旋效应[1-3]。在IQMD模型中，核子i（i是代表体系中核子的编号）用包含ir→(t)、ip→(t) 6个时间相关参数的高斯波包来表示：

式中，L表征波包宽度的参数。整个系统的N体波函数取为相干态的直积，即：

核子随时间的演化由变分法决定，可以得到ir→(t)、ip→(t)随时间的运动方程：

对相空间单核子密度分布做Wigner变换可以得到Wigner密度分布函数为[18]：

系统的密度为单核子密度的叠加。体系的哈密顿量为：

式中，T为动能项，V为相互作用势，即为IQMD中的平均场部分，可表示为：包括G矩阵的实部和库仑能。G矩阵又可以分解为局域的Skyrme-type相互作用，考虑表面相互作用的Yukawa势能以及动量依赖的相互作用势能，IQMD中还引入了对称能项。

式中，Zi、Zj是强子（包括重子和介子）的电荷；T3i、T3j为同位旋第三分量；而t1-t6是相互作用参数，µ=0.4 fm为Yukawa弥散参数，用以拟合饱和物质的性质和G矩阵的实部。

通过引入所谓的相互作用密度：

可以简化各个势能项， 从而能够得到密度依赖的各个势能，便于与理论进行比较。

通过拟合饱和密度附近的不可压缩系数，得到式(10)中的参数a、b和c。

表1中列出不同情况下状态方程的参数序列，软势动量依赖(Soft Equation of State with Momentum Dependent Potential, SM)、硬势动量依赖(Hard Equation of State with momentum dependent potential, HM)和各自考虑动量依赖的相互作用4组参数，S和H分别表示分别为软势和硬势状态方程，M表示动量相关的相互作用势[2]。

表1 IQMD模型中不同状态方程的参数Table1 Parameters set for the nuclear equation of state used in the QMD model.

IQMD中引入了独立于平均场的两体碰撞，同时考虑了泡利阻塞效应。模型中的截面数据通常可以选择从实验中提取的同位旋相关的参数化核子核子反应截面

[19]，也可以采用Cugnon的参数化截面[20]，它是同位旋不相关的。近年来从集体流的研究中发现核物质介质中的核子-核子作用截面会比自由核子-核子作用截面小[21]。

介质中核子-核子作用截面的经验公式为：

用IQMD模型模拟了入射能量为1 A GeV的Au+Au反应。碰撞参数是随机选择的三角分布。核状态方程分别用了SM和HM两套参数。为了验证模型的可靠性，我们首先把碰撞参数b±3 fm的反应中质子发射处于θ=90°±15°范围内的质子动能谱与EOS (Equation Of State Collaboration)实验组的实验结果做了比较[22]。如图1，圆点为EOS实验的数据点，实线和虚线分别为IQMD选取SM和HM的质子谱，阴影区表示相应的误差。由于HM更强的平均场会引起更多的质子发射，质子产额比SM略高。SM的结果和实验数据符合得更好，也表明IQMD模型中更倾向于选择用SM的状态方程，这与文献[23-24]中支持SM状态方程的结论一致。

图1 1 A GeV Au+Au反应中质子的动能谱(b≤3 fm, θc.m.s=90°±15°)[22]Fig.1 Comparison of kinetic energy spectra between our calculations and the EOS experiment data in Au-Au collisions at 1 A GeV (b≤3 fm, θc.m.s=90°±15°)[22].

2 径向流

径向流是为了描述膨胀阶段参与者核子因内部压力而向外近似各向同性发射的物理量，是集体流中的主要成分。对于一个处于完全热平衡态的粒子系统，体系内粒子的运动应是完全无规随机的热运动，满足玻尔兹曼分布。而对于重离子碰撞中膨胀状态的粒子系统则是有某种整体的方向性，是在粒子的无规则热运动之上叠加一个整体有序运动。早期，大家通常假设整个体系中具有相同的径向流，即这种集体的膨胀对所有粒子的作用相同[22,25]。有改进的模型用半径依赖的径向流描述碰撞体系的碰撞，不同位置的径向流与体系质心的距离成幂指数关系，而这个幂指数参数由反应体系的大小和碰撞能量决定[26-28]。

2.1从径向动量提取

径向流随着反应体系的膨胀而增大，直至热力学冻结时刻，此时反应产物的总动量不再改变，而动量的径向分量随着向外运动不断增大直到全部成为径向动量。径向流的大小可以通过热力学冻结时径向动量分量来计算，βr和γr分别是粒子径向方向的速度分量和对应的洛伦兹因子，是粒子总动量在其位置矢量方向的投影[29]：

每个粒子的动量都包含有序运动的流和随机热运动两部分，这里即近似径向方向的动量分量是流，而垂直于径向方向的为热运动。

考虑到径向动量分量与位置相关，热力学冻结时间的确定就非常重要。通常可以通过核阻止因子“stopping”增加到稳定值或者中心处密度降到足够低来确定。我们取密度降到1/8倍0ρ的时刻（0ρ为正常核物质密度）为热力学冻结的时间，在1 A GeV的Au+Au对心碰撞中约为40 fm.c-1。图2是不同时刻(t=20 fm.c-1、25 fm.c-1、30 fm.c-1、35 fm.c-1和40 fm.c-1)径向流的半径依赖关系图，r为粒子离质心系原点的距离。从图2可以看出，径向流随半径增大，如果经验地认为热力学冻结半径约为15 fm，此处径向流为0.4。

图2 1 A GeV下Au+Au对心碰撞中不同时间点径向流随半径的分布Fig.2 Radial flow distribution with radius at different time in Au+Au collisions at 1 A GeV.

2.2爆炸波模型Blast-Wave Model及结果

1979年，Siemens等[30]提出冲击波模型来描述膨胀阶段的物理图像。他们认为相对论重离子碰撞中形成的火球可作为处于热力学平衡的核子气体来描述，并假设膨胀过程中出射的碎片处于相同的温度环境且具有相同的膨胀速度，它能够较好地描述出射带电粒子的动能谱。

Schnedermann 等[26]在1993年提出给单一热源附加一个径向膨胀的速度来推动反应体系中粒子向外运动，从而很好地描述实验粒子谱。他们假设向外膨胀的速度依赖于粒子处于体系质心系中的位置r，βr=βs. (r/R)α，式中α是径向流参数；R是热力学冻结体积的半径；βs是热力学冻结时的表面径向流。这样粒子的谱可以描述为粒子的随机热运动部分附加一个径向流：

式中，pT为粒子的横动量；T是温度；ρ=tanh-1βr；I0和K1是修正型Bessel 函数。

本工作中用IQMD模型来模拟1 A GeV的Au+Au的反应过程，得到了质子在不同中心度下的横动量谱，这里IQMD中选用软势动量依赖的状态方程。然后用Blast-wave模型的公式拟合相应的粒子谱，得到反应体系热力学冻结时的径向流和温度。

在对横动量谱进行拟合时，χ2是其中的一个衡量拟合好坏程度的重要参数。通过寻找χ2极小值来确定最终的拟合参数。βs、T和α是自由的拟合参数，α是反应体系中描述径向流随半径变化的参数，平均径向流＜β＞可以从以下关系式得到：

式中，α是在0%-10%中心度下拟合得到，而在拟合其他中心度的横动量谱时也取这一数值。图3是用基于Blast-wave 模型的公式分别对中心度为0%-10%、10%-20%、20%-40%、40%-60%和60%-80%的Au+Au反应体系中质子横动量谱的拟合，从图3中可以看出Blast-wave 模型能非常好地描述质子横动量谱。

当拟合参数之间有较强关联时，可以得到两个参数间的χ2等高图，如图4。＜β＞从中心度为0%-10%时的0.342递减到60%-80%时的0.16，而T 从0.060 GeV略微增加到0.068 GeV，这可能是由于周边碰撞并未达到热力学平衡引起的。唐泽波等[31]用Tsallis统计的Blast-wave模型很好地拟合了相对论重离子碰撞中的粒子谱。1 A GeV下Au+Au碰撞的径向流和温度分别为0.342和0.060 GeV，这与此前的一些结果也是吻合的[22,28,32]。具体的各组拟合参数及误差见表2。

图3 Au+Au@1 A GeV在不同中心度下质子横动量谱Blast-wave模型拟合Fig.3 Blast-wave fit on proton transverse momentum spectra at different centralities.

图4 不同中心度下Blast-wave拟合得到的温度和径向流之间的关联图Fig.4 Blast-wave fitting contours between temperature and radial flow in different centralities.

表2 Blast-wave 拟合中得到的径向流和热力学冻结温度参数Table2 Fit parameters <β> and T from Blast-wave fitting.

径向流参数α值的选取对结果有一定影响，一般选取0-2。图5是α分别取0.185、0.336、0.5、1和2时βr和r/R的关系图，其中βr和R取固定值0.342和40 fm。由图5可知，α=0时是均一的流速度场，α=1时是线性关系。α值越小径向流随半径变化越小，越大则表示随半径有较大变化。通常拟合时α取固定值1[31-32]，文献[22]中认为α取值的变化对结果影响较小，Su等[33]研究表明在50 A MeV的Xe+Sn反应中α取值在1-2。如果反应体系粒子是从单一热源发射出来，那么它的横质量(mT)谱可用Boltzmann分布描述，取对数后的产额谱是随mT呈线性关系。图6中圆和方块表示质子、氘的横质量谱，可以看出在低mT区域偏离低于线性关系，这是由于径向流将低mT粒子推向高mT造成的[28]。选取不同的α值分别对质子、氘的横质量谱做了Blast-wave拟合，发现拟合参数βs和T固定时，α越小，曲线在低mT处下弯得越厉害，即流的作用越明显[34-35]。图6中自上而下实线a-e(虚线a′-e′)对应的α值为0、0.336、0.5、1和2，在α为0.336时能很好地拟合质子、氘的谱。

图5 不同α取值体现径向流随半径的分布Fig.5 Radius distribution of radial flow with different radial flow profile α.

图6 不同α取值时对质子、氘核横动量谱的Blast-wave拟合(IQMD+SM: AuAu@1 GeV, 碰撞中心度: 0%-10%)Fig.6 Blast-wave fit with different α values on the transverse mass spectra of proton and deuteron (IQMD+SM: AuAu@1 GeV, centralitiy: 0%-10%).

3 结果与讨论

从上面的分析过程可知，通过用径向动量来提取径向流的方法逻辑清晰简单易行，但是也有两个缺点：其一，假设径向方法的动量为径向流贡献的动量，事实上径向方向的动量也包含了部分随机热运动的贡献；其二，径向动量的计算涉及热力学冻结的时间的确定，不同的时间会对结果有很大影响。而热力学冻结的时间较难确定，通常所用的核阻止因子“Nuclear Stopping”的判断方法事实上只能判断体系是否达到热平衡，但并不能确定热力学冻结的时间。同时Freeze out半径也较难确定。图2中用斜率发生变化来判断是有些模糊的，因为这里假设了径向流随半径的分布是线性关系，即认为α=1。

通过用Blast-wave拟合的办法来提取径向流的方法容易实现，因为它仅依赖于末态粒子的横动量谱，与粒子的坐标空间没有关系。βr分布的关系式中Freeze out半径R的选取与拟合结果无关，而末态的横动量谱在热力学冻结时确定。拟合1A GeV下Au+Au对心碰撞得到的径向流与其他同类工作进行比较后如图7所示，横轴表示不同数据来源。标签EXP_EOS、IQMD+Soft 和IQMD+Hard来源于EOS实验组的工作[22]，EXP_FOPI引自文献[32]，BUU_F.Fu引自文献[25]，BUU_coal引自文献[36]，IQMD_this是本文的结果。其中BUU_F.Fu的数据点是相近的Pb+Pb@1 A GeV的结果，通过平均动能和质量的依赖关系得到。可以看出本工作的结果与其他实验及理论结果符合较好，误差也很小。

图7 1 A GeV下Au+Au对心碰撞下，不同的实验和理论工作中得到的径向流的比较Fig.7 Radial flow values in Au+Au central collisions at 1 A GeV from different works.

4 结语

中高能重离子碰撞反应膨胀过程中存在径向流，径向流的大小与核子-核子作用截面、状态方程的软硬程度都有密切关系，因此研究其径向流和温度对理解热密核物质性质有着重要意义。

本文分别用径向动量和爆炸波模型两种方法提取径向流。比较两者结果发现用Blast-wave模型拟合的办法更精确合理地得到不同中心度下的径向流，平均径向流随中心度的降低而减小，从0%-10%时的0.342到60%-80%时的0.160。图7显示中心碰撞的径向流为0.342，与实验值符合较好。而中心碰撞时的温度约为0.060 GeV，这个温度又叫热力学冻结温度，与直接对动能谱做玻尔兹曼拟合得到的表观温度完全不同，能更准确地反应热密核物质的状态。对0%-10%中心度的质子横质量谱进行拟合，用2χ最小的办法给出α等于0.336。径向流参数α对Blast-wave拟合有较大影响，通过研究发现1A GeV能量附近α合理取值应为0-1。

致谢感谢清华大学肖志刚老师诸多有益的讨论和指导。

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CLCTL9

Blast-wave analysis for the radial flow of Au+Au collisions at 1 A GeV

LYV Ming1,2MA Yugang1ZHANG Guoqiang1CHEN Jinhui1FANG Deqing1CAO Xiguang1ZHOU Chenglong1,2HE Wanbing1,2DAI Zhitao1,2LIU Yingdu1,2WANG Tingting1,2

1(Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences, Jiading Campus, Shanghai 201800, China)
2(University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

Background: Heavy ion reaction is a unique method to investigate the high temperature and density nuclear matter in laboratory, and the radial flow is a very important experimental probe. Purpose: This paper aims to obtain the radial flow and freeze-out temperature and then compare them with experimental results. Methods: By simulating the Au+Au collision at 1 A GeV in the Isospin dependent Quantum Molecular Dynamics (IQMD) framework, the Blast-wave model was applied to fitting the proton transverse momentum spectra and getting the radial flow and freeze-out temperature. Results: Results show that the radial flow decreases from central to peripheral collisions, and the value at central collisions is consistent with the FOPI experimental result and other theory results. Additionally, the radial flow profile α has been analyzed in details and α=0.336 has been determined in this work. Conclusion: The Blast-wave model can nicely describe the proton transverse momentum spectra, and give a reasonable radial flow value in comparison with the FOPI and EOS experimental results. Varying the flow profile α leads to a large change on the shape of proton and deuteron spectra, and the value between 0-1 is supported.

Heavy ion collisions, Centrality, Radial flow, Freeze out temperature, Radial flow profile

TL9

10.11889/j.0253-3219.2014.hjs.37.100517

国家自然科学基金项目(No.11035009、No.11220101005、No.11275250)和973项目(No.2014CB845400)资助

吕明，男，1987年出生，2009年毕业于苏州科技学院，现为博士研究生，核物理方向

马余刚，E-mail: ygma@sinap.ac.cn

2014-07-22，

2014-09-05