陆安山，陆益民

(1.广西大学电气工程学院，广西南宁530004;2.钦州学院物理与电子工程学院，广西钦州535000)

0 引言

由于Lorenz混沌吸引子［1］具有广泛的应用价值，引起科研工作者广泛的研究与关注［2－5］，许多研究者在经典的Lorenz混沌系统基础上研究了其变形，如Chen Guangrong等［6］通过线性反馈控制的方法发现了一种与Lorenz混沌吸引子拓扑结构不同的Chen混沌系统;继类3维Lorenz混沌系统后，科研工作者相继提出4维超混沌系统［7－10］，丰富了混沌系统的变形.本文从 Liu 混沌系统［11－13］出发，构建一种变形Liu混沌新系统;研究该系统平衡点性质、Lyapunov指数及其维数、时域波形图和吸引子相图等特征，并通过设计一种能实现该混沌系统的电路［14］，验证该系统的混沌特性.本文提出的变形Liu混沌系统在原系统的基础上增加了一个线性反馈控制项，从而增加了系统的复杂性.

1 一种变形Liu混沌系统分析

通过在文献［11］Liu混沌系统的第2式上增加一项线性反馈控制dy，构造一种新的3维变形Liu混沌系统，其数学模型为

系统(1)的Jacobian矩阵为

为求系统平衡点，令(1)式各式右边等于0，即a(y－x)=0，bx－kxz+dy=0，－cz+hx2=0，得该系统的平衡点分别为S0(0，0，0)，

当 a=10，b=40，c=2.5，d=4，k=1，h=4时，系统Jacobian矩阵平衡点S0的特征值为λ01=－26.4939，λ02=14.4939，λ03=－4均为实数，且有1个大于0，2个小于0，由线性稳定性理论可知，该平衡点为不稳定的鞍点;S1和S2处的特征值分别为 λ11=24.2139，λ12=－32.3769，λ13=－7.8370，λ21=－12.9940+11.7781i，λ22=－12.9940－11.7781i，λ23=9.9880，同理可知，2个平衡点也为不稳定的鞍点.

Lyapunov指数(LE)是指在相空间中，2条相互靠近轨线，随着时间变化，按指数聚合或分离的变化率［15］.分形维数大于 1的系统 LE的集合称为Lyapunov指数谱，系统的Lyapunov指数谱反映系统对初值的敏感性.该文用Matlab的LET工具箱绘制Lyapunov指数谱如图1所示，用Jacobian方法计算得3个Lyapunov指数分别为λL1=2.18034，λL2=0.00157776，λL3=－10.6819.

图1 Lyapunov指数谱图

对于(1)式Δv=∂x·∂x+∂y·∂y+∂z·∂z，Δv=－a+d－c=－8.5，表明该变形Liu混沌系统是一个耗散系统，当t→∞时，该系统轨迹的每个体积元以指数率为－8.5收缩到0，也就最终该系统都会运动到一个特定的吸引子上［15］，即该系统存在一个吸引子.

2 变形Liu混沌系统数值模拟

当 a=10，b=40，c=2.5，d=4，k=1，h=4时，取初始值为(0.01，0.20，0)时，该系统吸引子的相图、时域波形图如图2～图5所示.

图2 3维相轨迹

图3 xz平面相轨迹

图4 x轴时域波形

图5 y－z平面相轨迹

从系统Jacobian矩阵特征值、各个相图、时域波形图、Lyapunov指数谱和系统吸引子存在大于0的Lyapunov指数，其维数为分数，系统为耗散系统，可知该变形Liu系统(1)是混沌系统，吸引子为典型混沌吸引子.

3 变形Liu混沌系统的仿真电路软件实验研究

利用运算放大器(741)、乘法器(AD633)、电阻、电容等器件来实现变形Liu混沌系统，其电路原理如图6所示.

依据电路分析理论，得到电路原理各方程为

(3)式与(1)式比较，有a=R3(R1R4C1)=(R3R6)(R2R4R5C1)，b=R9(R7R10C2)，k=(R6R9)(R5R8R10C2)，d=R9(RR10C2)，c=(R12R15)(R13R14R16C3)，h=(R26R12)(R25R11R13C3).

图6 电路原理图

取 C1=C2=C3=1 μF，R1=R5=R12=R14=R15=10 kΩ，R3=16 kΩ，R2=R6=R7=20 kΩ，R4=R10=R13=100 kΩ，R8=8 kΩ，R11=1 kΩ，R9=40 kΩ，R16=25 kΩ 时，得到变形Liu混沌系统的相图如图7所示，与图2一致.

图7 电路实验相图

4 结论

该文给出一个新的混沌系统，通过以上理论分析和数值实验、电路软件仿真，从相图、时域图、Lyapunov指数谱、Lyapunov指数及分维数等验证了该系统的混沌特性.

在Liu混沌系统的第2式中，增加一个线性反馈控制项，即可构造出一个有多个平衡点、吸引子与Liu混沌系统相似、有更为复杂动力学行为的变形Liu混沌系统，更利于信息的掩埋，有益保密通信;设计了硬件电路，对系统的实际应用提供了较好的帮助，对混沌电路系统设计提供一种方法.

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