舒云水

例 对任意正整数[n]，猜想[2n-1]与[（n+1）2]的大小关系.

同学们经过一番努力，得出正确的猜想：当[n≤6]时，[2n-1<（n+1）2]；当[n=7]时，[2n-1=（n+1）2]；当[n≥8]时，[2n-1>（n+1）2]. 笔者经过探究，得出如下两种证法.

证法1（导数法）

设[f（x）=2x-1-（x+1）2（x≥8）]，

则[f（x）=2x-1ln2-2x-2].

设[g（x）=f（x）]，则[g（x）=（ln2）22x-1-2].

[∵g（x）]为增函数，又[x≥8]，

[∴g（x）][≥][g（8）]=[（ln2）227-2≈59.5>0].

[∴g（x）]是增函数，

[∴g（x）=f（x）≥f（8）=27ln2-2×8-2][≈70.7>0.]

所以[f（x）]在[8，+∞]上是增函数.

故当[n≥8]时，

有[f（n）=2n-1-（n+1）2≥f（8）=47>0].

即[2n-1>（n+1）2].

点拨 构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性证明不等式.

证法3（放缩法和导数法）

（1）当[n=8]时， [28-1>（8+1）2]，不等式成立.

当[n=9]时， [29-1=256>（9+1）2=100]，不等式成立.

（2）下面证明当[n≥10]时，[2n-1>（n+1）2].

∵[2n-1=C0n-1+C1n-1+C2n-1+C3n-1+…+Cn-1n-1][（n≥10）]，

∴[2n-1>C0n-1+C1n-1+C2n-1+C3n-1][=n3-3n2+8n6].

只需证[n3-3n2+8n6>（n+1）2]，

只需证[n3-9n2-4n-6>0]（*）.

设[f（x）=x3-9x2-4x-6（x≥10）]，

则[f（x）=3x2-18x-4=3（x-3）2-31]

[≥3（10-3）2-31=116>0].

∴[f（x）]在[10，+∞]上是增函数.

∴当[n≥10]时，

[f（n）=n3-9n2-4n-6≥f（10）=54>0].

不等式（*）成立，原题得证.

点拨 利用[2n-1=C0n-1+C1n-1+C2n-1+][C3n-1][+…+Cn-1n-1]巧妙放缩不等式，再构造一个三次函数，根据函数的单调性证明不等式.