王丽梅，刘 瑞

(沈阳工业大学 电气工程学院，沈阳 110870)

0 引言

现代数控机床正在向高速高精密方向发展，XY平台以其快速的响应、准确的定位及高可靠性等优点而广泛应用于机床及机器人等领域［1］。数控插补技术是数控系统实现轨迹运动控制的基础，其算法是CNC 系统软件实现运动控制的核心模块，插补算法的优劣直接影响到CNC 系统的性能，因此实现一种高精度和高速度的插补方法是插补的关键所在。与传统的直线圆弧插补方法相比，NURBS 曲线插补提供了一种通用的数学表示形式，它既可以表示标准的解析曲线也可以表示自由曲线。NURBS 插补方法以其快速性及稳定的计算能力而被普遍采用［2-4］。另外，XY 平台由两台永磁直线电机直接驱动轴向相互垂直的XY 两轴进行精密轨迹运动，为提高其轮廓加工精度，传统的控制方法侧重于提高单轴的跟踪性能来降低轮廓误差［5-6］，但此类方法不能解决双轴间不匹配等对轮廓精度造成的影响。Koren 首先提出了交叉耦合控制以减小轮廓误差的思想，但其只能处理线性轮廓误差关系［7］。近来也有不少学者侧重于以适当的坐标转换来得到近似的轮廓误差模型来简化控制器设计。Tomizuka 与Chiu 提出任务坐标转换法，其方法是将跟踪误差转换为任务坐标上的误差量，通过减小任务坐标的法线误差而降低轮廓误差，但是无法用于非线性情况［8］。Shyh-Leh Chen提出适用于多轴非线性运动系统轮廓控制的等效误差法，以等效误差作为被控量进行控制器设计以提高轮廓精度［9-10］。

采用基于等效误差法对XY 平台进行轮廓控制，建立以等效轮廓误差和切线误差为状态变量的非线性误差动态模型。采用滑模控制方法进行轮廓控制器的设计，通过连续控制使得滑模面及其时间导数在有限时间内趋近于零，削弱了抖振的影响，使直线电机XY 平台达到高精加工的要求。针对等效误差方法的路径函数不适用于复杂的曲线的难点，采用造型功能强大的NURBS 插补方法来弥补这个缺陷，通过适当调整相应的权重及控制点即可以拟合各种复杂曲线，通过恰当的引入Sylvester 隐式化方法将NURBS 曲线的基本特性和等效误差法的优势予以结合，可以有效地提高系统的轮廓精度［11-12］。仿真结果及分析对所提出的方法进行了有效地验证。

1 NURBS 曲线的特性及其隐式化

1.1 NURBS 曲线的基本表示形式

一个n 维NURBS 曲线的阶数为d +1，其参数曲线可表示为:

其中wi＞0 为非均匀权重，pi为控制点，Ni，d(μ)为定义在节点矢量上的d 次B 样条基函数。

NURBS 曲线可由分段形式表示为:

其中，Ck(μ)是一个无限可微的函数，表示n 维曲线。它是C(μ)的第k 段。NURBS 曲线至少被节点分成m-2d 段光滑曲线。

采用等效误差法要求指定路径的曲线由代数方程表示。一般情况下很难将参数曲线形式转换为一个简单的代数方程，但在各段中却很容易实现。即在每段Ck(μ)时，都可将参数曲线(2)转换成非参数(代数)形式，其转换可通过下节所述的Sylvester 隐式化方法实现。

1.2 NURBS 曲线的隐式化

NURBS 曲线由m - 2d 个光滑曲线组成。每段Ck(μ)都是一个关于参数μ 的有理多项式函数的参数形式。因此，路径方程可用关于μ 的多项式方程表示，其系数取决于x。这些多项式参数方程可以通过Sylvester 方法进行隐式化。对于n 维曲线，可得到n -1 个表示k 段NURBS 曲线的方程。然后综合所有的部分，可以得到完整的关于NURBS 曲线的隐式方程:

p(x)= ［p1(x)p2(x)…pn-1(x)］T= 0 (3)

其中，pi(x)为m -2d 个组成部分的分段多项式函数(4):

2 XY 平台的等效误差数学模型

2.1 永磁同步直线电机的数学模型

永磁直线同步电机的运动方程为:

式中:x(t)为动子的位移;iq为动子的q 轴电流;M 为动子及所带负载的总质量;B 为粘滞摩擦系数;Kf为推力系数;Fe为电磁推力;F 为外部扰动。

设x(t)和v(t)为状态，永磁直线同步电机的状态方程为:

式中:u = iq为控制输入;v(t)为动子速度。

2.2 XY 平台的等效误差数学模型

出于轮廓误差的设计，X-Y 平台系统的简化整体动态模型为:

其中，x1和x2分别为X、Y 两轴的位置输出;u1、u2为控制输入;Kf1、Kf2为推力系数;B1、B2为粘滞摩擦系数;M1和M2为动子及所带负载的总质量;F1和F2为外部扰动力。

X-Y 平台系统的指令路径可以定义为1 个代数方程，即:

根据指令路径代数方程，将等效轮廓误差和切向误差分别定义为:

图1 等效误差

综上，等效轮廓误差和切线误差共同构成等效误差，用等效误差重新表达系统动态为:

将X-Y 平台系统的动态特性转换成以等效误差为状态变量的系统动态方程为:

其中，Ω(x，˙x，t)和Γ(x，˙x，t)为关于位置输出和参考指令的函数，u 为轮廓误差的补偿量。

3 X-Y 平台的轮廓控制器设计

n 轴运动系统的动态表达式为:

其中x ∈Rn是动子位置输出，u ∈Rn是控制输入。假设系统要由NURBS 跟随一个指定的路径(1)。基于之前部分建立的等效误差模型设计滑模轮廓控制器［10］。

X-Y 平台系统轮廓控制框图如图2 所示。为控制XY 平台非线性模型误差精度，定义等效误差和切线误差滑模面向量为σ。

图2 X-Y 平台轮廓控制框图

设系统的状态方程为:

如果达到理想的滑动模态控制，则˙σ = 0，即:

对于系统

取σ 为:

其中xi= x(i-1)(i = 1，2，…，n)为系统状态及其各阶导数，选取常数c1，c2，…，cn-1，使得多项式pn-1+cn-1pn-2+ … + c2p + c1为Hurwitz 稳定，p 为Laplace算子。

设系统进入滑动模态后的等效控制［9］为ueq:

若矩阵［cb］满秩，则可解出等效控制:

针对带有不确定性和外加干扰的系统，采用的控制律为等效控制加切换控制，对于圆形指令轮廓轨迹，设R 为圆形轮廓轨迹半径，X-Y 平台的非线性等效误差动态系统状态变量为:

本文采用的等效控制滑模控制律设计为:

其中: ud= - Kesgn(σ)，Ke＞0其中，C 满足滑模稳定条件，且CB ＞0。

4 仿真与分析

采用北京慧摩森科技公司生产的LM22-26 系列直接驱动X-Y 平台进行仿真研究，其参数分别为M1=5.6kg，M2= 1.5kg，Kf1= 11.1N/A，Kf2= 0.86N/A，B1=245.3N·s/m，B2=81.9N·s/m指令路径为圆，命令轨迹通过NURBS 插补器送出命令至两个伺服电机。其级数为3，控制点分别为:(0.0，0.0)，(0.0，50.0)，(100.0，50.0)(100.0，0.0)，(100.0，－ 50.0)，(0.0，－50.0)(0.0，0.0)，(0.9，1);相应地权重为(1.0，0.5，0.5，1.0，0.5，0.5，1.0)，节 点 向 量 为(0，0，0，0.25，0.5，0.5，0.75，1，1，1)。等效滑模控制器的参数为C =［30 1］，Ke= 12，采样时间为0.0001 s。

在运行5s 时突然向各轴加一60N 的阶跃型负载扰动时，系统单独使用NURBS 插补方法，单独使用等效误差法及同时使用两者时的曲线跟踪情况如图3 所示。

由图3 可以看出，单独使用NURBS 插补方法时其曲线跟踪较为平滑，但曲线有所偏离，即存在明显的跟踪误差而单独使用等效误差方法时跟踪曲线比较接近指令曲线，但其不够平滑，略有波动。而综合两者后的方法输出的曲线与指令曲线基本吻合，可以证明提出方法具有很好的轮廓跟踪性能。

为进一步验证跟踪精度，采用NURBS 与等效误差方法结合后的位置误差见图4，由图4 可以看出，其误差在－12μm ～1μm 之间，能够保证良好的X、Y轴跟踪精度的鲁棒性。

图5、图6 分别为在5s 时向各轴突加60N 的阶跃型负载阻力扰动时，X-Y 平台的等效轮廓误差曲线和切线误差曲线，可见实际轮廓误差在－1μm ～10μm 之间。仿真结果表明基于NURBS 和等效误差法控制的XY 平台系统在保证伺服鲁棒性的同时轮廓精度大大提高，且滑模控制器设计更加简单。

图3 X-Y 平台圆形输出轨迹比较

图4 圆形轨迹的X、Y 轴位置误差

图5 圆形轨迹的等效轮廓误差

图6 圆形轨迹的切线误差

5 结论

本文提出了基于NURBS 插补与等效误差轮廓控制相结合的控制方法，对直线电机XY 平台进行控制，建立可用于自由曲线跟踪且容易计算的XY 平台等效误差非线性模型。设计的等效滑模控制器抑制了非线性因素对系统性能的影响，在采用此整合方法后，在保留NURBS 插补的平滑性及等效误差法的跟踪精度优势的基础上，进一步提升了加工精度，使得直线电机XY 平台满足了高精加工的要求。仿真结果表明所设计的控制系统能有效地提高了XY 平台的轮廓加工精度。

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