沈海鸥，王永民，许 华

(空军工程大学信息与导航学院陕西西安710077)

0 引言

在低信噪比环境下，传统的同步算法已经不能有效工作，又由于低密度奇偶校验(low density parity check，LDPC)码具有接近香农限的优异性能［1］，使得编码辅助载波同步成为近年来的研究热点［2-5］。文献［6］系统地给出了数据辅助(data-aided，DA)、非编码辅助(non-code-aided，NCA)、编码辅助(code-aided，CA)3类同步方法的性能比较，CA同步的性能随着迭代次数的增加逐渐收敛于DA同步，且明显优于NCA同步;文献［7］利用译码软信息辅助相位信息的估计，估计精度较高，但缺点是只能工作在零频偏条件下;文献［8］在此基础上，考虑了残留频偏的影响，但是允许的频偏很小;文献［9］以最大化基于软信息的代价函数为准则，通过搜索窗辅助的单纯形算法实现粗估计，以复杂度为代价获得了较大的同步估计范围;文献［10］在小同步范围的前提下，针对BPSK和QPSK信号提出了基于软判决反馈的迭代信息减少(information reduced，IR)的CA同步，在低信噪比条件下性能优异;N.Noles在文献［11］中给出了基于期望最大(expectation-maximization，EM)算法的迭代载波同步的理论框架，而文献［12］提出了一种基于EM算法的频差联合相差估计算法，但是其频率估计范围仍然较小。文献［13-14］研究了导频辅助的粗同步方案，可以获得较大的同步范围，但是其复杂度较高，且在一定程度上降低了频带利用率。

由于在低信噪比条件下，较大的频偏和相偏会大幅降低输入译码器的信号功率，导致译码软信息的值不再可靠，进而使得同步器和译码器均无法收敛，尤其是较大的残留频偏会导致LDPC译码性能严重恶化，而现有CA载波同步算法难以同时满足频偏估计范围和估计精度的要求。针对这一问题，本文提出了一种改进的CA载波同步算法，并给出了详细的实现步骤和仿真分析。

1 最大似然同步参数估计

假设发送任意复值码元序列 a={a0，a1，…，aK－1}，其联合概率密度函数为p(a)，使其通过加性高斯白噪声信道，在假设理想码元定时恢复、理想帧同步、忽略信号增益及码间串扰的条件下，经匹配滤波器后的接收采样信号可表示为

(1)式中:θ，Δf分别为待估计的载波相位偏移和频率偏移;ak是第k个发送的数据码元;T是码元间隔周期;K是码元序列的长度;wk是独立同分布、均值为零、方差为σ2w=N0/2的复高斯随机变量。忽略与a和待估参数φ独立不相关的乘法因子，接收码元序列r={r0，r1，…，rK－1}的联合条件概率密度函数可简化为

(2)式中，上标“*”表示共轭运算。

同步参数的对数似然函数为

(3)式中:sm是调制星座图上第m个点的值(m=0，1，…，M－1，M为星座点数);pm|r(k)是第k个发送码元的后验概率，有 pm|r(k)=Pr［ak=sm|r］。

由于在低信噪比环境下，噪声功率很大，(3)式中的exp()和log()函数可用泰勒级数展开后的线性项(ex≅1+x及ln(1+x)≅x)近似，则有

(4)式中，Ak(r，φ)为调制星座点上所有可能符号对后验概率的均值，即

因为同步参数最大似然(maximum-likelihood，ML)估计的实质是求解当LL(φ)达最大时的θ和Δf的值。通常情况下(4)式没有显式解，那么就用第2节的方法来解决ML估计问题。

2 改进的编码辅助载波同步算法

对于编码辅助(CA)ML估计，考虑LDPC编码下的BPSK系统中，LDPC通过对数域的置信传播原理输出译码软输出 L(Qk)，再利用 Ak(r，φ(n))=tanh(Ln(Qk)/2)迭代地更新同步参数。当经过一定次数的迭代，译码器收敛时，可以认为发送码元矢量a由未知变为已知，此时有 Ak(r，φ)=ak，CA ML 估计就收敛于数据辅助(DA)ML估计。因为现有的CA载波同步算法普遍存在估计频率复杂度高，且同步范围小的问题，那么，可以考虑在CA ML算法的每一次迭代中，先利用后验均值Ak(r，φ(n))消除信号中的调制信息，即:

然后参考已有的DA ML频率估计算法去估计CA ML频率偏移。当信噪比在0 dB以上时，采用一种较简单的基于单延迟相关函数的频偏估计［15］，结合(6)式可得

(7)式中，相关步长d取K/3或 K/2。

但由于(7)式中只用到了固定延迟d的自相关值，当信噪比更低时，此算法的性能有所下降，那么可以考虑用如下多延迟的自相关值来估计频偏，以较少的复杂度为代价有效抵抗了大噪声对同步的影响。

(8)式中，D=K/2为平均相关步长。

Costas环迭代相位估计的基本思想是使对数似然函数的导数为零［16］，对(4)式求导可得

当上述频偏估计器能够正常工作，考虑信号向量经过一定次数的频偏补偿后，频率偏移Δf已经足够小，φk主要由θ决定，为了使(9)式为零，每码元间隔更新一次相位估计的值，考虑基于前向反馈的Costas环路结构，可以用(10)式进行迭代。

(10)式中:λ是环路滤波增益;ek是相位误差检测器(phase error detector，PED)的输出，其值由对数似然函数的导数LL'(θ)决定。

图1为改进的编码辅助载波同步系统框图，主要由同步器和LDPC译码器组成，其实质是每次迭代时，同步器充分利用LDPC译码器判决反馈的后验均值Ak(r，φ(n))来实现同步参数的估计和补偿。即先利用Ak(r，φ(n))消除接收信号中的调制信息，再通过频偏估计器对接收信号向量进行频偏补偿，然后，利用Costas环逐个估计出每个符号的相偏信息，对信号向量相偏补偿之后再进行下一次迭代。

图1 改进的编码辅助载波同步系统框图Fig.1 System block diagram of modified code-aided carrier synchronization

基于相关函数的频偏估计器扩大了频偏估计范围，虽然起初估计精度有限，然而，随着迭代次数的增加导致译码软输出的值更加准确，最终使得输入相位估计器的残留频偏处于一阶Costas环能够抑制的范围内，同步器和译码器均趋于收敛，所以该方法能够有效工作在较大频偏条件下。具体实现步骤如下:

2)利用LDPC译码软信息Ln(Qk)求出Ak(r，φ(n));

8)重复步骤2)—7)直到LDPC译码器收敛或已达最大迭代次数N。

3 仿真结果及分析

为了验证第2节中改进算法在提高频偏估计范围和精度方面的有效性，基于图1给出的系统模型，通过与文献［12］给出的频偏和相偏联合估计的EM算法对比分析可得到以下结论，仿真采用码率为1/2，码长为1 800 bit的LDPC码，BPSK调制，θ设为30°。

图2给出了不同频偏条件下的误码率(bit error rate，BER)性能，可以看出，本文算法比EM算法能够容忍的频偏范围大很多，具体为(－5×10－4，5×10－4)，这个值与用于估计的数据长度有关，可通过减少数据长度进一步增大估计范围，但是相应的估计精度也会下降。且在译码器能够收敛的范围内，信噪比的值越大，误码率越低。图3是频偏估计的均方误差(mean square error，MSE)曲线，可以看出，即使较大的频偏在低信噪比时有相对较大的均方误差，但是随着信噪比的增加，频偏估计的MSE曲线逐步逼近修正的克拉美罗界。

图2 频偏对于误码率(BER)的影响Fig.2 BER performance with different frequency offset

图3 频偏估计的均方误差(MSE)曲线Fig.3 MSE of frequency offset estimation

图4是BER曲线，可以看出，不同的频率偏移对系统BER性能的影响是不同的，当频偏较小时，系统的BER性能接近理想同步的情况，随着频偏的增大，性能损失越明显，但是最大性能损失也不超过0.2 dB。图5是本文算法与EM算法的BER性能比较，当ΔT=2×10－4时，本文提出的算法稍好于EM算法，性能相差只不过0.02 dB，但是当Δ ^fT=3×10－4时，EM算法的译码性能急剧恶化，该算法已经不能收敛，而本文算法仍能有效工作。

4 结束语

低信噪比条件下，为了在保证编码辅助载波同步参数估计精度的同时，尽可能地扩大频偏估计范围，本文给出了一种改进算法。该算法利用译码软信息分别进行去调制和更新误差信号，进而估计频偏和相偏，并实时补偿更新信号向量，使得译码器和同步器均能趋于收敛。仿真结果表明，该算法能够大幅提高频偏估计范围，并获得距理想同步0.2 dB以内的误码性能。

图4 迭代载波同步的误码率(BER)曲线Fig.4 BER of iterative carrier synchronization

图5 2种算法的误码率(BER)性能比较Fig.5 Comparison of BER performance

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