鲍克，胡旭东，向忠

(浙江理工大学 机械与自动控制学院，浙江 杭州 310018)

0 引言

PID控制器具有结构简单、鲁棒性好、可靠性高等优点，被广泛应用于各种工业对象和过程[1－2]。PID参数的优化是 PID控制中的关键问题，控制参数的优劣直接影响控制效果的好坏，并与系统的稳定、经济运行息息相关[3]。随着工业技术的发展，被控对象日趋复杂，部分被控对象具有大滞后、非线性、无法建立精确数学模型等特点，利用传统方法很难获取最优或次优的PID参数组合。

随着人工智能技术和自动控制领域的相互渗透，各种先进PID参数优化方法层出不穷，许多PID控制器融合了模糊控制、神经网络技术、专家系统、遗传算法等智能技术，这给PID参数优化的研究注入了新的活力[4－5]。然而，模糊控制技术存在精度不高的缺点，神经网络训练周期较长，遗传算法容易陷入局部最优[6－7]。

本文结合小生境机制、混沌细搜索和人工免疫算法，提出了一种基于小生境混沌免疫算法的PID参数优化方法，并通过仿真实例验证了该方法的有效性。

1 PID控制原理

PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值和实际输出值构成控制偏差，将偏差的比例、积分和微分通过线性组合构成控制量对被控对象进行控制。

依据PID控制原理，调节kp、ki、kd3个参数，就可以改变控制量。在采用免疫算法对PID参数进行优化时，可将控制器的性能指标作为目标优化函数，视为抗原，而将参数 kp、ki、kd作为优化问题的解，视为抗体，其原理如图1所示。

图1 基于小生境混沌免疫算法的PID控制系统原理框图

2 小生境混沌免疫算法

2.1 混沌细搜索

混沌是非线性系统中普遍存在的一种复杂现象，混沌运动具有随机性，遍历性和对初值高度敏感的特点，它能在一定范围内按其自身规律不重复地遍历所有状态[8－9]。将混沌动力学特性与免疫算法结合起来，利用免疫算法进行全局粗搜索得到次优解后，再利用混沌算法在次优解周围进行细搜索，能够加强算法的局部寻优能力。

本文采用 Logistic方程产生混沌变量。Logistic映射形式如下:

式中Xn代表经过n次混沌迭代后的混沌变量，其中0＜X0＜1;当μ=4时，Logistic映射处于完全混沌状态，其混沌空间为(0，1)。

由于混沌变量的变化范围为(0，1)，而PID参数不一定在此范围内，因此在进行混沌细搜索前需要将PID参数由解空间映射至混沌空间。设 kp的取值范围[kpmin，kpmax]，混沌变量为 X1，n;ki的取值范围[kimin，kimax]，混沌变量为 X2，n;kd的取值范围[kdmin，kdmax]，混沌变量为 X3，n，则映射方程如下:

混沌细搜索结束后，再次通过映射方程将新一代混沌变量由混沌空间映射至解空间。

2.2 小生境机制

小生境机制运用到优化问题的主要思想是:当两个个体的海明距离小于预先设定的小生境距离L时，认为这两个个体距离过近并对其中适应度低的个体进行惩罚。

本算法中，将上一代抗体中适应度最高的n个抗体，与当前代抗体混合，计算任意两个抗体间的海明距离，若计算结果小于小生境距离，则对适应度低的抗体施加一个惩罚系数，待全部抗体的计算完成后，剔除适应度最低的n个抗体。抗体间的海明距离可由下式计算:

式中 d(v，w)表示抗体 v和抗体 w的海明距离;kvp、kvi、kid分别代表抗体v的比例、积分、微分三个参数。

小生境距离L的选取与解空间的范围有关。解空间的范围越大，L也越大。根据这种思想，设计如下小生境距离计算公式:

式中[kpmin，kpmax]、[kimin，kimax]、[kdmin，kdmax]分别表示 kp、ki、kd的取值范围，λ∈(0，1)。

公式(4)给出了小生境距离L的选取依据，通过λ可自由调整小生境机制对算法的影响。当λ取值越大，小生境距离L也越大，更多的抗体对处于小生境距离内，受到惩罚的抗体增加。此时，抗体群保持抗体多样性的能力较强，但收敛速度较慢。当λ取值减小时，处于小生境距离内的抗体对减少，抗体群的收敛速度加快。因此，一般可在算法运行的前期，设定较大的λ值，保持抗体多样性;在算法运行的后期，可逐步减小λ，保证算法的快速收敛。

在小生境机制的实现过程中，将上一代适应度最高的数个抗体与当前代混合，这在本质上实现了精英保留，可有效防止抗体群在进化过程中丢失最优抗体，因而引入小生境机制后的免疫算法无需再另行实现精英保留策略。

2.3 基于抗体浓度的人工免疫算法

人工免疫算法与遗传算法的核心区别在于选择复制策略，人工免疫算法依据抗体适应度和浓度两个方面对抗体进行复制操作，对抗体质量的评价更为全面，减小了算法过早收敛的可能。

人工免疫算法中，抗体相似度、浓度、期望繁殖率、选择复制率概念如下:

在给定抗体群中，若抗体v和抗体w满足公式(5)，则称抗体v与抗体w相似。式中fv和fw分别为抗体v和抗体w的适应度;ε称为抗体相似度阈值。越接近于0，抗体v和抗体w相似度越高。

在给定抗体群中，与抗体 v相似的抗体的个数(计入抗体 v自身)称为抗体v的浓度，记为cv。

在给定抗体群中，抗体 v的期望繁殖率 ev可由公式(6)表示。式中，β是反映期望繁殖率中抗体适应度和浓度相对重要性的一个可变参数。

在给定抗体群中，抗体v被选择复制的概率psv可由公式(7)表示。式中m表示种群规模。

交叉算子和变异算子是影响免疫算法行为和性能的关键因素之一，对算法收敛性有直接影响。为了保证算法的快速收敛和抗体群的多样性，对于适应度高于群体平均适应度的抗体，可采用较小的pc和pm;对于适应度低于群体平均适应度的抗体，可采用较大的pc和pm。本算法在变异操作中采用如下自适应变异概率:

式中fv表示抗体v的适应度，fmax表示当前抗体群的最大适应度，γ为变异系数，可自由调整。

选用误差绝对时间积分性能指标作为参数选择的目标函数。为了防止控制能量过大，在目标函数中加入控制输入的平方项，为了避免超调，在产生超调时将超调量作为目标函数的一项。

式中e(t)为系统误差，u(t)为控制器输出，tr为上升时间，w1，w2，w3，w4为权值，ey(t)=y(t)－y(t－1)。

抗体适应度与目标函数值一般通过下式转化:

但是公式(10)无法避免数值计算带来的舍入误差和计算溢出。为了提高算法的计算精度，可对抗体适应度函数作如下改进:

式中c为一固定系数，一般取为10n(n为正整数)，δ为一极小的正实数。

2.4 小生境混沌免疫算法流程

(1)随机生成m个抗体，组成初始抗体群，设置进化代数 t=1。

(2)依公式计算各个抗体的适应度fk(k=1，2，…，m)，根据适应度对抗体进行降序排序，记忆前h个抗体为q'(t)，记忆前n个抗体为p'(t)。

(3)依公式(2)将q'(t)中的h个抗体转化至混沌空间。

(4)依公式(1)分别对h组混沌变量进行迭代，将迭代所得的混沌变量转化为PID参数，计算其适应度，若混沌迭代所得抗体的适应度大于原抗体的适应度，则替代。循环执行本步骤10次，

(5)依公式(5)计算各抗体的抗体相似度及抗体浓度。

(6)依公式(6)计算各抗体的期望繁殖率，依公式(7)计算各抗体的选择概率，根据选择概率利用“轮盘赌法”对抗体群执行选择和复制操作。

(7)对抗体群执行交叉操作。

(8)依公式(8)计算各抗体的变异率，对抗体群执行变异操作。

(9)将上一步得到的m个抗体和p'(t)中的n个抗体合并，得到一个含有m+n个抗体的新抗体群，依据公式(3)计算任意两个抗体的海明距离。当＜L时，比较抗体 v和抗体 w的适应度大小，对其中适应度低的抗体施加一个惩罚系数p。

(10)依据新的适应度对这m+n个抗体进行降序排列，取前m个抗体作为新一代抗体群，记忆前h个抗体为q'(t)，记忆前n个抗体为p'(t)。

(11)令t=t+1，若 t≤NC，则返回3);否则，输出最优 PID参数，算法结束。

3 仿真及分析

3.1 仿真对象选取与参数设定

仿真实验以HHS－2箱式电阻炉数学模型为对象，在MATLAB2011a上进行。HHS－2箱式电阻炉的数学模型如下:

设定 kp的取值范围为[0，1]，ki的取值范围为[0，1]，kd的取值范围为[0，10]，种群规模 m=0，最大进化代数 NC=150，交叉概率 pc=0.7，变异系数 γ =2.5，λ =0.1，c=1 000，惩罚系数 p=0.5，采用实数编码，以单位阶跃信号为输入。

采用带有精英保留策略的遗传算法和人工免疫算法作为对比对象，其变异概率pm=0.1，其余参数设置与小生境混沌免疫算法相同。

图2 的单位阶跃曲线图

3.2 仿真结果及分析

表1列出了三种算法下的阶跃响应系统性能指标，其中，NCIA表示小生境混沌免疫算法，调整时间的允许误差范围为2%，由于小生境混沌免疫算法无超调，故不统计其上升时间。图2为的单位阶跃响应曲线，图 3为目标函数的优化曲线。分析表1和图2可知，小生境混沌免疫算法下系统的调节时间ts、超调量Mp较 SGA、AIA 大幅下降，系统拥有更好的动态性能。分析图3可知，小生境混沌免疫算法和AIA都具备快速寻优能力，GA的寻优速度明显慢于两者。综上所述，基于小生境混沌免疫算法的PID控制器具有更好的控制效果。

图3 目标函数的优化曲线

表1 的阶跃响应系统性能指标

4 结束语

本文在免疫算法中引入小生境机制和混沌细搜索机制，提出了一种基于小生境混沌免疫算法的PID参数优化方法。仿真结果表明，利用小生境混沌免疫算法设计的PID控制器可以有效地提高控制性能，其控制效果优于遗传算法和人工免疫算法下的PID控制器。

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