赵芝璞，季凌燕，沈艳霞，苏宙平

(江南大学电气自动化研究所，江苏无锡 214122)

1 引 言

节能、环保是未来社会发展的主流。LED照明灯作为“一次光源”，具有体积小、寿命长、节能、环保、安全等特点，极具发展潜力［1-3］。由于单颗LED灯的功率较小，在很多照明应用中难以满足照度要求，因此照明系统中通常将多颗LED灯集成，形成LED阵列［4］来增大发光亮度和发光面积。由于LED直接输出的光强近似于Lambertian光强分布，LED阵列直接照射到目标平面上的光强分布是不均匀的，所以，解决LED阵列光照强度均匀化问题对提升照明系统的性能有至关重要的意义［5-9］。I.Moreno等［5］首次通过解析的方法研究了LED阵列均匀化照明中的最佳LED阵列结构。文献［6］研究了大视角LED阵列光照均匀分布的条件。文献［7］采用理论推导和计算机实现相结合的方法，设计了LED阵列以获得路面光照均匀分布。王洪等［8］通过分析多颗LED组成的各种阵列在近场平面上的照度分布，设计了可实现近场照度均匀的LED排列方式和距离。文献［9］对目标平面和光源平面引入反馈优化算法，以提高照度均匀度。目前，在进行LED照度均匀化的阵列设计时，多采用理论计算的方法，其过程复杂且繁琐，不易施行。针对理论计算方法的不足，本文将数值优化的方法应用于LED阵列结构优化设计中。

粒子群算法(Particle swarm optimization，PSO)［10-11］是由 Eberhart和 Kennedy 基于生物学家Hepper的模型共同提出的一种群智能优化算法。粒子群算法是模拟鸟群飞行觅食的行为，通过鸟之间的集体协作，获取群体信息以及个体自身经验，调整自身行动策略，最终使群体达到最优。尽管每个个体定位行为准则很简单，即远离最近的邻居、向目标靠近、向群体中心靠近，但组合成的整个群体的行为是很复杂的。粒子群算法已经成功应用于解决约束优化、多目标优化和动态优化等问题。

我们首先推导LED阵列的照度分布函数，并在此基础上构建一个关于阵列中各LED坐标的评价函数，衡量光照分布均匀度。评价函数值越小，目标平面的光照强度波动越小，分布越均匀。然后，用PSO算法优化LED阵列结构，使其在目标平面上的光照强度分布均匀，此时形成的LED阵列就是最优结构。基于该方法，本文设计了两种LED阵列。一种为圆形LED阵列，一种为方形LED阵列。运用PSO算法在Matlab中编程获得光照分布最优时候的LED阵列结构数据，并将几何模型导入光学仿真软件Tracepro进行优化模拟［12］。实验结果表明:该算法简单可行，光在目标平面分布均匀，光照轮廓函数平滑。

2 LED光照阵列照度分布数学模型

如图1所示，LED灯随机排布在灯平面S上，目标平面如图所示分成M×N个点，两平面之间的距离为 z。每颗 LED灯的光强分布可视为Lambertian 分布，光强函数如式(1)［6，13-15］所示:

其中，θ为视角，I0是视角为0°方向的光强值，m值(与半角处光照强度有关，通常由生产商提供)与半角 θ1/2有关，由式(2)决定［5-6，14］:

则灯平面的某一点A(X，Y，Z)在目标平面上点P(xp，yq，z)处产生的光照强度为［5-6，14］:

由此可得灯平面上所有随机分布的n颗LED灯(Xi，Yi，Z)在目标平面上点 P(xp，yq，z)处产生的光照强度为［5-6，14］:

图1 LED照明系统示意图Fig.1 Schematic diagram of LED illumination

由于将目标平面分为M×N个点，所以目标平面的光照强度平均值如式(5)所示［14］:

目标平面的光照强度标准差σ如式(6)所示［14］:

为了优化灯平面上的LED阵列，使其在光照平面上产生较好的均匀度，我们构造一个评价函数，将求取均匀度问题转换为求评价函数最小值问题，通过PSO算法求取评价函数最小值。评价函数 f如式(7)所示［14］:

其中，(Xi，Yi)为灯坐标，i=1，2，…n。

3 粒子群算法设计

PSO算法是一种基于迭代的优化方法，系统初始化为一组随机解，通过迭代寻优，粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。每次迭代中，粒子通过跟踪自身当前找到的最优解(个体极值)和整个种群当前找到的最优解(全局极值)来更新自己。其原理如图2所示。

图2 PSO算法原理图Fig.2 Principle of PSO

假设在一个D维的搜索空间中，由n个粒子组成的种群 X=(X1，X2，...，Xn)，其中第 i个粒子表示为一个 D 维的向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)Τ，表示第i个粒子在D维搜索空间中的位置，也表示问题的一个潜在值。根据目标函数即可以计算出每个粒子位置Xi对应的适应度值。Vi=(Vi1，Vi2，…，ViD)Τ，其个体极值为Pi=(Pi1，Pi2，...，PiD)Τ，种群的全局极值为Pg=(Pg1，Pg2，...，PgD)Τ。

在每次迭代过程中，粒子通过个体极值和全局极值更新自身的速度和位置，其数学描述及迭代公式如下:

其中，d=1，2，...，D;i=1，2，...，n;ω 为惯性权重;c1和c2为加速因子，一般c1=c2并且范围在0和4之间;rand为(0，1)之间的随机数。

用PSO算法优化LED阵列结构，步骤如下:

Step 1算法初始化

Step 1.1在初始范围内，对粒子群进行随机初始化，包括种群个数、迭代次数、随机位置和速度的初始化;

Step1.2按公式(4)构造LED阵列光照函数;

Step1.3按公式(6)构造适应度函数，即评价函数;

Step1.4初始化每个粒子的适应值，根据LED的个数初始化粒子维数，粒子每维的值表示LED的位置坐标值。

Step2循环处理

Step 2.1对每个粒子，将目标平面的光照函数的标准差σ设为其适应值。与其适应值域所经历过的最好位置的适应值进行比较，如果更小，则将其作为粒子的个体历史最优值，用当前位置更新个体历史最好位置;

Step 2.2对每个粒子，将其历史最优适应值与全局所经历的最好位置的适应值进行比较，若更好，则将其作为当前的全局最好位置;

图3 粒子群优化算法流程图Fig.3 Flow chart of PSO algorithm

Step 2.3对粒子的速度和位置进行更新。

Step 3当适应度值达到满意值或达到一个预设最大代数Gmax时，停止算法，并输出优化后的LED坐标;否则，返回Step 2。

基于以上算法设计给出了粒子群算法的流程图，如图3所示。整个算法过程中不断调整适应值使其变小，使光照平面上光照分布趋于均匀。

4 仿真实验与结果分析

LED阵列优化算法原理如图4所示。系统输入为LED阵列结构以及LED个数，通过系统优化处理后输出为优化后的LED坐标。选择优化两种LED构成的阵列:一种为6颗LED灯组成的圆形阵列，如图5所示，灯均匀分布在半径未知的圆周上，则每个LED灯的坐标可以用半径变量表示，即通过优化圆周半径获得均匀光照分布;一种为9颗LED灯组成的方形阵列，如图6所示，灯与灯之间的距离相等但是未知，则每个LED灯的坐标可以用灯与灯间的距离变量表示，即通过优化灯间距离获得均匀光照分布。运用PSO算法优化目标函数以获得光照分布最优时候的灯位置坐标。

设定光源为完美的Lambertian光源，m=1。灯平面与光照平面距离z=100 mm。将LED坐标代入评价函数，运用PSO算法进行寻优，以获得光照分布最优时候灯的位置坐标。若f极小，则认为照度在目标平面波动最小，分布最均匀。相关初始条件如表1所示。

图4 系统框图Fig.4 Diagram of the system

图6 方形LED阵列Fig.6 Square LED arrays

表1 粒子群算法输入初始化参数Table 1 Initial conditions for PSO algorithm

优化后灯的位置分布如图7和图8所示。

图7 圆形LED阵列Fig.7 Circular ring LED arrays

图8 方形LED阵列Fig.8 Square LED arrays

为验证优化后的LED阵列产生的照度分布是否均匀，我们运用光学仿真软件Tracepro对设计结果进行了模拟。首先建立LED三维模型，发光芯片为0.35×0.35×0.1的立方体，设置每颗LED出射角度符合 Lambertian规律，波长为0.546 1 nm，每个LED光源出射光线条数10 000条。模拟结果如图9和图10所示，其中图9为优化后圆形LED阵列的照度分布图和照度轮廓图，图10为优化后方形LED阵列的照度分布图和照度轮廓图。根据获得的相关照度数据，我们利用Matlab对数据进行处理，剔除边缘极小值，计算了照度的均匀度可以分别达到84%和82.36%。这一结果表明优化后的LED阵列产生了均匀的照度分布。

图9 圆形阵列照度分布和照度轮廓图Fig.9 Irradiance map and illuminance distribution profile of circular ring LED arrays

图10 方形阵列照度分布和照度轮廓图Fig.10 Irradiance map and illuminance distribution profile of a square LED arrays

5 结 论

在分析LED光照规律和粒子群(PSO)优化算法原理的基础上，对LED阵列分布结构用PSO算法进行优化，优化的目标函数为一个评价目标平面照度均匀度的函数。在Matlab中编程获得光照分布最优时候的LED阵列结构数据，并将几何模型导入光学仿真软件Tracepro进行优化模拟。模拟结果表明，优化后的随机分布LED灯阵列照度均匀度较高。不同于传统人工计算方法，这种算法可以通过计算机实现自动优化功能，简单易行。

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