韩孝明

(吕梁学院汾阳师范分校 山西吕梁 032200)

长期以来，质数问题在数学研究领域尤其是数论研究里占着及其重要的地位.许多数学家为寻找质数的规律孜孜不倦，但效果不怎么明显.那么什么样的数是质数？怎么样从自然数中把质数筛选出来？质数有那些性质？有没有最大的质数，质数有哪些用途等等问题一直是质数研究的几个重要内容.本文重点介绍质数的定义，一些简单性质以及寻找质数的一些简单办法.

1 质数的定义

大于1的整数p，如果除了1和p外，没有其他的正约数，则称p为质数，也叫素数或不可约数.如果大于1的整数a不是质数，则称a为合数，也叫复合数.

在质数定义里应该注意两个问题：首先，质数、合数研究的领域是大于1的整数，所以1既不是质数也不是合数.其次，在质数范畴里2是唯一的一个偶质数，其余质数都是奇数.

2质数的性质

定理1：设a为大于1的正整数，若p是a的大于1的最小正约数则p必为质数.

证明：(反证法)假设p不是质数.因为p>1，所以p为合数，那么p必然有1，p以外的正约数q，使得q∣p.

因为p∣a，所以q∣a，于是q是a的1，a以外且小于p的正约数，这与已知矛盾，故p必为质数.

定理4：质数的个数无限.

证明：(反证法)假设质数的个数是有限的，共有n个，它们分别为p1，p2，…，pn.

令a=p1p2…pn+1

如果a是质数，由于a≠ pi(i=1,2,…n),因此质数的个数最少有n+1个，这与假设质数的个数有n个矛盾，所以a不是质数.

由于a不是质数，那么它是合数，则a必有一个质约数b，因为1不能被pi(i=1,2,…n)整除，所以 (i=1,2,…n)不能整除a.而质约数b能整除a,所以b不可……