余红宴，黄凯科

(1.湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002;2.湖北师范学院 教师教育研究与发展中心，湖北 黄石 435002;3.湖北省黄石市第十四中学,湖北 黄石 435002)

1 研究背景

在过去的20年见证人类有史以来学习理论发生的最本质与革命的变化[1]。学习科学致力于 “人是如何学习的？”这一主题的研究，植根于真实的情境，采用除教育心理学外的人类学、社会学、认知科学、信息科学等各领域的研究方法，进行跨学科的合作研究。学习科学的研究目标是首先为了更好的理解认知过程和社会化过程以产生更有效的学习；其次是为了用学习科学的知识来重新设计我们的课堂和其他学习环境，从而促进学习者更有效而深入的学习[2]。数学课例研究是致力于“改进课堂环境中发生的学习”这一目标，通过研究者现场观察、采用社会学、人类学、学习心理学的方法研究课堂教学，改进课堂教学，产生更加高效的课堂教学。

从学习科学的视域来进行数学课例研究是一项有力的尝试。目前，我们正在开展的湖北省教育科学“十二五”规划2011年度重点课题：《运用“巧学案”改善初中生学习动机、学业成绩和学习自主性的实验研究》是一个有学科教育专家、科任教师、管理人员合作的项目。针对现在大部分学校教学的“蛮教笨学”现象，我们提出“慧教巧学”的理念，让教师有智慧的教，学生主动巧妙的学。

2 研究实例：数学学习中正迁移的促进

背景资料:寻找全等三角形:2012年6月7日，初中二年级上午第一节数学课，课题是全等三角形的判定及其应用，教师A使用多媒体讲授。

多媒体显示:问题探究1：已知两个边及其一边的对角相等能判断两个三角形全等吗？为什么？

学生思考3min，教师A点学生回答，回答声音小。教师A说，会的同学举手，全班3人举手。

多媒体显示:图形1：

但是△ABC与△ABD不全等.

观察者视角：学生的反馈让教师A有点不适应，因为这个例子比较经典，学生从寻找全等三角形到错例子还有很大的知识距离。一个判断定理的掌握，举例显得尤为重要，举例主要有正例、旁例、反例。这个属于反例，有难度。让学生在同一图形中抓关系确有困难。

多媒体显示:问题探究2：画一个三角形使得一边长为 3.5cm，一边长为2.5cm 且其所对的角为40°.动手操作、画一画。

教师巡视,下来指导，学生不知如何下手，有的还没有直尺和圆规，不知如何操作。

观察者视角：教师的意图我以为是通过画图操作实现探究三角形形成的可能性，但学生操作能力没有培养好。面对实际动手，显得举步维艰。当时我就有个疑问，为什么是40° ?而不是 30°呢？我很疑惑， 40°加大了数学理解的难度，也可能是教师A在这里忽略了教学的设计。

教师A开始演示，取两条线，长分别为 3.5cm，2.5cm ……画图2

图1 图2

观察者视角：学生产生学习困难，从教学的角度要理解问题操作的难度，作图题涉及的是几何知识的熟练运用。我问我旁边的几位同学，老师在黑板上演示了，你们为什么还是没有操作一遍？他们都说，黑板上有。这个几何作图，若能利用几何画板软件动态作出，那该是什么的学习与教学体验。

多媒体显示:例题1

如图3，OA=OD,OB=OC,求证：△AOB≌△COD.

教师A点学生上来演板。结果出来后，情况不是我们大家想象那样。老师A本意是想让学生利用边角边(SAS)判定定理，学生的表达出了问题。学生表达如下：会做的同学一直在下面笑，老师A也觉得特失败。教师A修改后继续上课。

所以 △AOB≌△COD

观察者视角：为什么直接运用定理的题学生还是出错？其实形式化的证明是几何的高级阶段，不容易掌握其中的数学要义。几何的发展也是分阶段，学生学习几何时，要经历几个阶段的几何水平发展，起初的几何是不需要证明的，如直观几何，主要关注学生的操作水平，用折纸等方式打下几何的经验基础。变换几何是从变换的角度理解几何，平面上的图形是动态的，可以对折、平移、旋转。学生通过变换几何的认识，加快产生图形的内在思维操作过程，产生几何学习的飞跃。理解几何学习的困难，给学生以帮助。

多媒体显示:问题探究3：如图4，AC=BD,∠CAB=∠DBA,你能说明AD=BC吗？说明理由。

观察者视角：教师A设计意图是想让学生利用全等三角形的判定定理，证明△CAB≌△DBA，再得出AD=BC.可是教师A若能领会变换几何的思想，让学生在寻找全等三角形的时候运用平移、对折、旋转三种变换，全等三角形的寻找将是一种什么样的旅程呢？

图3 图4

3 认知学徒制的框架

认知学徒制是艾伦·柯林斯和约翰·西利·布朗在开发基于学徒制经验的学习环境产生的学习科学的新概念。他们认为[2]：

纵观历史，教和学都是以学徒制为基础的。儿童学习如何说话、农民学习农作物种植、裁缝学习制衣服、木匠学习制作家具，但是他们不是在学校学会这些事情的，而是他们的家庭或社区的长辈告诉他们如何做，并且帮助他们学会的。

……

在现代社会，对于绝大部分其他知识来说，学校教育代替了学徒制。

……

当一个人拥有资源和强烈的学习愿望时，他们也经常会雇用一个教练或辅导教师通过学徒制来教他们——这表明即使是现代社会中学徒制仍然是更有效的教育方式。

认知学徒制注重构成学习环境的四个维度：内容、方法、顺序和社会学[2]。在这个框架下研究、探讨在真实环境中的数学课例，发现可以促进学生学习、改进教师教学环境设计的地方。

3.1 内容

内容是专家技能需要的知识类型，主要包括领域知识、策略知识(启发策略、元认知策略、学习策略)。教学设计必须掌握领域知识，即学科具体的概念、事实和程序[2]。课例中学科具体的概念是全等三角形，判定的事实和程序是边角边判定定理，这是一个条件性知识，不易掌握，因为应用这个定理是要注意应用条件，所以教师A设计了反例(探究1、探究2)和正例(例1)、旁例(探究3)反复理解这个条件，让学生理解。教学设计必须掌握策略知识，即启发策略、元认知策略、学习策略[2]。元认知是关于认知的认知，控制执行任务的过程。学习策略是学习领域知识、策略知识的策略。在课例中，教师A试图促进学生产生正迁移，可是学生的正迁移反馈情况并不理想。所以教师的教学设计应该是基于设计的教学，其中还要体现教师的策略知识的设计。

3.2 方法

方法是促进专家技能发展的方法。认知学徒制的教学方法主要有六种：示范、辅导、脚手架、表达、反思、探索[2]。

方法的设计中的示范主要是指通过专家演示执行任务的过程，以便于学生观察并对需要完成的目标过程形成概念模型[2]。例中教师A的规范的示范较少，主要是通过问题探究，学生的学习限于表面，有的时候不理解，因为没有教师的规范示范，学生没有可依据的执行完成任务的概念模型。

方法的设计中的辅导包括观察学生执行任务并为其提供建议、反馈[2]。比如教师可以让学生问问题，阐明困难的原因、归纳总结等。课例中研究者观察到教师A没有太多的辅导设计，对于学生产生的学习困难没有辅导，只是加以改正说明，学生的学被放到一边，这对于促进学生的学是个缺陷。

方法的设计中的脚手架是教师为帮助学生执行任务而提供的支持[2]。脚手架体现了教师在帮助和促进学生的支持设计。课例中的教师A的例题设计都是学科教学比较典型的问题，可是没有设计脚手架，学生没有得到帮助与支持，学生的反馈也说明这一点，学生觉得很难，可教师认为很简单，这中间的差距恰好说明了脚手架的存在以及对学生学习的促进作用。脚手架的提供的例子可以是减缓问题的坡度，提供活动的框架等设计或建议。

方法的设计中的表达包括让学生明确陈述某个领域中的知识、推理或问题解决的过程[2]。把学生学习的内在思维过程显化为数学语言，对于学生的数学学习是一个有效的促进方法。“哑巴数学”的现象比较普遍，就是存在数学的表达的设计的忽略，教师只是传递知识，学生只是接受知识。基于学的设计要考虑学生的学，还要考虑学生的数学语言表达。包括数学语言的听说读写思的培养。课例中教师A虽然也以提问的方式教学，探究的形式提问，可是为什么没有促进学生的学习正迁移呢？学生的内部思维没有得到展现，学生演板出现的问题和错误，教师没有反思深层原因，也没有给机会学生表达和阐释，学习只是接受教师的修正，没有自己的“话语”，长期的“失语”使得学生的数学学习的主体性丧失，参与性学习减少，智力参与活动与深层学习缺失。

方法的设计中的反思是指学生将在自己的问题解决过程与教师、同学对比。鼓励学生反思可以促使学生的批判思维的形成，与教师或专家的内部认知模式进行比较，其目的是从专家或教师的行为的关键特征的“抽象重播”[2]。课例中的反思很少，使得学习的思维停留在记忆和模仿。没有反思，就不可能形成“抽象重播”，没有情境的学习使得学生的学习没有思维与行为的参照和重复性，数学的学习变得很困难。数学的学习在本质上是一种“模式”的学习。这种模式是可迁移的，是从在反思中归纳专家的关键行为而获得的。

方法的设计中的探索是指引导学生自主寻找解决问题的模型[2]。在课例中，虽然都是以探究的形式出现的，但是学生的自主性不强。教师A的方法设计中没有真正探索。学生没有形成对教师A的整个设计意图的认识，不是在教师的引导下探索问题，而是教师提问，学生回答,不会或错误，教师给予答案或纠正。这种模式不会产生探索，因为学生的主体性丧失，话语丧失，自主性消失了。探索的方法设计让教师认识到要设计探索，如课后开放性问题、课堂的题组设计等都可以形成探索的源泉。

3.3 顺序

学习的顺序设计是指引导学生活动的先后顺序。一般是逐渐增加复杂性、逐渐增加多样性、全局优先局部等[4]。结合课堂中学习的发生、发展的逻辑的特点，设计顺序，优化学习过程。课例中的问题设计没有体现顺序，难度没梯度，知识重点知识的罗列，顺序的功能没有体现，其中几个探究问题还有进一步发展的可能。

3.4 社会学

认知学徒制的社会学视角主要涉及情境化学习、实践共同体、内部动机、促进合作等方面的视角[2]。课例中实践共同体和促进合作方面比较缺失的。课堂中“话语模式”基本上是“教师问、学生答；不会，教师讲解；错误，教师纠正”。没有生生的合作和交流与班级的学习共同体和合作的相互学习模式的形成，课堂社会学的视角的设计是今后应该努力的一个方面。

4 建构主义的视角

建构主义学习观认为，学习活动不应该是由教师向学生传递知识，而是帮助学生建构自己知识的过程，学习者不是被动地吸收知识，而是主动地建构信息的意义，同时把社会性的互动作用看做促进学习的源泉[3]。人们基于他们已经知道的知识去建构新知识和新知识的理解。建构主义者认为不管如何教一个人，所有的知识是基于已有的知识而建构起来的[6]。这些知识成为新的教学的逻辑起点。学习就是学习者的意义建构、是社会互动与协商。数学教育家费赖登塔尔就强调要关注学生的数学现实与数学经验。

社会建构主义认为社会对个体知识的建构起着重要的支持和促进作用，并且认为人的高级心理发展是自然性与社会性相互作用内化的结果[5]。数学知识的基础是语言知识、约定和规则而语言就是一种社会建构，主观的数学知识只有得到社会数学专业共同体的承认才能转化为客观知识,数学学习既是一个“个体建构” 的过程，同时也是一个“文化建构”的过程，教学设计中要体现情境性，建构学习者的意义，增加数学文化环境的预设。

5 情境认知与学习的迁移促进

学校教育的一个目标是为了使得学生能灵活地适应新的问题和情境而做准备，即学生的知识迁移能力。我们可以从三个方面认识影响学习的迁移促进因素：首先是知识性质。Anderson把知识分为两类：陈述性知识与程序性知识，探讨知识的表征性质以及它们的功能。Mayer提出广义的知识观，把知识分为三类：语义知识；程序性知识，策略性知识。策略性知识对于如何学习、记忆，包括应用策略进行自我监控。策略知识的获取受原有知识背景、反省认知发展水平、动机水平的影响[3]。第二是学习策略。学习科学的新研究表明,帮助学生对自己学习进行自我监控的重要性。元认知就是对认知的认知，包括关注于理解、自我评价和根据所学和需要改进的地方进行反馈的活动，对知识迁移到新情境的程度得到增强[1]。第三是情境认知。先前的知识可能帮助或妨碍新信息的理解。有效的教学促进正迁移，这是通过主动确定学生带到学习情境相关知识与能力并在此基础上的进行建构来实现的[1]。情境以强有力的方式影响着学习及其迁移。研究表明，知识与认知技能的获得均高度的依赖于获得它们的情境。学习迁移是解决问题等创造性思维的核心能力，是学生学习过程中必不可少的和期望出现的现象[4]。

6 课例的迭代设计

基于设计的研究是学习科学的对于学习环境设计的研究方法之一，柯林斯希望发展一种教育的科学，是一门设计的科学。他们认为设计是对未来的创造，在多次循环迭代中，对理论进行“渐近式修正”，也是一种面向实践的发展性研究[5]。课例的迭代设计参考思路如下：

1)明确设计目标。学习目标就是正确的使用边角边(SAS)判定定理，是属于条件性情境的创设，通过正例、旁例、反例说明判定定理使用的条件。

多媒体显示:例题1 如图5，OA=OD,OB=OC,求证：△≅△COD.

观察者视角：直接运用SAS判定定理，对特定的图形进行识别，全等三角形的寻找，运用变换几个的观点可以迁移到下面的问题。

多媒体显示:例题2如图6，AC=BD,∠CAB=∠DBA, 你能说明AD=BC吗？ 说明理由。

图5 图6

观察者视角：对这个问题直接运用SAS判定定理，失去了一次深层学习的机会，若对上题图形作旋转、平移、对折可以变为这个问题的图形，让图形内在的联系表现出来，产生学习迁移。即下图7的思路：

2) 创设具体情境

多媒体显示:探究1:如图8.有一池塘，不知池塘对岸A,B两点距离，现已取定池塘边一点O，测得OA，OB之距离，问可否知道AB之距离？

观察者视角：创设情境，让学生联系日常生活实际，联系例题1，拓展几何的应用，可以建构例题1的图形。延长AO,BO至C,D.使得OA=OC，OB=OD联结CD,测量CD即可。

3)促进深层学习

多媒体显示:探究2,如图9，画一个三角形使得一边长为 4cm，一边长为 2.5cm且其所对的角为 30°,动手操作、画一画。

图7

图8 图9

观察者视角：通过学生实际的动手操作，获得数学活动经验，探究AB的临界值的重要价值。分三类问题：大于2cm,等于2cm,小于2cm.课例中的探究就是存在两个符合条件三角形的可能性，如是探究问题：已知两个边及其一边的对角相等能判断两个三角形全等吗？为什么？

7 结论与建议

促进学生的学习的有效迁移，是我们教学设计致力的一个设计目标。为学习而设计的教学向为学习的有效迁移转化。知识的学习永远是有限的，但学习的迁移能力是在负责的新情境中仍然可以适应的能力，是学校教育所期待出现现象,是有效学习的一个重要的标志。从学习科学的视角，关注人的学习。基于设计的研究方法，面向实践的建构性发展，关注学习环境的创设和认知学徒制的范式的形成，为课例研究提供一个新的视角和尝试。

教学设计者在设计与教学实践中,要考虑学生自己的先前的知识基础,要创设知识学习迁移的学习环境，发展学生的学习的元认知等认知策略，考虑学生的学习的社会性，加强学生之间的对话与交流的设计，促进班级“学习共同体”学习文化的形成。

参考文献:

[1]约翰·D·布兰斯福特.人是如何学习的——大脑、心理、经验与学校[M].高文,译.上海：华东师范大学出版社,2002.

[2]R·基思·索耶.剑桥学习科学手册[M].徐晓东等,译.北京：教育科学出版社,2010.4.

[3]喻 平.论数学解题教学的现代理论基础[J].数学传播，2002,26(4),60～68.

[4]王静文.情境认知与学习[M].重庆：西南师范大学出版社,2005.

[5]高 文.学习科学的关键词[M].上海：华东师范大学出版社,2009.