竖直面内的圆周运动模型分析

2013-11-04柴彦龙

卷宗 2013年5期

关键词：轻杆支持力最高点

柴彦龙

高中物理教学中，竖直面内的圆周运动问题较为常见。相关内容也是学生普遍感觉到难以理解、难以处理的。本文中就此问题进行了系统的总结，希望对广大物理教师的教学和学生的学习有所启发。

竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动（带电粒子在匀强磁场中运动除外），运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

一、两类模型——轻绳模型和轻杆模型

1.轻绳模型

运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力。

所以：

（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有mg=m，式中的vmin是小球通过最高点的最小速度。

（2）质点能通过最高点的条件是v≥vmin=；

在最高点可能存在两种情况：

（1）即由重力和拉力的合力提供向心力

（2）只有重力提供向心力

在最低点只有一种情况

绳上一定有拉力

2.轻杆模型

运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。

所以质点过最高点的最小速度为零，（临界速度）

在最高点可能存在四种情况：

（1）当v=0时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即N=mg；

（2）杆上弹力为零，由重力提供向心力v=

（3）当v>，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；即

（4）當0

在最低点只有一种情况

杆上一定有向上的拉力

两类模型的最大区别在于，在圆周最高点能否提供向上的支持力。实际中可依据此判断具体题目中物理情境下属于哪种模型。

例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

本题可归类于轻绳模型。

例2 如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（）

A.速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动

B.当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力

C.当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg

D.只要v≥，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg

解：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，由机械能守恒知mg2R=mvmin得vmin=2，所

以A错，mg2R+v02=mv2得v0=，此时=mg即重力刚好能提供

向心力，小球对轨道无压力。最低点时的向心力为5mg，向心力相差4倍，B对，C错，最高点F1=m-mg，最低点F2=m+mg

由机械能守恒有mv12+mg2R=mv22，所以F2-F1=6mg，D对。

本题可归类于轻杆模型。在这两类基本模型的基础上，还可进行相应的提高和升华。例如

在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时细线与竖直方向夹角为θ（如图3）。现给小球一个垂直悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。试问：