姚 瑶，蔡力勋，包 陈

（西南交通大学力学与工程学院，四川 成都 610031）

0 引 言

Rice[1]于1968年提出了与积分路径无关的参量——J积分，在弹塑性断裂力学的发展中起到了非常重要的作用。采用J积分作为表示裂纹尖端应变集中特性的平均参量，避免了直接计算在裂纹尖端附近的弹塑性应力应变场。获取断裂韧性JIC的J阻力曲线所用塑性功Up需由载荷与加载线张开位移VLL的关系曲线得到。但是现广泛应用于断裂韧性测试中的FFCT（如图1），即在裂纹嘴测量裂纹张开位移的CT试样以及SEB（如图2）均不能直接获取其加载线/施力线位移。现行断裂韧性测试规范[2-4]中并未提供FFCT及SEB试样裂纹嘴张开位移V0与加载线/施力线裂纹张开位移VLL之间的转换关系。美标ASTM E1921-2011[5]推荐采用比例系数0.73描述FFCT试样VLL-V0转换关系。蔡力勋等[6-7]基于台阶型CT试样（load line compact tension，LLCT）和FFCT试样的裂纹长度柔度计算式推导了裂尖小范围屈服条件下FFCT试样的VLL-V0换算公式；并依据相同的理论，给出了SEB试样对应的弹性转换公式。包陈、蔡力勋等[8]根据刚性转动假设和功等效的方法，推导了FFCT试样在裂纹面发生较大转角时的VLL-V0转换公式，石凯凯、蔡力勋[9]等依据SEB试样转动几何关系推导了相应的弹塑性转换公式，但该公式的精度还有待进行细化分析。本文基于弹塑性有限元（finite element analysis，FEA）精细网格计算，针对材料硬化以及转动角度对FFCT和SEB试样的COD转换公式的影响进行了探讨，从而对刚性转动的有效性进行了验证，并分别提出了FFCT试样及SEB试样更高精度的COD换算公式。

图1 FFCT试样

图2 SEB试样

1 有限元计算网格对精度的影响研究

单元网格的划分在有限元仿真分析中是很重要的一个环节，结构关键部位的网格疏密程度直接影响了计算结果的精确程度。为了消除网格疏密程度对有限元计算结果的影响，现对不同裂尖网格密度进行对比计算。定义FFCT试样和SEB试样裂纹尖端约2 mm范围内网格数量约为8 000时为一倍网格密度。在此基础上对网格密度进行加密，分别对0.5倍、3倍、6倍、8倍、10倍、15倍及 20倍裂尖网格密度进行有限元计算。图3所示分别为FFCT试样和SEB试样加载线/施力线张开位移VLL与20倍网格密度结果之间的相对误差。可以看出，随着裂尖网格密度的增加，两种试样的加载线张开位移VLL计算值趋于稳定，综合考虑计算成本、结果精度等因素，选取8倍裂尖网格密度进行分析计算，两种试样的有限元模型如图4所示。

2 有限元精细网格计算结果分析

对于符合幂律硬化特征的材料，其单轴本构关系可用Hollomon模型描述：

图3 不同裂尖网格密度加载线张开位移VLL与20倍网格密度结果之间的相对误差

图4 有限元计算模型

式中：E——弹性模量；

σy——名义屈服应力；

n——材料应变硬化指数。

假设模型满足塑性增量理论，除了上述3个参量，描述材料弹塑性本构关系的参量还包括泊松比ν。考虑塑性不可压缩，塑性阶段泊松比为0.5。基于有限元分析结果，弹性泊松比对VLL-V0结果影响甚微，故取弹性泊松比为0.3。为了探究裂纹长度及材料本构与COD转换公式之间的关系，选取不同裂纹长度与宽度比a/W（0.5～0.75）、屈服应力σy（100～800MPa）、应变硬化指数 n（0.05～0.3）进行精细网格计算。

2.1 FFCT 试样

文献[6]中给出了裂尖小范围屈服时FFCT试样VLL-V0转换公式，如式（2）所示。

式中：a——裂纹长度；

W——试样宽度；

系数di——分别为d0=0.225 5，d1=1.835 2，d2=-2.8064，d3=1.8742，d4=0.3276，d5=-0.6812。

文献[8]中推导了FFCT试样裂纹面发生较大转动时的转换公式：

式中：H——加载孔中心到裂纹面的距离；

θ——FFCT试样裂纹面绕转动中心转角的一半；

D——裂纹嘴COD引伸计标距的一半；

R——转动半径。

不受材料本构的影响，计算公式为

其中：k0=150.155 4，k1=-1 427.620，k2=5 712.630，k3=-12131.87，k4=14357.50，k5=-8967.939，k6=2309.530。

图5为不同裂纹长度、不同本构关系所得有限元结果与由上述3种转换公式计算所得结果。分析图中数据可得以下结论：

图5 FFCT试样不同裂纹长度a/W、不同材料对应的转换比VLL/V0

（1）当转动角度θ接近零度时，转换比VLL/V0基本相同，即与材料性能无关；随着角度增大，转换比会出现一段非线性增长，当角度≥3°后，该比值趋于平稳，即转动角度θ约为零度时，转动中心位于某一点上，随着载荷的增加，裂尖形成塑性铰，转动中心会产生少许移位；当转动角度≥3°时，转动中心趋于稳定，此时刚性转动假设成立。

（2）固定a/W，转动比会随着硬化指数n或屈服强度σy的变化而变化，但每种工况下均落在一个很窄的带宽内。由此可见，材料性能对转换比的影响是有限的。

（3）当a/W增大时，分散带带宽逐渐减小，由此可见，材料的影响随着a/W的增大逐渐减弱。

（4）式（2）和式（3）与精细网格化 FEA 结果之间均存在较大误差，因此需要提出新的COD转换公式，使其比值落于带宽内，从而提高计算精度。

2.2 SEB试样

金蕾、蔡力勋等[7]提出了裂尖小范围屈服时SEB试样VLL-V0转换公式：

式中：S——SEB试样的跨距；

系数di——分别为d0=0.831 70，d1=-0.649 80，d2=-2.1915，d3=3.7311，d4=-2.4600，d5=0.73900。

石凯凯、蔡力勋等[9]由SEB试样几何关系（见图6），推导得到了考虑转动效应的弹塑性转换公式：

式中：r1、r2——支撑辊和加载辊的半径。

R——转动半径，由式（4）计算得到，其中系数ki分别为：k0=13.4451，k1=-51.77885，k2=63.90878，k3=26.24999，k4=-145.89489，k5=137.81881，k6=-43.8174。

图6 SEB试样转动图解

图7为SEB试样有限元计算结果与由式（5）和式（6）计算所得结果对比图。可得出与2.1节中的结论基本相似。

图7 不同裂纹长度a/W、不同材料对应的转换比VLL/V0

3 COD转换公式

3.1 FFCT试样

由2.1节结果分析可知，当裂纹面转动角度θ较小时，VLL-V0转换公式与材料属性相关，其中所需考虑的参数包括裂纹长度a、屈服应力σy、材料应变硬化指数n等；因此，要得到由所有参数耦合的精确函数关系较为困难。依据图8中几何关系，提出如下VLL-V0转换公式：

式中：R——裂纹面绕某一旋转中心的转动半径，由上述式（4）进行计算。

图8 FFCT试样转动图解

该式忽略了材料性能参数及FFCT试样裂纹面转动角度θ的影响，形式十分简单。

图9给出了不同材料、不同a/W情况下，ASTM E1921-2011推荐公式、式（2）、式（3）以及本文新式（7）与FEA结果之间的相对误差，表1给出了公式结果与有限元结果之间的最大相对误差。由此可见，当a/W>0.55时，本文提出的COD转换公式的误差均在3%以内，1%误差时的置信度较高，比现有公式精度有了很大改善，形式简单，计算方便。

表1 FFCT试样COD转换公式与FEA结果相对误差最大值

3.2 SEB试样

与FFCT试样相同，想要拟合出精确转换公式较为困难，故通过有限元仿真计算，可得SEB试样施力线位移VLL与裂纹嘴位移V0之间的关系：

图9 FFCT试样不同a/W下VLL/V0与FEA结果相对误差

式中：R——试样裂纹面绕转动中心转动的半径，由式（4）进行计算；

z——用于测定缺口张开位移的引伸计装卡位

置距离试样表面之间的距离，即粘贴刀口厚度。

实验中只要测得了裂纹嘴张开位移，带入式（8）便可得施力线张开位移，用以计算J积分。

图10 SEB试样不同a/W下VLL/V0与FEA结果相对误差

表2 SEB试样COD转换公式与FEA结果相对误差最大值

图10给出了多种不同材料、4种不同a/W情况下，式（5）、式（6）以及本文新式（8）与 FEA 结果之间的相对误差，表2给出了公式结果与有限元结果之间的最大相对误差。由此可见，当a/W>0.55时，本文提出的COD转换公式的误差均在3%以内，比现有公式精度有了很大改善，能够更好地用于断裂韧性测试中。

4 结束语

（1）通过对FFCT及SEB试样裂尖不同网格密度进行有限元分析，提出了获得稳定结果的计算模型，为得到VLL-V0转换公式奠定基础。

（2）基于有限元分析，对现有两种试样的转换公式进行了误差分析，并提出了分别针对FFCT及SEB试样形式简单且计算精度较高的COD转换公式。

[1]Rice J R，Bosengren G F.Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1968，16（1）：1-12.

[2]GB/T 21143—2007金属材料准静态断裂韧度的统一试验方法[S].北京：中国标准出版社，2008.

[3]ISO 12135—2002（E） International standard of unified method of test for the determination of quasistatic fracture toughness[S].International Organization for Standardization，Switzerland，2002.

[4]ASTM E1820-08a Standard test methods for measurement of fracture toughness:Annual Book of ASTM Standards[S].Philadelphia，PA：American Society for Testing and Materials，2008.

[5]ASTM E1921—2011 Standard test method for determination of reference temperature，To， for ferritic steels in the transition range[S].American Society for Testing and Materials，2011.

[6]蔡力勋，包陈，金蕾.金属材料断裂力学柔度测试技术问题与发展[J].中国测试，2009，35（1）：9-18.

[7]金蕾，蔡力勋.基于材料断裂韧度测试的COD换算方法研究[J].机械强度，2010，32（1）：116-120.

[8]包陈，蔡力勋，石凯凯.直通型CT试样COD弹塑性换算研究[J].北京科技大学学报，2011，33（7）：863-867.

[9]石凯凯，蔡力勋，包陈.单边裂纹弯曲试样的转动修正方法研究[J].机械强度，2012，34（2）：250-255.