牛玺荣

（1.山西省交通科学研究 黄土地区公路建设与养护技术交通行业重点实验室，太原 030006；2.长安大学 特殊地区公路工程教育部重点实验室，西安 710064)

现代建筑体系建立后，钢筋、水泥、混凝土的广泛应用不仅耗费了大量的能源、材料、土地和水等资源，而且造成了严重的环境破坏。据统计，现代建筑的全过程不仅耗用了全球50%的能源、42%水资源和50%的原材料，而且导致了全球50%的空气污染、42%的温室效应、50%的水污染、48%的固体废物、50%氟氯化物的排放。建筑高能耗对社会造成了沉重的能源负担，已成为制约我国可持续发展的突出问题［1］。

我国在“十二五”期间，仍将扩大内需作为重点发展方向，随着扩大内需政策的进一步实施，公路建设任务仍将会日益繁重。作为公路建设管理工作的重要组成部分，如何在贯彻“可持续发展”的理念下管理好有限的建设资金，以使其最大限度的发挥作用，是摆在每一位管理者面前的一项重要课题。合理的确定和有效的控制工程造价是造价管理最基本也是最重要的任务之一，而在目前市场经济的条件下，影响工程造价的诸多因素中，比较难以控制也是较为混乱的就是材料费，尤其是地方材料。

在公路工程成本中，材料费平均占50%左右，材料的采购、运输、储存与管理在工程施工中占重要地位［2］。国内工程技术人员和科研工作者就建筑材料经济指标的计算以及选优等方面大量利用了线性规划法，涉及到水利、铁路、公路等诸多行业［3-4］。曹征海［5］较早运用线性规划提出了建筑材料供应分配的最优方案。谢时雨［6］在水电站施工建筑材料的调配中利用线性规划法推求了3个水泥厂向4个工地供应水泥的最优方案。黄玉刚［7］（2006)利用线性规划法计算了铁路工程材料经济运距问题。赵祖林［8］将线性规划法用在了土石方平衡运输和调配中，并且取得了满意的效果。但将线性规划法用在公路路基填料的调配上报道较少。

山西忻（州)五（台山)高速公路沿线有土、石料、砂砾、砂、石灰、工业废料、水泥、水等地方性材料和资源，由于其分布相对比较分散，加上忻五高速公路路线作业面较长，考虑到“因地制宜、就地取材”的原则，筑路材料的选择和调运存在最优方案的选择问题。下文以路基填料为例，介绍线性规划法在路基填料调运中应用。

1 线性规划法及其求解方法

1.1 线性规划法

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素，其数学模型的三要素具体为：

1)与自变量有关的若干个线性约束条件；

2)自变量的取值限制；

3)关于自变量的线性目标函数值。

线性规划的一般形式为：

单纯形算法和大M法只考虑最小值问题，即

对于最大值问题，可根据线性规划的对偶定理转化为最小问题。地方性材料的利用问题主要涉及材料费的问题，所以解决的是最小值问题。

1.2 求解方法

求解线性规划的方法包括图解法、单纯形法、修正的单纯形法、大M法、变量有界单纯形法等。最基本的方法是单纯形法，不管是修正的单纯形法、大M法，还是变量有界单纯形法，最终都是转换成基本单纯形法求解。本文重点介绍单纯形算法的基本原理和求解步骤。

1.2.1 单纯形法的算法原理

单纯形法的基本思路是将可行域中某个基本可行解转换到一个新的可行解，同时使得目标函数的值有所改善。

用单纯形法求解线性规划，应先把一般形式转换为标准形式再求解，即通过引进人工变量，将不等式约束变为等式约束，具体的操作过程可参考运筹学或线性规划方面的书籍。

1.2.2 单纯形法的算法步骤

用单纯形算法求解如下线性规划问题

的步骤如下；

a.确定初始基变量矩阵B，求解方程。

b.令xN＝0，计算f＝cBxB.其中xB和xN分别代表基变量和非基变量的值；cB表示基变量在目标函数中的系数。

c.求解方程ωB＝cB，对于所有非基变量计算判别数zj-cj＝ωpj-cj，其中pj为非基变量在约束系数矩阵中相对应的列，令zk-ck＝max（zj-cj)，如果zk-ck≤0，则停止计算，输出最优解，否则转d。

d.求解方程Byk＝pk，若yk的每个分量均不大于0，则问题不存在最优解，否则转e。

当求解变量比较多时，计算过程可以在计算机上编程实现。

2 路基填土的选择

忻五高速公路K0—K43为平原微丘区，大部分段落为填方段落，本文路基填土选择的计算过程以忻五高速公路路基第二合同段（K15＋210—K32＋000)主线为例，路基填筑段落以1km为一个单元，填方数量见表1。因挖方运距相对较短，且挖方填料一般都在本合同段内使用，不存在购买问题，故填料选择时未考虑挖方利用情况，材料费主要由较远处的料场调运产生。

表1 路基二合同段填方段落及数量

经过调查平原微丘区主要土场有部落、南王、闫徐庄、王家庄、青石北街、望景岗和黄土坡7处，望景岗和黄土坡已进入山岭重丘区，运输条件较差，可行的取土场为前5处。每个取土场可供的土方量按310000m3计，取土场相关信息见表2。取土场沿线分布情况见图1所示。

图1 取土场沿线分布示意图

土方运费按0.4元／（km·m3)计，不考虑各料场的开采费用、不同运输道路的差异及覆盖层摊销、松实方换算等，仅计算运费。计算运距时，以取土场至填筑单元（段落)中间桩号为准。计算后土方运费单价如表3所示。

表2 路基取土场统计表

表3 土方单位运费（aij)表（系数矩阵) 元／m3

与一般数学规划问题类似，路基填土的选择主要包括目标函数的建立、约束方程的确定和决策变量的限制三大步骤。

2.1 目标函数

式中：Vij为取土场i运往填筑区j的填筑用料，m3；Ci为料场i单位体积填筑料的开采单价，元／m3；Cij为单位体积填筑料从取土场i运往填筑区j的运输单价，元／m3。为方便分析假定Ci＝0。

2.2 约束方程

2.2.1 储量约束

填筑土方运输数量不能超过该取土场的开采量，即：

填筑需要量约束，填筑段落运输土方量等于需求数量，即：

2.2.2 决策变量的非负条件

以上问题为不平衡运输问题，根据上述模型列出本问题的数学方程组如下：

因数据较多，需要引入多个松弛变量，求解较为复杂，本文采用Matlab提供的规划求解方法进行分析［9］。以下为求解的部分源程序：

其计算结果见表4。

表4 各取土场土方调配结果 m3

通过对各约束变量的敏感性分析可知，采用优化调配后方案为最优解。优化后运费为9591087元。

若以表3中85个系数矩阵的平均值作为平均运费，则其为8.07元／m3。若以平均运费为基准计算总运费，则产生的总运费为（8.07×1528495＝)12338263元。由此可见，采用线性规划调运路基填料节约运费2747176元，经济效益显著。

3 结束语

通过线性规划法在忻五高速公路路基填料调运中的应用，大量降低了材料运费。可以认为所建立的线性规划数学模型合理可行，为降低材料投资额提供了理论基础，可以为类似工程所借鉴。

线性规划法在工程实践应用过程中作了诸多假定，并不能真实反映实际情况，如合同段内借方的无偿利用带来的对优化求解的干扰，以及人为和社会因素等对约束方程的影响。应在工程实施过程中随 时调整目标函数和约束方程，以求调配方案的最优。

［1］董娟.村镇住宅建设中基于地方材料的适宜技术［J］.新建筑，2010（3)：75-78.

［2］邬晓光，彭志苗.公路施工料场经济供应范围研究［J］.华东公路，1995（4)，72-74.

［3］雷英夏.公路工程材料价格波动的影响及处置对策研究［J］.山西交通科技，2008（3)：15-19.

［4］牛玺荣，刘少文.地方性筑路材料利用价值评价方法及其影响因素［J］.太原大学学报，2011，12（3)：109-112.

［5］曹征海.运用线性规划选择建筑材料供应分配的最优方案［J］.建筑经济研究，1982（2)：41-43.

［6］谢时雨.用线性规划调配水电站施工建筑材料［J］.农田水利与小水电，1988（1)：41-42.

［7］黄玉刚.浅析线性规划法在铁路工程材料经济运距计算中的应用［J］.铁道勘测与设计，2006（1)：39-42.

［8］赵祖林.土石方平衡运输优化线性规划的Vogel解法［J］.河南水利与南水北调，2009（10)：142.

［9］龚纯，王正林.精通MATLAB最优化计算［M］.北京：电子工业出版社，2009.