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(宁波市第二中学 浙江宁波 315000)

自然数的等差分拆类型的探究

●江一鸣

(宁波市第二中学 浙江宁波 315000)

对高中数学教学颇有研究，十分重视对学生思维品质的培养，尤其在利用计算解决问题的教学探索中，有独特的见解.代表作《自然数的等差分拆》被评为浙江省第十届自然科学二等奖.

把自然数表示成自然数所组成的等差数列之和的形式，本文称为等差分拆.自然数的分拆问题古老而有趣，易尝试，不易探求一般规律.关于自然数的等差分拆的问题，虽在文献[1]中作了一些研究，但关于存在哪些类型的等差分拆问题，笔者再次通过运用计算机作辅助，获得了更多的数据，经分组、分类处理，发现了自然数所含因素与等差分拆的项数之间存在的某些结构关系;然后，历经归纳、合情推理得到一组基本结论，并在验证基础上给出了论证.本文呈现探究过程，与同行分享.

首先，用True BASIC语言，编程并运行,把结果归类如表1.

表1 自然数31～50等差分拆类型及项数统计表

在文献[1]中对自然数1～30等差分拆已具体列出，这里不再重复.经研究可知：素数均不能拆成自然数等差数列之和.通过分析自然数50以内等差分拆类型和项数与自然数所含不同因素之间的关系，探究了可等差分拆类型及种数的具体结论.

1 项数为奇数的自然数等差分拆

根据文献[1]中自然数的等差分拆的数据和部分结果，结合表1的归类数据可得如下结论：

结论1若自然数Sn可表示为3K(K≥2,K∈N)型，则存在项数为3的等差分拆有K-1种，公差d分别为1，2，3,…,K-1.

通过归纳上述结论，并猜想出如下一般性结论：

证明不妨记此2r+1项的等差数列为

a1,a2,a3,…,ar，ar+1,…,a2r+1,

利用等差数列的等和性，知

a1+a2r+1=a2+a2r=…=ar+ar+2=2ar+1,

此时

a1+a2+a3+…+a2r+1=(2r+1)ar+1,

而Sn=(2r+1)K,故此等差数列中间项ar+1=K.

记等差数列{ar}的首项为a1，公差为d，则

ar+1=a1+rd(a1≥1,d≥1,a1d∈N+)，

即

K=a1+rd,

所以

a1=K-rd≥1，

从而

K-rd,K-(r-1)d,…,K-d,K,K+d,K+2d,…,K+rd.

定理2对任一自然数Sn与某一奇数2r+1(r∈N+),若Sn不整除2r+1，则Sn不可能存在2r+1项的等差分拆(可用反证法证明，略).

2 项数为偶数的自然数等差分拆

2．1 项数为4的自然数等差分拆

2.1.1Sn=4K型

分析自然数16，20，24存在4项等差分拆各1种.自然数28，32，36存在4项等差分拆各2种.而自然数40，则存在4项等差分拆有3种.

于是归纳猜想得出结论4.

2.1.2Sn=4K+2型

自然数10，14，18其4项等差分拆各有1种,自然数22，26，30其4项等差分拆各有2种,自然数34，38，42其4项等差分拆各有3种，于是归纳推理得出结论5.

2.2 项数为6的自然数的等差分拆

在处理项数为6的等差分拆的种类时，发现与项数4的等差分拆有类似之处，大致也发现存在2类：Sn=6K+3型和Sn=6K(K≥6,K∈N)型.

首先，因为6项自然数等差分拆各项最小和为1+2+3+4+5+6=21，即21是自然数中能够被分拆6项等差数列之和的最小数.又可知自然数21，27，33，39，45，各存在6项等差分拆有1种,自然数51，57的6项等差分拆有2种，等等，同理可归纳得：

2．3 项数为2p(偶数)的自然数等差分拆

综上所述从结论4至结论7，可对分拆项为偶数项的等差分拆种类作出如下2个推测：

证明事实上，若自然数Sn存在项数为2p的等差分拆，不妨记为

a1,a2,a3,…，ap,ap+1,…,a2p(p≥2).

根据等差数列的等和性，有

a1+a2p=a2+a2p-1=…=ap+ap+1,

因此

Sn=p(ap+ap+1).

对于此数列的中间2项ap，ap+1，其和ap+ap+1的奇偶性有且只有2种情况：即ap+ap+1为偶数或ap+ap+1为奇数.

(1)当ap+ap+1为偶数时，则ap与ap+1同为奇数或同为偶数，于是可设ap=m-d，ap+1=m+d(d∈N+,m∈N+)，则

Sn=p(ap+ap+1)=p[(m+d)+(m-d)]=2pm.

已知Sn=2pk，从而K=m.依此等差数列的各项可表示为

m-(2p-1)d,…,m-d,m+d,m+3d,…,m+(2p-1)d，

此数列首项

a1=m-(2p-1)d≥1，

得

(2)当ap+ap+1为奇数时，则ap与ap+1恰为一奇一偶.由ap

ap=m-d，ap+1=m+1+d(d∈N,m∈N+),

故

根据此等差数列的和为Sn=2pK+p，其数列各项可统一表示为

K-(p-1)-(2p-1)d,…,K-1-3d,K-d,K+1+d,K+2+3d,…,K+p+(2p-1)d，

此等差数列首项为

a1=K-(p-1)-(2P-1)d≥1，

从而

(2p-1)d≤K-p,

即

定理5对任一自然数Sn,若Sn不能表示为

的形式，则Sn不可能存在2p项的等差分拆(证明可用反证法，易证略).

例2用上述定理来解析数“36”的等差分拆类型及种数，可作表2进行说明.

表2 自然数36等差分拆类型及种数表

综观上述，自然数Sn小些，易求得等差分拆的类型及种数，并能快速写出所有的具体分拆的等差数列.如果自然数Sn增大，则借助计算机强大的计算功能分析解决更为快捷.限于篇幅，本文不再例举.

随着浙江省实行高中新课程改革，“算法”内容被引入高中数学教学，计算机能够作为一种解决问题的研究工具，被大家进一步认识，并且本文是很能说明“作用”的一个好例.同时，本文所涉及到的数据处理方法和在探究过程中所反映出的“归纳推理”等重要数学思想方法的运用，对数学思维能力的提升大有裨益.

[1] 江一鸣.自然数的等差分拆[J].数学教学,1997(5):29-30.

江一鸣，男，1957年出生，现为宁波二中副校长.1980年参加工作至今一直耕耘在教学一线.2000年被评为浙江省数学特级教师，2002年被评为宁波市名教师，2007年被评为浙江省优秀教师.