王海林，魏丙涛，刘天祥，桂朝觐，高全归

（1.玉溪师范学院 理学院，云南 玉溪 653100；2.文山学院 数理系，云南 文山 663000）

输运方程是数学物理方程中的一类最基本的方程，在许多情况下，由于边界条件比较复杂，或者由于方程比较复杂，或由于其他各种原因，难以严格解出［1］。因此，近似解法得以发展，只要近似程度能够满足实际需要，近似解的价值并不低于严格解，随着电子计算机的日渐普及，用数值方法求解方程的近似解变得非常方便。

数值解法求解偏微分方程的方法有多种，应用比较普遍的有有限差分法，变分法和有限元方法，有限差分法一般应用于求解含时间问题比较方便。解同样的离散微分方程，采用好的算法与采用一般的算法的计算效果往往相差很大，采用好的算法不但能使求解过程数值稳定、数值解的精度得到提高，而且能数十倍、数百倍地节省计算工作量［2］。本文将通过不同的数值算法求解相同的定解问题，给出数值方法求解输运方程的一些有趣的结果。

1 定解问题

在数学物理方程中，输运方程有很多，比如扩散方程、热传导方程等。在此，用一个比较简单的方程，来考察差分格式对数值结果的影响，以下面的定解问题为例：

当然上述定解问题可以用分离变量的方法求得其解析解为：

于是可以给出解析解的函数图像，这里给出函数值u随x和t变化的函数关系图（见图1）：

从图1中可以看出，随着时间的增加，函数值逐渐衰减，函数值随空间坐标按正弦规律变化，这与定解问题给出的解析解是一致的，需要说明的是在得到解析解的过程中已经考虑了初始条件和边界条件。……