王琪 王晓茜

(长春理工大学理学院,长春 130022)

1 引言

近些年来,由于量子纠缠在量子计算、稠密编码和量子隐形传态等技术中起到关键作用,所以量子纠缠的确切量子力学特性备受关注.量子纠缠被认为是量子通信和量子计算的关键物理资源.

最近的一些研究发现,系统的可积性和不可积性对系统的两体纠缠和整体纠缠有着微妙的影响.开始对不可积体系中的多体纠缠的研究用Harper模型[1-3],而随后的工作则用到量子baker映射[4]、Frenkel-Kontorova模型[5]和无序自旋链[6](disordered spin chains).而后Lakshminarayan和Subrahmanyam[7]利用受激伊辛模型讨论了系统的可积性和不可积性对两体纠缠及整体纠缠的影响,结果表明系统的不可积性促进整体纠缠生成,不可积性还会使平均纠缠度增大.近期另外的一些研究讨论了Dicke模型经典相空间与量子动力学演化之间的关系,由体系的整体纠缠动力学特性,发现可以更好地揭示相空间的混沌和规则结构[8].Wang等[9,10]研究了QKT(quantum kiched top)模型中量子混沌对自旋压缩和量子纠缠的影响.伊辛模型作为最简单的海森堡模型[11,12],是一个简单而且现实的固态系统,这种模型可以十分理想地制备和控制量子纠缠.对伊辛模型中量子纠缠特性的研究将会有效推动量子计算机的研究和量子信息科学的发展.

基于上面的分析,本文利用一维倾斜场伊辛模型来对量子纠缠特性进行研究[13].并发度(concurrence)[14]和Q测量函数(Q measure)[15]分别是两种不同的纠缠的度量方法.前者是1998年由Wootters首次提出的,并发度很好地度量了系统的两体纠缠,而后者是2002年由Meyer和Wallach定义的,可以对系统整体纠缠进行度量.本文讨论了从可积到不可积范围内自旋链中的两体纠缠和整体纠缠特性,但是对于系统的两体纠缠只涉及近邻自旋之间的相互作用,同时这些相互作用是平移不变的.并且了解到在一维倾斜场伊辛模型中,不可积性会抑制两体纠缠,但却能促进系统整体纠缠生成.不可否认的是,对纠缠的整体度量只是最近才开始探索,而且似乎在多体量子态情况下,不同形式纠缠的度量应该用到不同的方法,这些情况都需要更进一步的阐明.

2 并发度和Q测量函数

1998年由Wootters首次提出并发度来描述两体量子体系的纠缠,也是目前刻画两体纠缠最好的度量方法[14].首先,根据两量子比特混合态密度矩阵ρi,j构建一个自旋翻转矩阵

当C=0时,系统没有两体纠缠;当C＞0时,系统存在两体纠缠.

2002年5月,Meyer和Wallach定义了Q测量函数来对整体纠缠进行几何度量,并且讨论了Q测量函数的相关性质.Q测量函数定义如下[15,16]:

2003年,Brennen[17]将Meyer-Wallach Q测量函数做了进一步的推广,得出如下形式:

其中ρk是对除第k个量子比特外的所有量子比特进行部分求迹后的约化密度矩阵.表征整体纠缠的Q测量函数的取值范围为0≤Q≤1,当且仅当|ψ〉为乘积态(product state)时Q测量函数为0.当Q测量函数等于1时,说明系统中单个量子比特与剩余量子比特间的整体纠缠最大[18].

3 一维倾斜场伊辛模型

如图1所示,本文考虑L个自旋为1/2的一维倾斜场伊辛模型[13],我们考虑x-z平面内的倾斜磁场,其哈密顿量可以写为

其中J为自旋耦合系数,B为外加磁场,L为系统的自旋粒子数,θ决定外场方向,和是Pauli矩阵.这里对于自旋链,采用周期边界条件,即=(i=x,z).当θ=0时,外加磁场方向与自旋方向相同,此时模型是可积的[13],并且系统能级是高度简并的.当θ=90◦时,外加磁场方向与自旋方向垂直,称为横场伊辛模型,此时模型也是可积的,并且可以利用Jordan-Wigner变换[19,20]来对横场伊辛模型进行求解.当0＜θ＜90◦时,模型是不可积的[13].本文对一维倾斜场伊辛模型在可积情况和不可积情况下的两体纠缠及整体纠缠进行讨论.

图1 自旋为1/2的一维倾斜场伊辛模型,考虑x-z平面内的倾斜磁场,自旋链满足周期边界条件

首先,我们考虑一维倾斜场伊辛模型基态的纠缠特性.图2中红色虚线描述的是近邻两量子比特之间的纠缠特性,用并发度来度量,本文中的并发度考虑的是近邻情况下的两体纠缠,即两量子比特混合态密度矩阵ρi,j可以表示为ρi,i+1情况时所对应的并发度;蓝色实线描述了每个量子比特与剩余量子比特之间的纠缠特性,用Q测量函数来度量.当用并发度来刻画系统的相变情况时,可以发现,随着磁场倾角的增大,对应于发生相变时的磁场强度会减小.另外,Q测量函数随着磁场强度的增加由1逐渐减小,最后趋近于0.而且还可以发现,当磁场强度增大到某值后,并发度会大于Q测量函数的值,说明此时系统中的两体纠缠较大,整体纠缠会随着磁场场强的增大而减小.图2中比较特殊的是磁场倾角θ=0时的情况,此时磁场方向与粒子自旋方向相同,而且系统是可积的.可以看到,在这种特殊情况下并发度始终为0,说明系统中始终不存在两体纠缠.而Q测量函数会在磁场强度B=2时马上变为0,而且在磁场场强B＞2以后,Q测量函数会一直为0,说明系统中的整体纠缠也会消失.

图2 系统基态并发度C(红色虚线)和Q测量函数(蓝色实线)与外加磁场B的关系,磁场方向分别取θ=0,θ=π/6,θ=π/3,θ=π/2,耦合系数J=1,系统粒子数L=8

进一步,我们研究并发度和Q测量函数在一维倾斜场伊辛模型中的动力学特性.选取自旋相干态|1〉⊗L为系统的初态,其中|1〉表示粒子自旋向上,L表示粒子数目.从而得到初态的时间演化是 |ψ(t)〉=exp(-iHt)|ψ(0)〉,相应的密度矩阵为ρ =|ψ(t)〉〈ψ(t)|.

在确定耦合系数J=1,磁场场强B=1及自旋粒子数目L=8的条件下,我们计算并发度和Q测量函数的时间演化.图3给出了磁场倾角分别为θ=0,θ=π/6,θ=π/3,θ=π/2情况下并发度的动力学演化曲线.当磁场倾角为θ=0或θ=π/2时,系统是可积的;当磁场倾角分别为θ=π/6和θ=π/3时系统是不可积的.由图3可以发现,在不可积情况下,并发度在最初得到最大值后会迅速减小直至为零,此时系统没有两体纠缠.并且可以发现,系统处在不可积情况下,系统会长时间没有两体纠缠.而当系统可积时,一般情况下具有两体纠缠,只有很短的时间内没有两体纠缠.

图3 磁场倾斜角度不同情况下,并发度随时间的动力学演化曲线 系统参数取值分别为J=1,B=1,L=8

图4给出了磁场倾角分别为θ=0,θ=π/6,θ=π/3,θ=π/2情况下Q测量函数的动力学演化曲线.同样,当磁场倾角为θ=0或θ=π/2时,系统是可积的;当磁场倾角分别为θ=π/6和θ=π/3时系统是不可积的.由图可以发现,在不可积情况下,由Q测量函数表征的系统的整体纠缠最初由0迅速取得最大值,而且在随后的演化过程中整体纠缠的幅度变化不大.而在系统可积的情况下,整体纠缠的变化幅度明显比不可积的情况下要大.

对比图3和图4可以得到这样的结论:在系统参数相同的情况下,并发度为0或较小时,系统的整体纠缠通常都处在较大值.并且可以说明在一维倾斜场伊辛模型中,不可积性会抑制两体纠缠,但却会促进系统整体纠缠生成.

图4 磁场倾斜角度不同情况下,Q测量函数随时间的动力学演化曲线 系统参数取值分别为J=1,B=1,L=8

图5和图6更全面地考虑了磁场倾角和磁场场强对并发度及Q测量函数的影响,并且可以看出在足够长的时间内平均值的稳定性变化.这里考虑粒子数L=8(更多自旋粒子数目时与8自旋粒子情况本质上是相同的),耦合系数J=1时,200次时间演化过程.由图5可以看到,当取磁场场强B=1时,随着磁场倾角的增大,最初系统并发度的时间平均值有极小的增加,而后迅速减小,在减小到一定值后,并发度的时间平均值又有了极小幅度的增加,并且在磁场倾角为θ=π/2时,并发度的时间平均值取到了一个较大值.当取磁场场强B=2时,随着磁场倾角的增大,最初系统并发度的时间平均值迅速减小,减小到一定值后又开始震荡增大,在磁场倾角为θ=π/2时,系统并发度的时间平均值取到了最大值.由图6可以看到,在磁场强度不变的情况下,随着磁场倾角的增大,Q测量函数的时间平均值会先增大而后又减小.而磁场场强B=2的情况下,Q测量函数的时间平均值的增大和减小的幅度都大于磁场场强B=1的情况.最后可以知道,系统的不可积性使Q测量函数的时间平均值增大,相反会使并发度的时间平均值减小.同样说明了在一维倾斜场伊辛模型中,不可积性会抑制两体纠缠,而相反会促进系统整体纠缠生成.

图5 磁场强度分别为B=1,B=2时,系统并发度的时间平均值随磁场倾斜角度变化的演化曲线,参量取值分别为J=1,L=8

图6 磁场强度分别为B=1,B=2时,系统Q测量函数的时间平均值随磁场倾斜角度变化的演化曲线,参量取值分别为J=1,L=8

4 结论

本文对一维倾斜场伊辛模型中的量子纠缠特性进行了讨论,运用了并发度和Q测量函数对系统的两体纠缠和整体纠缠进行度量.

1)由系统基态的纠缠特性曲线发现,随着磁场倾角的增大,并发度所刻画的系统相变情况发生变化.随着磁场强度的增大,Q测量函数由最大值1逐渐减小,随后会趋近于0;并发度由0先增大后减小.在磁场倾角为0时,情况比较特殊,系统始终不存在两体纠缠,而Q测量函数会在磁场场强B=2时突然由最大值1变为0,说明系统的整体纠缠也消失了.

2)选取自旋相干态|1〉⊗L为系统的初态,得到初态的时间演化(模型中参数分别取耦合系数J=1,外场场强B=1及粒子数目L=8).可以发现在一维倾斜场伊辛模型中,不可积性会抑制两体纠缠,但却会促进系统整体纠缠生成.

3)在一维倾斜场伊辛模型中,考虑并发度和Q测量函数的时间平均值随磁场倾角的演化曲线,进一步说明了不可积性会抑制两体纠缠,但却会促进系统整体纠缠生成.

今后以一维倾斜场伊辛模型为基础还有很多有意义的问题可以考虑,我们可以考察系统的不可积性对非近邻两体纠缠的影响,或系统的不可积性对量子关联的影响.还可以考虑其他种类多体纠缠的情况,例如真实多体纠缠[21-23](genuine multipartite entanglement).

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