张先敏，冯其红，张纪远

(中国石油大学，山东 青岛 266580)

引 言

与常规压裂直井相比，采用多分支水平井技术开采低渗透煤层气具有极大的优越性［1］。目前，国内外学者已在煤层气水平井开采模拟方面开展了大量的研究工作:Sung和Ertekin［2］建立了可模拟多个水平井眼的煤层气排采模型，Maricic等［3］开展了煤层气多分支结构与羽状分支结构的水平井数值模拟研究，高德利等［4］建立了不同流态下分支井眼临界长度与直径计算模型以及多分支井身结构设计模型，Dikken［5］在1989年提出水平井筒内的压降不能忽略，张冬丽等［6］建立了考虑摩擦压降和加速度压降影响的煤层气羽状水平井开采数学模型，Keim等［7］对煤层气多分支井的分支间距、长度以及井眼轨迹进行了优化研究。

本文在此基础上，充分考虑羽状水平井筒中分支和主支流体汇合的流体流动特点，提出了煤层气羽状水平井开采数学模型方法，进行了相应的数值模拟分析研究。

1 数学模型的建立及求解

假设水平井筒中的流体流动为一维、稳态流动，分支流体汇流入主支井筒的过程近似为等温流动。将煤层气羽状水平井的主支井筒从跟端到指端划分成N个微元井段，沿井筒延伸方向各微元井段长为Δxi;将第j分支井筒从跟端至指端分成Mj段，沿井筒延伸方向各微元井段长为 Δxj，k。对微元井段在主支上且该井段内有分支的情况，在主支井筒上取流动微元控制体见图1。对此汇合点处可简化为斜三通，根据伯努利方程［8－9］可得:式中:pwi+1、pwi分别为主支相邻的上、下游井段中心的压力，MPa;pwj，1为微元控制体内分支井段的压力，MPa;D为主支井筒直径，m;dj为第j分支井筒直径，m;vRi为汇合处分支流体的入流速度，m/s;vi+1、vi分别为流体流入和流出该微元井段的平均流速，m/s为第j分支流入主支的平均入流速度，m/s;vi为该井段主支流体速度的平均值，m/s;ρi为流体的密度，kg/m3;fi+1为i+1主支井段的摩擦系数，采用 Ouyang［10］的摩擦系数公式计算;fj，1为第 j分支的摩擦系数;Δxi为主支微元井段长度，m;Δxj，1为第 j分支第 1 井段长度，m;ξi为主支微元井段局部阻力系数;ξj，1为第j分支第1井段局部阻力系数;αi+1、αi、αj，1依次为上游井段、下游井段、第 j分支第1井段动能修正系数，在实际应用中大多数情况下令 αi+1≈αi≈αj，1= α，紊流情况下 α 值近似取为1，层流情况下α值取为2。

图1 井筒流体汇合流动微元控制体示意图

根据质量守恒原理可知，流入与流出微元井段的质量流量速率之差等于该微元井段内质量增加速率，即:

式中:A为主支井筒截面积，m2;ARj为第j分支井筒截面积，m2;νVi为煤层径向流入主支微元井段的平均速度，m/s。

将式(3)代入式(1)整理可得主支上、下游井段之间的压降方程为:

式中:qi为煤层流体流入主支微元井段的流量，m3;QRi为微元井段内分支流入主支的流量，m3;Qi为相邻上游段流入主支井段的流量，m3;fi为主支井段内流体和管壁之间的摩擦系数。

同理，可得到羽状水平井分支井段与主支井段之间的压降方程为:

与裸眼完井水平井筒模型的方程［11］相似，可 得到无汇合点的主支井段或分支井段压降方程为:

式中:pwj，k+1为第j分支第 k+1井段的压力，MPa;pwj，k为第 j分支第 k 井段的压力，MPa;Δxj，k为第 j分支第k井段长度，m;ρj，k为第j分支第k井段内混合流体的密度，kg/m3;fj，k为第j分支第k井段内流体和壁面之间的摩擦系数;QRj，k为从第j分支第k井段相邻上游段流入该井段的流量，m3;qj，k为煤层径向流入第j分支第k井段的流量，m3。

根据压力连续原理，煤层流体与井筒流体在井壁处的压力应相等，结合井筒变质量流动压降方程以及煤储层气—水两相流动方程［12］，加上相应的初边界条件，即可耦合构成1个完整的煤层气羽状水平井开采数学模型。在定井底流压条件下，首先令井筒压力为已知井底压力;若在定产条件下，则可设为任意合理的井筒压力值。采用全隐式方法求解煤储层流动模型可得到煤层压力和含水饱和度值，然后代入井筒压降方程组中求解得到井筒压力值;再将最新的井筒压力值带入煤储层流动模型中重复计算，如此反复迭代，直到满足一定的收敛条件，即可得到煤层压力、含水饱和度和各井段的压力分布值。

2 计算实例

沁水盆地南部是中国煤层气勘探开发最有利的区域之一，区内广泛发育的上石炭统太原组15号煤层和下二叠统山西组3号煤层是主要开发目的层，其中3号煤层厚度较大，横向分布稳定，煤层顶底板封盖能力较强，可作为煤层气羽状水平井开发的目的层。煤层基本参数如下:地层压力为2.45 MPa，含气量为 19.60 m3/t，地层温度为24.2℃，煤层厚度为6.0m，渗透率为0.61×10－3μm ，孔隙度为 0.06，Langmuir压力为 3.58 MPa，Langmuir体积为48.69 m3/t。以煤层气羽状水平井进行模拟开采，主支长为1200 m，分支长为800 m，同侧分支间距为300 m，相邻不同侧分支间距为50 m，井段总长5700 m，分支与主支夹角为45°。

主支井筒不同位置单位长度径向入流量沿井长分布是不均匀的，反映出主支井筒附近煤层气解吸程度的差异，可按照产量上升和产量递减2个阶段来分别分析。在产量上升阶段 (图2a)，主支井筒的单位长度入流量分布曲线呈上凸型，分支与主支汇合点附近煤层降压程度较高，气体径向入流量相对较大，主支井筒两端部的入流量较低;在产量递减阶段 (图2b)，主支井筒入流量分布曲线总体上呈下凹型，反映出主支不同位置处供气范围的不同。由于中部井段供气范围较小以及各分支之间以及与主支之间的压力干扰，煤层气解吸程度较高，因此入流量越来越低，尤其分支节点处的入流量更低;相反，由于主支井筒两端部的供气范围较大，井段气体入流量保持相对较高水平。

图2 不同时刻主支井筒气体入流量分布曲线

图3为不同时刻主支井筒压力分布图，可以看出，沿主支井筒压力分布是不均匀的。越靠近主支井筒跟端，井筒质量流量越大，摩擦引起的压力损失以及入流、汇流造成的压力损失亦越大，主支井筒压力越低，因此井筒压降在气井产能动态评价中不可忽略。另外，随着煤层气不断开采，主支井筒指端与跟端之间的压差呈先增加后减少的趋势，这是由于随着煤层气体的不断解吸，流体(气和水)沿井壁径向入流和分支流体汇入的量增大，摩擦、动量变化以及汇合引起的压降损失也逐渐增大(图3a);随着生产时间的延长，主支径向入流量和分支汇入量不断减小，且此时主支井筒内流体流动处于紊流光滑区，井筒内的压降损失也不断减少，井筒压力越来越接近出口端压力(图3b)。

3 结论

(1)根据煤层气羽状水平井复杂井筒结构以及井筒内流体流动特征，建立了考虑井筒变质量流影响的煤层气羽状水平井开采数学模型。

(2)沁水盆地煤层气羽状分支水平井开采模拟分析表明:由于井筒变质量流的影响，不同时刻的主支井筒单位长度入流量分布曲线分别呈上凸型和下凹型，且水平井筒指端与跟端之间的压差呈先增加后减少的趋势。

图3 不同时刻主支井筒压力分布曲线

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