●周湖平 李阳华 (吉水中学 江西吉水 331600)

13世纪初意大利数学家斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的数列，人们称之为斐波那契数列.斐波那契数列源于兔子的繁殖问题：

兔子出生后2个月就能每月生小兔，若每月不多不少恰好生一对(一雌一雄)，假如养了初生的小兔子一对，试问一年后共有多少对兔子?

依此类推，该问题产生的数列为：1，1，2，3，5，8，13，21……这个数列有个十分明显的特点：前面相邻两项之和，构成了后一项.用Fn表示经过n个月后的兔子总对数，那么数列满足如下递推关系：

这就是著名的斐波那契数列.可以证明

这个公式又称比内公式.由于其规律简单、内涵丰富，因而在高考与竞赛中颇受青睐.下面以几道高考题和竞赛题为例，阐述其应用.

例1 观察下列各式：

(2012年江西省数学高考理科试题)

通过观察不难发现

点评本题考查了归纳推理的有关知识，在归纳方法中考查了斐波那契数列通项的特点(即从第2项起，每一项都是前两项之和).

(2012年上海市数学高考文科试题)

点评本题设计巧妙，以函数不动点、斐波那契数列为背景，考查一元二次方程的求解、归纳推理、分类处理问题的技能.

例3 5位学生围成一圈依序循环报数，规定：

(1)第1位学生首次报出的数为1，第2位学生首次报出的数也为1，之后每位学生所报出的数都是前2位学生报出的数之和.

(2)若报出的数为3的倍数，则报该数的学生需拍手一次.

已知学生甲第1个报数，当5位学生依序循环报到第 100个数时，学生甲拍手的总次数为______.

(2009年福建省数学高考理科试题)

解设报到第n个数为an，则

写出前几项，可找到规律：a4m(m∈N*)为3的倍数.下面用数学归纳法证明此规律.

(1)当m=1时，a4=3，故a4=3为3的倍数;

(2)假设当m=k时，a4k为3的倍数，则当m=k+1时，

也是3的倍数.

由(1)和(2)可知，对于 m∈N*，a4m为3的倍数.依题意，学生甲报的数为 a5t+1(0≤t≤19，t∈N*)，这些数中是 3 的倍数有 a16，a36，a76，a96，故学生甲拍手的总次数为4.

点评这是一道以斐波那契数列为背景的实际应用题，有生活气息，考查了学生数列建模能力、推理分析能力及其应用.

例4 用1或2这2个数字写成n位数，其中任意2个位置不全为1，记n位数的个数为f(n)，求f(10).

(第2届江苏省高中数学通讯赛试题)

解符合条件的n位数可分为2类：

(1)当首位是2时，则余下n-1位数符合条件的个数为f(n-1);

(2)当首位是1时，则第2位是2，余下n-2位数符合条件的个数为f(n-2).

于是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，故{f(n)}为斐波那契数列.因为f(1)=2，所以f(10)=144.

点评解答本题的关键是对首位进行划分，找出计数时的递推关系，从而发现本题内蕴斐波那契数列.

例5 现有长为144 cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长度不小于1 cm.如果其中任意3小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少?

(第16届江苏省高中数学竞赛试题)

解由于构成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意2条边之和小于或等于最大边.

截成的铁丝最短为1，于是可以放2个1，第3条线段就是2(为了使得n最大，要使剩下来的铁丝尽可能长，于是每一条线段总是前面的相邻2段之和)，依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55.以上各数之和为143，与144相差为1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10.

在这个问题中，143是斐波那契数列的前n项和.我们是把144超出143的部分加到最后的一条线段上去，如果加到其他线段上，就有3条线段可以构成三角形，不合题意.

点评从所截线段的长度看，这是斐波那契数列的前几项，每段的长度不小于1，由最小数1通过构成三角形的条件产生了斐波那契数列.在这里，三角形的三边关系蕴含了重要的斐波那契数列文化.

(1)对任意正整数n，都有an+2=an+1+an.

(2)数列{an}中的项都为整数，且任相邻两项都互质.

(2004年北京市中学生数学竞赛试题)

证明(1)因为α，β是方程x2-x-1=0的2个根，由韦达定理：α +β=1，αβ=-1，得

再由对任意正整n，都有

因此数列{an}中的项都是正整数.下面证明任意相邻两项都是互质.

若不然，设(an+2，an)=d＞1.由对任意正整数n，都有

与d＞1矛盾.因此，数列{an}中任意相邻两项都互质.

点评本题第(1)小题考查了斐波那契数列的递推关系，难度并不大;第(2)小题的结论其实就是斐波那契数列的一个基本性质，利用辗转相除法易证.

(1)猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论;

(2009年陕西省数学高考理科试题)

由斐波那契数列的通项公式

点评这是一道有着深刻背景的好题，涉及到黄金分割数、斐波那契数列、迭代数列等诸多问题.若将斐波那契数列的前一项与后一项作比，比值作为一个新的数列的话，就是这道高考题中的数列.

近年来，高考数学试题与竞赛题中经常出现以数学文化为背景的创新试题，突出了对数学思想方法的考查，强调了数学文化价值，有力地推动着素质教育的全面开展.数学教师必须开发与利用数学文化这一重要的教学资源，让学生在数学学习过程中感受文化的熏陶，体会数学独特的文化魅力，提升数学文化素养.

［1］ 刘海英，徐章韬.内蕴斐波那契数列文化的问题［J］.中学数学，2011(11)：66.