叶亮，梁海腾，阮一晖

(江苏省特种设备安全监督检验研究院苏州分院，江苏苏州215128)

横梁是数控激光切割机［1-2］的重要部件，通常采用钢板弯折或焊接而成，其主要部分包括横梁主体、激光切割头、传动系统和其他附属机构。横梁作为激光切割机的执行部件，要求质量轻、强度高、频响快。研究横梁的固有频率，对于改善其动态特性、提高加工精度、延长使用寿命以及进一步的优化设计都具有重要的工程意义。

1 瑞利法介绍［3－4］

利用瑞利能量法可以求解单自由度系统的固有频率，对无阻尼的振动系统而言，能量守恒定律可以表示为:

其中:下标1和2代表两个不同时刻，特别地，用下标1代表质量块通过其静平衡位置的时刻，并取此刻为零势能位置，即U1=0;用下标2代表质量块到达最大位移的时刻，此时动能T2=0。因此式 (1)变为:

如果系统作的是简谐运动，那么T1和U2分别代表了动能T和势能U的最大值。因此式 (2)变为:

此即瑞利能量法，应用这种方法可以求解系统的固有频率。

2 实例计算

以某公司生产的某型号数控激光切割机为例，应用瑞利能量法计算横梁的固有频率。数控激光切割机横梁截面简图如图1所示。

图1 横梁横截面简图

假设横梁在振动中的动挠度曲线和在简支梁中点处集中载荷mg作用下静挠度曲线一致，由材料力学可知，简支梁中点的挠度为

在任一截面y处的挠度表示为z0的函数

在振动时，z、z0均是变量，则有

横梁的动能

式中:m0l为横梁的质量。因此横梁的等效质量为

如图2(a)所示的系统可以简化为图2(b)所示的单自由度系统。其质量为

图2 横梁在z方向振动简化示意图

弹簧常数为

则系统的固有频率为

已知横截面对x轴惯性矩:Ix=0．587 6×10-4m4，对z轴惯性矩:Iz=0．984 5×10-4m4。此外，横梁质量m0=200 kg，激光切割头及支架质量m=50 kg，横梁长度l=2 m，钢材弹性模量E=210 GPa。

代入相关数据，计算得:

同理，可计算横梁在x方向的固有频率，振动简化示意图如图3。

图3 横梁在x方向振动简化示意图

求得横梁在x方向的一阶振动频率为:fx1=142．3 Hz。

3 小结

(1)固有频率是结构动态特性的一项重要指标，当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振现象，此时系统最大限度地从外界吸收能量。获得结构的固有频率，可以避免共振现象的发生，实际算得某型号激光切割机的工作频率为23 Hz，而横梁在x方向和z方向的固有频率均在100 Hz以上，不会发生共振现象。

(2)固有频率为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件，以动态特性指标作为设计原则，对横梁结构进行优化设计。既可在常规静力设计的基础上运用优化技术，对横梁结构元件进行结构动力修改，也可从满足横梁结构动态性能指标出发，综合考虑其他因素来确定横梁结构的形状，乃至结构的拓扑(局部设计、开孔、增删元件等)。

(3)利用瑞利能量法可以简便、准确地求解系统的固有频率，对于规则简单结构，其求解准确度得到了试验验证。

(4)利用瑞利能量法可以求解结构系统的固有频率，但若要进一步了解结构的振动模态和高阶振动频率，则需借助于有限元软件以及模态测试等方法。此外，对于结构复杂和建模难度较大的系统，利用瑞利能量法求解其固有频率存在较大难度。

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