徐 益 赵向青

（浙江海洋学院 数学系，浙江 舟山 316000）

0 引言

Bonhoeffer等人建立了如下的基本病毒动力学模型：

其中，x，y，v分别代表未感染细胞，感染细胞和自由病毒。易感染细胞以常速率λ产生，以依赖密度的速率dx死亡和以速率β¯xv被感染，被感染的细胞以速率β¯xy产生，以依赖密度的速率ay死亡，自由病毒以速率cy从感染细胞释放出来并以uv的速率死亡[1-2]。后来，Bartholdy，Wodarz等发现病毒细胞随时间几乎稳定，即 v′（t）≈0，从而cy-γv=0[3-4]。 式（1）也相应地转化为：

然而，在研究过程中发现易感染细胞的感染率呈现明显的非线性关系[5-6]，其中较为典型的是β¯′（y）＝βy／（1＋py），这里 βy 表示病毒的感染能力，表示由于病毒的增加导致的机体中易感染细胞行为发生改变而对病毒感染产生的抑制效果。因而模型（2）变为

流行病学的数理研究揭示,流行病的流行与否由一个基本再生数的阀值所决定。具体地说，当基本再生数的阀值大于1时，流行病将流行，否则不流行[7-9]。人们可以根据这个理论判据设计流行病防治方案，从而减少流行病的爆发和传染。本文将通过平衡点的稳定性分析研究流行病模型（式2）的基本再生数的阀值。

1 无感染平衡点

从模型看出y=0表示流行病不发生，令

得到一个无感染平衡点E0=（λ／d，0）。人们关心的是什么条件下无感染平衡点E0能成为稳定点，为此定义

实践中，R0描述了在感染初期从一个被感染细胞生成的新感染细胞的平均数，我们称之为基本再生数。

2 基本再生数阀值

定理 如果R0＜1，那么未感染稳定平衡点E0是全局渐近稳定的。

证明 分别将 F1（x，y）和 F2（x，y）在无感染平衡点 E0=（λ／d，0）处泰勒展开：

其中于是得到系统（3）的一阶近似系统：

（4）的系数矩阵为：

其特征方程为：

化简得

其特征值分别为

因为 R0＜1，可得 ad－βλ＞0，在这里可得 ϖ1，ϖ2均为负数。 根据一次近似系统稳定性定理可得未感染平衡点E0是渐近稳定的。

注：本文使用的方法为一阶近似方法，较其他文献例如[9]更为简单。

3 结论

从定理的结论看出，只要控制R0＜1，未感染稳定平衡点E0是全局渐近稳定的，这意味着随着时间的推移，流行病不会传染开。而R0=βλ/ad，人们可以通过a，d，β，λ中人意一个或几个量对流行病加以干预。

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