史玉洁

(山西省中部引黄工程建设管理局，山西太原 030000)

0 引言

谱方法是一种结合谱方法和有限元思想来求解偏微分方程的数值方法，它的最大优点在于具有“无穷阶”的收敛性，适当的谱方法所求得的近似解以N－1次的收敛速度逼近精确解［1］，N代表选取的基函数的个数，这一点是有限元法无法比拟的;并且谱方法采用的插值函数(如Fourier级数、Legendre多项式、Chebyshev多项式)具有无限可微的性质，相对于有限元法采用的有限次可导多项式作为插值函数的方法，具有显著的精度优势［2］。

借助有限元中等参元的思想，Patera［3］结合谱方法的精度于1984年提出了谱元方法(SEM)。近年来，谱方法已被成功地应用于求解各种实际问题。Usik Lee等［4］将Fourier谱方法运用到一些梁结构动力分析中，通过谱元法与解析解以及有限元方法结果的对比证明了谱元法的高精度，M.Krawczuk等［5］讨论了有缝的Timoshenko梁动力分析的 Fourier谱元法，Dimitri Komatitsch等［6］在考虑大地模型的异质性的情况下用谱方法模拟地震波的传播，国内林伟军，秦国良等［7，8］长期从事研究弹性波传播模拟的Chebyshev谱元法。

本文利用离散傅里叶逼近的方法对未知函数逼近，借助有限元法中等参单元的思想，在坐标变换的时候同样采用傅里叶谱逼近的方法，可推导出谱元法中单元刚度矩阵kei的形成过程，在此基础上编制而成的谱元法计算程序，能够较好的求解线弹性静力问题。通过数值算例，对比谱元法与有限元方法的计算精度，能得到令人满意的结果。

1 函数的Fourier谱近似

其中，