王梦洁

（武汉理工大学，湖北 武汉430070）

1 两个重要极限的新证明

证法1 利用几何图形，作一单位圆（如图所示）：

证法2 利用拉格朗日中值定理，选取函数f（x）=sinx，则f（x）在［0，x］上满足拉格朗日中值定理的条件，且f′（x）=cosx，因而在（0，x）内至少存在一点ξ 使得

故｛an｝单调递增，又因，故an≤4，即｛an｝有上界。

令x＝－（t＋1），则x→－∞时，t→＋∞，从而

1.3 两个重要极限的特征及其推广

2）上下一致：即sin 函数内的式子要与分母的式子一致

1） 1∞型

2）“无穷小”与“无穷大”的解析式为倒数

2 两个重要极限的应用

2.1 两个重要极限在计算一元函数极限中的应用

当x→0 时，sinsinx→0，由第一个重要极限及其一般形式立刻得到：

2.2 两个重要极限在二元函数极限中的应用

二元极限与一元函数极限概念的本质是一致的，都是对函数在其自变量的某个变化过程中函数值的趋向性的反映。由于二元函数的自变量有两个， 其变化过程比一元函数自变量的变化过程复杂的多，同时对二元函数极限的运算有时更是无从入手。 实际上，在二元函数的求解中，因为二元函数极限的定义与一元函数的定义有着完全形同的形式， 这使得一些一元函数的极限运算都可以平行推广到函数上来，特别是两个重要极限在二元函数极限运算中的应用。

对于二元函数极限的运算除了利用重要极限外， 还有很多的方法，比如利用不等式，使用夹逼准则等，这里主要是讨论了重要极限在二元函数的应用，加深了对重要极限在二元函数极限运算中作用的理解，以更好的解决二元函数问题。

总之，对重要极限进行应用，推敲，变化等，不仅是对本身的深入，也是对极限概念性质的深入。

［1］华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2007.

［2］代瑞香，刘超高.一重要极限的另证[J].高等函授学报，2010 年6 月第23 卷第3 期：33-33.

［3］孙幸荣.一个重要极限的新证及其推广[J].佳木斯教育学院学报.2010 年第1期：107-107.

［4］张霞.两个重要极限在二元函数极限中的应用[J].上海电力学院数理系:45-46.