李凌燕，刘景锋

(华南农业大学理学院应用物理系，广东广州510642)

一直以来，辐射子自发辐射的操控是量子光学中一个重要研究方向，自发辐射的有效控制决定了一系列光电子器件的性能，例如太阳能电池、光辐射二极管以及量子信息科学中的微型激光器和单光子源．

光子晶体对光子的作用与半导体对电子的作用类似，可通过调整光子晶体的结构、填充率以及折射率比来调整光场的分布，从而调整辐射子周围的环境．YABLOMOVITCH［1］和 JOHN［2］首次提出利用光子晶体来控制辐射子的光辐射，并受到了实验研究［3-5］和理论研究［6-9］领域的高度重视．

辐射子的自发辐射速率与光子局域态密度成正比［6，10-12］．局域态密度对自发辐射具有决定作用，在光子晶体中，如果辐射子(原子和分子)的跃迁偶极矩随机分布，则局域态密度可表示为

其中ωnk和En(k，r)分别为电磁场的本征频率和本征模．在光子晶体内，数值模拟局域态密度较难，因为局域态密度的计算需在整个第一布里渊区完成．WANG［10］提出点群变换的方法极大简化了局域态密度的计算．但在大多情况下，量子辐射子(量子点)处于极化状态时辐射子的跃迁偶极矩并非随机分布，而是沿确定方向．辐射子的自发辐射特性是由方向性局域态密度决定，在光子晶体内方向性局域态密度的定义［13］如下其中对k矢量的积分是在整个第一布里渊区(FBZ)内进行，μd为跃迁偶极矩，ωnk和 En(k，r)分别为相应k点的本征值和本征矢量，n为带指标．

由于式(2)中局域态密度对方向的依赖性，欲计算方向性局域态密度并且避免在整个第一布里渊区积分，唯一可利用的对称性是反演对称性［11-12］．但是反演对称性仅仅使式(2)的积分缩减到第一布里渊区的一半．由式(1)和式(2)可知，欲计算局域态密度或方向性局域态密度，需计算出相应k点的本征频率和本征值，由于本征方程的计算耗费时间较长，在半个布里渊区计算仍比较困难．本文提出一种点群操作法使式(2)的计算可以在简约布里渊区进行，因而极大简化了方向性局域态密度的计算．

1 理论推导

计算方向性局域态密度，需求出相应k点的本征值和本征矢量［12］，然后根据磁场Hn(k，r)与电场En(k，r)的关系

求出对应的本征电场．考虑截断误差，采用NIKOLAEV等［12］的方法计算本征电场．为节省计算时间，需布里渊区内建立在k星中不同k之间的变换关系，由文献［12］，有

其中 α［Fn(k表示对矢量Fn(kt)-1r)旋转，上式可利用 KAZUAKI［15］方法证明．此处讨论面心立方结构光子晶体，平移矢量t=0．

第一布里渊区在点群操作下不变［10］，式(2)在第一布里渊区的积分满足如下变换关系

其中αi(i=1，2，3，…nG)属于相应的晶体点群操作．定义平均可积函数:

其中nG是相应点群的群员个数(即简约布里渊区的个数)，利用关系 ωnk=ωna［k］(k 星中各 k 点对应的本征频率相同)对式(7)在整个第一布里渊区积分，可得

利用群的封闭性和平均可积函数得出方向性局域态密度:

容易证明平均可积函数Fn(k，r)对应k星中不同 k 点的值不变，即 Fn(αj［k］，r)=Fn(k，r)．因而式(9)的积分可在简约布里渊区完成．注意到，对2个矢量同时进行操作时，其标量积保持不变，可得到对k点的操作与对实空间点操作的关系:

考虑平均可积函数与上式的操作关系，面心立方结构光子晶体中方向性局域态密度表示如下

2 计算结果与讨论

根据MONKHORST等［16］的方法在第一布里渊区产生16 384个粗格点及1 048 576个精细格点;然后计算粗格点上的本征场En(k，r)和本征值ωnk的值;最后利用插值算法求出精细格点上的值．本文采用725个平面波解磁场对应的本征方程．

计算采用NIKOLAEV［12］提出的面心立方结构:由二氧化钛(TiO2)球壳构成的反结构，球壳的内半径为r = 0．25(a 为晶格常数)，外半径为 1．09r，球壳的介电常数ε=6．5，球壳内为空气球，并且相邻2个空气球之间是由半径为0．4r的空气柱相连．

在由硅壳构成的面心立方反结构中，对于某些k点和实空间r 的值如表1所示，采用Schoenflies符号表示空间的点群操作，k点属于k星．为证明实空间点与k 点之间操作关系μd·En(α［k］，的正确性，仅考虑k星中的几个一般的k点．不失一般性，任意选择偶极方向 μd=(1，2，3)/为简化描述，分别用代表和的值．通过表1可验证反演关系［12］和式(10)的正确性．

为了验证点群操作方法对处理方向性局域态密度的有效性，将计算的偶极矩方向沿［1，1，0］空间点位于(0．25，0．25，0)a(a是晶格常数)的方向性局域态密度与NIKOLAEV［12］的计算结果比较(图1)，本文的结构因子以解析形式给出，而文献［14］通过离散傅立叶变换方式得到，二者结果吻合，略微差别．计算中，在简约布里渊区选取408-k个点，同时采用插值算法节省计算时间，而文献［12］在半个布里渊区选取145708-k个点，同时采用插值法计算耗费时间较短，计算速度(耗时15min)是文献［12］(耗时4d)的360倍(145708/408=360)．

表1 面心立方结构中Table 1 The results of

表1 面心立方结构中Table 1 The results of

α α［k］α-1 r α-1［μd］/ 14 Eαk1Eαrμ1Eαk2Eαrμ2Eαk3Eαrμ3 E (0．8，0．4，0．2) (0．2，0．1，0．05) (1．0，2．0，3．0)0．000 9 0．000 9 0．109 4 0．109 4 0．014 3 0．014 3 I (-0．8，-0．4，-0．2)(-0．2，-0．1，-0．05)(-1．0，-2．0，-3．0)0．000 9 0．000 9 0．109 4 0．109 4 0．014 3 0．014 3 C4x (0．8，0．2，-0．4) (0．2，-0．05，0．1) (1．0，-3．0，2．0) 0．061 2 0．061 2 0．001 9 0．001 9 0．135 2 0．135 2 IC4x (-0．8，-0．2，0．4)(-0．2，0．05，-0．1)(-1．0，3．0，-2．0) 0．061 2 0．061 2 0．001 9 0．001 9 0．135 2 0．135 2 C-1 4x (0．8，-0．2，0．4) (0．2，0．05，-0．1) (1．0，3．0，-2．0) 0．045 3 0．045 3 0．003 2 0．003 2 0．163 4 0．163 4 IC-1 4x (-0．8，0．2，-0．4)(-0．2，-0．05，0．1)(-1．0，-3．0，2．0) 0．045 3 0．045 3 0．003 2 0．003 2 0．163 4 0．163 4 C3xyz (0．4，0．2，0．8) (0．05，0．2，0．1) (3．0，1．0，2．0) 0．001 6 0．001 6 0．036 8 0．036 8 0．003 6 0．003 6 C-1 3xyz (0．2，0．8，0．4) (0．1，0．05，0．2) (2．0，3．0，1．0)0．014 9 0．014 9 0．037 5 0．037 5 0．022 2 0．022 2

图1 方向性局域态密度计算结果与Nikolaev计算法的对比Figure 1 Comparison to Nikolaev method on orientation-dependent local density of states

3 结论

通过理论分析和数值模拟的方法研究了面心立方结构光子晶体中电场在倒格空间k点和实空间r点的变换关系．推导出了方向性局域态密度的平均可积函数．计算的方向性局域态密度与Nikolaev的结果相吻合，且计算速度更快．说明采用点群操作方法是正确有效的．在同样精度下，本文的算法极大程度加快了方向性局域态密度的计算速度．

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