曾泰山，鲁春元

(1．华南师范大学数学科学学院，广东广州510631;2．广东药学院医药信息工程学院，广东广州510006)

图像去噪算法研究中一个重要问题是如何在去除噪声的同时，保持边缘、纹理等有意义的图像细节．当前图像去噪领域主要有2类去噪模型:小波阈值去噪［1］和全变差去噪模型［2］．小波阈值去噪是一种频域去噪方法，算法简单，易于理解．由于小波有快速算法，小波阈值去噪计算速度快．但小波阈值去噪会带来振铃现象，不利于保持边缘特征，影响图像质量．而另一种主流方法，即全变差(TV)图像模型被认为是目前比较合理的能够保持图像边缘特征的图像模型．相比其他算法，TV模型能有效地对图像的光滑区域进行扩散的同时能保持图像的边缘特征．该模型在工程领域和学术领域得到广泛的研究和应用［3］．但当噪声水平较高时，TV模型的阶梯效应严重．为了结合小波和全变差方法的优点，文献［4］提出了小波域上的全变差模型．该模型提出后，图像处理其他领域也得到了广泛关注［5-6］．但由于每一个小波系数对应一个正则化参数，参数的选取较麻烦．

针对上述方法的不足，本文提出了一种基于小波和全变差方法相结合的多尺度全变差去噪方法，通过对高低频施加不同的正则化参数，并结合小波的多尺度结构，能够更好地抑制噪声、保持边缘和消除阶梯效应．

1 小波域上的全变差模型

令f为观测图像，定义在长方形区域Ω上．假设观测图像含有加性噪声f=s+n，其中s为原始图像，n为加性噪声．全变差去噪模型如下:

其中第1项为逼近项，第2项为正则化项．λ为正则化参数，控制两者的平衡．适当的参数选取对最后的去噪效果影响很大．如果λ太大，则残留了很多的噪声．反之，如果λ过小，则图像过度光滑，丢失了很多细节，产生“卡通”效应．由于噪声主要分布在高频，而在经典的全变差去噪方法(1)中，正则化参数 λ不能反映不同的频段对去噪效果的影响．

为了获得图像f的多尺度结构，需要对图像f(x)进行小波分解．设{ψk(x):k2}为 L2(Ω)空间上的小波基．对图像f(x)进行小波分解为:

将f(α，x)代入全变差去噪模型(1)，可以得到基于小波分解的正则化模型［3］

其中 λk≥0为正则化参数，β =(βk)，u(β，x)=如果所有的正则化参数 λk相等，则模型(1)和模型(2)完全一致．

下面导出小波域上TV模型的Euler-Lagrange方程．对F(β)求βk的偏导为:于是得到模型(2)的Euler-Lagrange方程:求解Euler-Lagrange方程(3)的一个常用方法是梯度流法．引入辅助时间变量t，梯度流方程为

随着t增大，逐步收敛到最优解．

2 多尺度正则化去噪算法

引入本文提出的多尺度正则化去噪算法，采用有限差分迭代法解方程(4)．设u0=f为初始值．设un-1为第n-1次迭代得到的去噪图像．下面介绍如何通过计算得到第n次迭代的图像un．为了对曲率离散化，引入有限差分记号:D+1up，q．则曲率可离散化为

其中0＜ε≪1．曲率矩阵Cn-1与小波基ψk做小波变换，记为

其中DWT为二维离散小波变换．方程(4)可离散化为

其中Δt为时间离散步长．

因为图像噪声主要集中在高频，因此需要对低频部分和高频部分分别处理．这就需要对低频和高频选用不同的正则化参数．在模型(2)中，每一个小波系数都对应一个正则化参数．为了简化正则化参数的选取，本文提出了基于块的正则化参数选取方法．图像经过一次二维小波变换后分为以下4块:

块I1包含水平和垂直2个方向的低频信息，块I4包含水平和垂直2个方向的高频信息，块I2、I3包含其中1个方向的低频信息和另一方向的高频信息．对不同的块选用不同的正则化参数 λi(i=1，2，3，4)．

在算法1中，正则化参数 λi的选取很重要．如果 λ1=λ2=λ3=λ4，则退化为经典的全变差模型(1)．在图像处理实践中，噪声主要分布在高频，而低频部分代表图像的重要信息，应该尽量予以保留．正则化参数越小，则磨光的作用越明显．为了在尽量保持图像主要信息的同时去除噪声，应该满足低频的正则化参数要大于高频的正则化参数，即 λ1≥λ2≥λ3≥λ4．为了简化参数的选取，通常可以选 λ1=λ2=λ3，λ4=λ1/K，K≥10．

算法1 多尺度正则化去噪算法(单层小波变换)

i．设 u0=f为初始值．令 n=1．

ii．设un-1为第n-1次迭代得到的去噪图像，计算小波系数βn-1=DWT(un-1)

iii．通过式(5)计算曲率Cn-1．通过式(6)计算曲率的小波变换Wn-1=DWT(Cn-1)．

iv．计算 βnk=βn-1k+Δt·(Wn-1+ λi(αk- βn-1k))，βn-1k(i=1，2，3，4)．

v．计算un=IDWT(βn)，其中IDWT为小波逆变换．

vi．如果n没有超过给定迭代次数N，则令n=n+1，重复(ii)至(v)步骤．

在计算复杂度方面，对于含有N个像素的图像，小波变换的复杂度是O(N)，已经达到最低的计算复杂度．本文提出的算法在全变差方法的基础上增加了小波变换，计算复杂度和全变差方法同级．

在上述算法中，只使用了单层的小波变换．该算法可以很容易地推广到多层小波变换情形．其基本思想是将去噪问题在不同尺度上进行分解，通过尺度之间的变化，将上一尺度求得的解作为下一尺度上的初值．该方法的优点是可以提高计算效率，加快收敛速度．由于I1是原图像的简化版本，继续对I1进行小波变换就可以得到图像多层的小波变换．为了得到基于多层小波变换的去噪算法，只需要每一层调用基于单层小波变换的多尺度正则化去噪算法．

对含噪图像f(x)进行m层小波变换，第j层的小波系数记为 αj．当j=0时，α0=f．根据上面的讨论，可以得到基于多层小波变换的多尺度正则化去噪算法(算法2)．

算法2 多尺度正则化去噪算法(多层小波变换)

i．对含噪图像f(x)进行m层小波变换．令j=m．

ii．设 u0j=αj-1为初始值．调用基于单层小波变换的多尺度正则化去噪算法．

iii．如果 j＞1，令 j=j-1，跳转到第(ii)步．

3 结果与分析

本节将通过算例来说明我们的算法的有效性．为了比较不同的去噪算法，我们对原图施加了标准差为30，均值为0的高斯噪声，见图1．

图1 原图与噪声图像Figure 1 Original image and noisy image

对图像处理中去噪质量的评价大多采取如下方法:一是主观评价，由人眼直接观察图像的效果，对于恢复图像中得到明显改善的特性可以通过这种方法评价，但带有一定的主观性;二是利用峰值信噪比(PSNR)来评价图像改善效果．对像素为M×N的图像，PSNR定义为:

将普通的小波软阈值去噪、全变差去噪与本文提出的算法进行比较．3个算法都以PSNR值为标准，选取了最优的参数．本文所提出的算法，高频部分的参数远远小于其他，分别为 λ1=λ2=λ3=1/27，λ4=λ1/30．由图2可以明显看出本文所提出的方法要优于其他方法．小波阈值去噪算法振铃现象明显，去噪效果差．而全变差方法去噪对边缘的保持好，但阶梯效应还比较严重．本文提出的去噪方法效果最好:不但去除了大部分的噪声，而且保留了图像的边缘和细节，在远离边缘处也取得了很好的平滑效果．

图2 3种去噪方法比较Figure 2 Comparison of three denoisingmethods

从表1可以看出，本文提出的方法PSNR值最高，反映了算法的有效性．

表1 PSNR值比较Table 1 Comparison of PSNR values db

4 结论

本文通过结合小波和全变差方法，针对高低频施加不同的正则化参数，并利用小波的多尺度性，提出了多尺度全变差去噪方法．实际去噪效果表明本文提出的算法既能很好地去除噪声，又能很好地保持图像细节．

［1］DONOHO D L．De-noising by soft-thresholding［J］．IEEE Trans Information Theory，1995，41(3):613-627．

［2］RUDIN L，OSHER S，FATEMIE．Nonlinear total variation based noise removal algorithms［J］．Phys D，1992，60(1-4):259-268．

［3］李科，李军．基于压缩传感的全息图压缩研究［J］．华南师范大学学报:自然科学版，2012，44(4):61-65．

［4］WANG Y，ZHOU H．Total variation wavelet-based medical image denoising［J］．Int JBiomedical Imaging，2006，doi:10．1155/IJBI/2006/89095．

［5］CHAN T，SHEN J，ZHOU H．Total variation wavelet inpainting［J］．JMath Imaging Vision，2006，25(1):107-125．

［6］WEN Y，CHAN R H，YIP A M．A primal-dualmethod for total-variation-based wavelet domain inpainting［J］．IEEE Trans Image Processing，2012，21(1):106-114．